Joseph-Louis Lagrange est un géant de l’histoire des mathématiques. Il a apporté des contributions majeures au développement de la physique, de la mécanique céleste, du calcul, de l’algèbre, de la théorie des nombres et de la théorie des groupes. Il était en grande partie autodidacte et n’a pas obtenu de diplôme universitaire.
Fasciné par les maxima et minima des fonctions, Lagrange est le principal fondateur du calcul des variations.
Dans une reformulation de grande envergure des lois d’Isaac Newton, Lagrange a créé une nouvelle vision brillante de la mécanique. Il l’a fait en utilisant le calcul des variations pour révéler les vastes implications d’un seul principe physique, le travail virtuel. L’un des résultats de cette démarche fut la fonction lagrangienne, indispensable en physique avancée, calculée en soustrayant l’énergie potentielle de l’énergie cinétique.
La vision de Lagrange était entièrement basée sur l’algèbre et le calcul. Il croyait que c’était plus rigoureux mathématiquement que les idées intuitives générées par la géométrie. Il jugeait que ses méthodes positionnaient la mécanique dans le domaine des mathématiques pures.
En mécanique céleste, Lagrange a découvert les points de Lagrange, aimés aussi bien par les auteurs de science-fiction que par les planificateurs d’observatoires et de stations spatiales.
Lagrange nous a donné la notation familière f′(x) pour représenter la dérivée d’une fonction, f′′(x) une dérivée seconde, etc. et c’est en effet lui qui nous a donné le mot dérivée.
Réalisations et points clés
Joseph-Louis Lagrange était un mathématicien et physicien autodidacte prolifique. Certaines de ses principales réalisations sont :
Lagrange:
- S’est appuyé sur les travaux antérieurs de Leonhard Euler pour créer le calcul des variations – il l’a appelé sa « méthode des variations.’
- Introduit la notation ∂ et créé les premières équations aux dérivées partielles.
- Donné l’énoncé le plus généralisé du principe de moindre action de son époque.
- Créé un tout nouveau domaine de la mécanique, la mécanique lagrangienne, à la fois pour les solides et les fluides, basé sur le concept de travail virtuel et utilisant la fonction lagrangienne.
- Introduit le concept de coordonnées généralisées. La mécanique lagrangienne peut être utilisée dans n’importe quel système de coordonnées – les problèmes sont simplifiés en choisissant un système approprié.
- Créé le concept de potentiel : le champ gravitationnel, par exemple, est un champ potentiel.
- Découvert les orbites lagrangiennes.
- Résolu des problèmes centenaires dans la théorie des nombres posés par Fermat qui avaient vaincu d’autres mathématiciens.
- A été un des fondateurs de la théorie des groupes.
- A joué un rôle clé dans la création du système métrique des poids et mesures.
Débuts
Joseph-Louis Lagrange est né dans une famille prospère (ses parrains étaient des aristocrates) dans la ville italienne de Turin, dans le Piémont, le 25 janvier 1736.
À sa naissance, son nom était Giuseppe Lodovico Lagrangia. La forme française de son nom est généralement utilisée parce qu’il a écrit beaucoup de ses articles en français et, dans la dernière partie de sa vie, s’est installé à Paris.
Alors qu’il était adolescent en Italie, Joseph a commencé à se faire appeler Lagrange. Il avait des ancêtres français des deux côtés de sa famille, ce dont il semble avoir été fier, bien qu’il se soit toujours considéré comme piémontais plutôt que français. Après de nombreuses années à Paris, il a conservé son fort accent italien.
Joseph a été nommé d’après son père, Giuseppe Francesco Lodovico Lagrangia, trésorier du roi, responsable des fortifications et des infrastructures de Turin. La mère de Joseph était Maria Teresa Grosso, fille d’un éminent médecin. Joseph était l’aîné de leurs 11 enfants, dont deux seulement survécurent à l’enfance.
Éducation
En 1750, à l’âge de 14 ans, Joseph devient étudiant à l’université de Turin. Ennuyé par la géométrie d’Euclide et d’Archimède, il n’avait aucun intérêt à étudier les mathématiques.
Il envisageait de suivre les traces de son père et d’étudier le droit. Son père, cependant, avait eu des problèmes financiers en spéculant de manière imprudente.
L’intérêt de Joseph pour les mathématiques a été éveillé lorsqu’il a lu un article écrit au siècle précédent par Edmund Halley, dans lequel Halley utilisait des équations algébriques pour décrire la performance optique des lentilles. Contrairement à la géométrie, quelque chose dans l’algèbre de Halley le captive.
Il s’éloigne du droit et commence à assister à des conférences de mathématiques et de physique. Bien qu’il les apprécie, c’est l’imprégnation des livres de pointe de mathématiciens tels que Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, Colin Maclaurin et Jean d’Alembert qui le catapulte vers l’avant à un rythme quasi-miraculeux.
Lagrange ne dormait pas beaucoup. Il prit l’habitude, tout au long de sa vie, de se maintenir éveillé pendant de longues heures de travail à l’aide de thé et de café.
Le concept de mathématiques de Lagrange
René Descartes et Pierre de Fermat avaient montré que la géométrie et l’algèbre sont interchangeables. Le lien avait été soupçonné depuis longtemps. Au XIe siècle, Omar Khayyam avait écrit :
« Celui qui pense que l’algèbre est une astuce pour obtenir des inconnues l’a pensé en vain. Il ne faut pas prêter attention au fait que l’algèbre et la géométrie sont différentes en apparence. Les algèbres sont des faits géométriques qui sont prouvés par les propositions 5 et 6 du livre 2 des Éléments d’Euclide. »
Isaac Newton avait produit son célèbre système du monde dans Principia en s’appuyant sur des idées géométriques.
Lagrange se mit de plus en plus à croire que de nouveaux progrès en mécanique seraient inhibés par la géométrie. Il favorisa l’analyse – une approche entièrement algébrique du calcul.
« Les grands maîtres de l’analyse moderne sont Lagrange, Laplace et Gauss, qui étaient contemporains… Lagrange est parfait tant dans la forme que dans la matière, il prend soin d’expliquer sa procédure, et bien que ses arguments soient généraux, ils sont faciles à suivre. Laplace par contre n’explique rien… Gauss est aussi exact et élégant que Lagrange, mais encore plus difficile à suivre que Laplace… »
Nouveau mathématicien
En 1754, à 18 ans, Joseph Lagrange publie son premier ouvrage mathématique : Lettre à Giulio Carlo da Fagnano. Il y décrit sa découverte que le développement binomial et la formule de la différentielle d’un produit ont des coefficients identiques.
Ce n’était pas un nouveau résultat, bien qu’il l’ait d’abord cru.
La vie de Lagrange en contexte
La vie de Joseph Lagrange et les vies de mathématiciens apparentés.
Les travaux de Joseph-Louis Lagrange
Calcul des variations
En août 1755, à l’âge de 19 ans, Lagrange envoya un document au plus grand mathématicien vivant du monde, Leonhard Euler. Il y décrit sa nouvelle méthode pour trouver les maxima et les minima des fonctions, un brillant bond en avant dans le calcul. En septembre 1755, Euler lui répond en exprimant sa grande admiration pour le travail de Lagrange.
Quelques jours plus tard, Lagrange se voit proposer et accepte un poste de professeur adjoint de mathématiques dans une école d’artillerie de Turin – l’Académie royale militaire. Il quitte l’université de Turin sans diplôme et commence à enseigner le calcul &mécanique. Ses étudiants étaient tous plus âgés que lui et il n’était pas le meilleur des professeurs – il était plutôt timide et ses cours étaient trop avancés pour ses étudiants.
La correspondance subséquente entre Lagrange et Euler a conduit à une nouvelle branche des mathématiques – le calcul des variations.
Euler était si bouleversé par l’importance du travail de Lagrange qu’il a proposé que le jeune Turinois soit élu comme membre étranger de l’Académie de Berlin. Lagrange fut dûment élu le 2 septembre 1756, à l’âge de 20 ans.
Lagrange a toujours cru que la fondation du calcul des variations était sa plus grande œuvre. Elle l’a établi, alors qu’il n’était encore qu’un adolescent, comme l’un des plus grands mathématiciens du XVIIIe siècle.
Hilbert et le calcul des variations
David Hilbert
En 1900, 145 ans après que Lagrange ait créé le calcul des variations, celui-ci restait l’un des domaines les plus importants des mathématiques. Lorsque David Hilbert a posé ses célèbres 23 problèmes aux mathématiciens du monde entier, trois d’entre eux concernaient le calcul des variations :
- Problème 19 : Les solutions des problèmes réguliers du calcul des variations sont-elles toujours nécessairement analytiques ? Ce problème a été résolu par Ennio de Giorgi et John F. Nash. La réponse est oui.
- Problème 20 : Tous les problèmes variationnels avec certaines conditions aux limites ont-ils des solutions ? Ceci a généré une énorme quantité de travail effectuée par un grand nombre de mathématiciens. La réponse est oui.
- Problème 23 : Il faut poursuivre le développement du calcul des variations. C’est un problème qui, comme l’a reconnu Hilbert, n’a pas de solution définitive. Cependant, il considérait ce domaine comme si vital pour l’avenir des mathématiques qu’il était heureux d’en faire son dernier problème.
Une vision
Lagrange avait de grandes idées. A 20 ans, sa vision était d’unifier toute la mécanique en utilisant un seul principe fondamental:
« Je déduirai la mécanique complète des corps solides et fluides en utilisant le principe de moindre action. »
Lagrange a finalement atteint son objectif dans les années 1780, décrivant son succès dans la mécanique analytique en 1788. Le principe unificateur unique s’est avéré être le travail virtuel plutôt que la moindre action. Il a utilisé pour la première fois le travail virtuel en 1763 dans un article discutant de la libration de la lune.
Fondation de l’Académie des Sciences de Turin
Lagrange s’est lassé des attitudes scientifiques étouffantes à Turin. En 1757, il se réunit avec deux autres anciens étudiants pour former la Société privée de Turin. L’objectif de la Société était de cultiver la recherche scientifique à la manière des Académies des sciences de France et de Berlin.
En 1759, la nouvelle société commence à publier sa propre revue en français et en latin : Mélanges de Philosophie et de Mathématique – Miscellany of Philosophy and Mathematics.
En 1783, avec le soutien du roi, la société devient l’Académie royale des sciences de Turin.
Moving Beyond Newton
Lagrange commence à publier ses articles dans la revue de sa société. Dans beaucoup d’entre eux, il appliquait son nouveau calcul des variations au monde physique pour découvrir de nouveaux résultats et jeter une nouvelle lumière sur les phénomènes. Ses articles de cette période apparaissent dans trois volumes historiques, contenant tous une variété d’articles révolutionnaires, y compris:
- La théorie de la propagation du son, y compris la première description mathématique complète d’une corde vibrant comme une onde transversale. Aussi, la première utilisation du calcul différentiel dans la théorie des probabilités.
- La théorie et la notation du calcul des variations, des solutions à des problèmes de dynamique, et la déduction du principe de moindre action.
- Solutions à plus de problèmes de dynamique, la première utilisation de la fonction Lagrangienne, des équations différentielles générales décrivant trois corps mutuellement attirés par la gravité, l’intégration d’équations différentielles, et la solution à un problème vieux d’un siècle que Pierre de Fermat avait posé dans la théorie des nombres.
Verrouillage de marée &Libration de la Lune
En 1764, Lagrange remporte le prix de l’Académie des Sciences de France pour son étude décrivant pourquoi nous ne voyons qu’une seule face de la lune et pourquoi nous observons une libration. La libration est une oscillation et un balancement apparents de la lune causés par des effets orbitaux qui nous permettent de voir une plus grande partie de sa surface que ce à quoi nous pourrions nous attendre. En raison de la libration de la lune, lorsque nous l’observons sur une période de temps, nous pouvons en fait voir environ 59 % de sa surface plutôt que les 50 % auxquels nous pourrions nous attendre initialement.
L’article primé de Lagrange était également important car il utilisait pour la première fois le principe du travail virtuel : plus tard, il utilisera ce principe comme fondement de la mécanique lagrangienne.
Les lunes de Jupiter
En 1766, Lagrange remporte à nouveau le prix de l’Académie des sciences, cette fois pour son explication des orbites des lunes de Jupiter.
Les années berlinoises : 1766-1786
À l’âge de 30 ans, Lagrange s’installe à Berlin, remplaçant Euler comme directeur des mathématiques à l’Académie des sciences de Prusse. L’Académie avait essayé de l’attirer depuis qu’il avait 19 ans, mais il avait refusé parce qu’il pensait qu’il serait dans l’ombre d’Euler.
Les 20 années que Lagrange passa à Berlin furent ses plus productives. Bien qu’il ait parfois dû interrompre son travail pour des raisons de santé, lorsque sa santé était bonne, il publiait des articles originaux et précieux au rythme d’environ un par mois. La plupart furent publiés par l’Académie de Berlin, tandis que d’autres parurent dans deux autres volumes des Mélanges de Philosophie et de Mathématique.
Équations différentielles partielles
Dans les années 1770 et la première moitié des années 1780, la production de Lagrange sur les équations différentielles était prodigieuse, ce qui l’a amené à créer les mathématiques des équations différentielles partielles.
Équations différentielles partielles
Les équations différentielles peuvent être utilisées pour décrire le changement dans le monde réel. Elles décrivent la relation entre une quantité physique, comme la vitesse, et son taux de changement.
Les équations différentielles ordinaires décrivent une seule quantité changeante, comme la vitesse.
Tracé de densité de probabilité pour un électron dans l’orbitale électronique 2p d’un atome d’hydrogène. Le tracé est construit à partir de la solution de l’équation de Schrödinger – une équation différentielle partielle.
Lagrange a créé des équations différentielles partielles pour décrire des situations plus compliquées dans lesquelles plus d’une quantité change – dans le jargon mathématique, les équations différentielles partielles décrivent une fonction de plusieurs variables changeantes.
Par exemple, l’équation de Schrödinger est une équation différentielle partielle bien connue en mécanique quantique dont la solution permet de déduire les orbitales des électrons. Ces orbitales décrivent le volume à l’intérieur duquel on s’attend à trouver un électron dans un atome.
Théorie des groupes & Symétrie
Le théorème de Langrange, datant de 1771, est que l’ordre d’un sous-groupe doit toujours diviser exactement l’ordre du groupe. C’est l’une des premières étapes de la théorie des groupes.
Points lagrangiens
En 1772, Lagrange revient à un problème qui l’intriguait – le problème des trois corps en gravité. Son traité sur le sujet, Essai sur le Problème des Trois Corps, lui valut de remporter à nouveau le prix de l’Académie des Sciences.
Il a considéré une situation dans laquelle il y a deux objets de masse relativement élevée, comme la terre et le soleil, en orbite autour d’un centre de gravité mutuel. Il a calculé le potentiel gravitationnel pour ce type de situation, résumé dans la carte de contour ci-dessous.
Carte de contour du potentiel gravitationnel pour le système terre-soleil, montrant les cinq points lagrangiens : L1, L2, L3, L4, L5.
Là où les lignes de contour sont rapprochées, le potentiel gravitationnel est élevé. De même là où les lignes sont plus éloignées, le potentiel gravitationnel est plus faible.
Lagrange a identifié cinq points d’équilibre, les points lagrangiens L1, L2, L3, L4, et L5. Les objets situés à ces points maintiennent leur position par rapport aux deux plus grandes masses. (Euler a identifié les points L1, L2 et L3, quelques années plus tôt dans une analyse moins approfondie.)
Aujourd’hui, le satellite de l’Observatoire solaire et héliosphérique de la NASA est situé au point L1 terre-soleil, ce qui permet d’observer le soleil sans interruption depuis une plate-forme stable.
Le télescope spatial James Webb, successeur du télescope spatial Hubble, devrait être placé au point L2 terre-soleil en 2020.
Mécanique lagrangienne
Lagrange a terminé son chef-d’œuvre, la mécanique analytique, à Berlin au début des années 1780. Il faudra attendre plusieurs années avant qu’il ne trouve un éditeur.
« J’ai presque terminé un livre sur la mécanique analytique fondé uniquement sur le principe . Mais comme je ne sais toujours pas où et quand il pourra être publié, je ne suis pas pressé de le terminer. »
Lagrange était fier que son livre ne contienne aucun diagramme : il considérait la mécanique comme une branche des mathématiques pures – une géométrie à quatre dimensions – trois d’espace, une de temps. Il pensait que de plus grandes vérités seraient trouvées dans la rigueur de l’algèbre et du calcul fusionnés dans l’analyse que dans ce qu’il considérait comme une pensée intuitive représentée par des diagrammes. Il était fier d’avoir retiré la mécanique de la province de la géométrie et de l’avoir placée fermement dans le domaine de l’analyse.
Lagrange a tout élaboré à partir d’un seul principe fondamental : le travail virtuel. Partant de ce principe, auquel il a appliqué le calcul des variations, il a produit la fonction lagrangienne en coordonnées généralisées, permettant d’aborder un grand nombre de problèmes de mécanique dans une nouvelle direction, et de résoudre des problèmes auparavant insolubles.
La mécanique lagrangienne a conduit à une compréhension plus profonde du monde physique. Par exemple, plus de 150 ans après que Lagrange ait écrit la Mécanique analytique, l’article de Paul Dirac, The Lagrangian in Quantum Mechanics, a conduit Richard Feynman à une formulation entièrement nouvelle de la mécanique quantique, puis aux intégrales de chemin, et finalement à la solution complète de l’électrodynamique quantique qu’il a décrite comme « le joyau de la physique. »
Les années parisiennes : 1786-1813
Bien que Lagrange ait écrit son chef-d’œuvre, la Mécanique Analytique, à Berlin, il n’a pas été publié avant 1788, après qu’il se soit installé à Paris à l’invitation de l’Académie des Sciences.
Dans ses premières années à Paris, Lagrange était accablé par la dépression et le manque d’énergie – il trouvait que rien ne pouvait retenir son intérêt. Deux choses l’ont aidé à sortir de sa léthargie : son mariage en 1792 avec une jeune épouse sympathique ; et sa nomination comme président de la commission des poids et mesures en 1793.
Surmonter la Terreur
Le règne de la Terreur de la Révolution française commence en 1793. Lagrange y a survécu. Le fait qu’il était étranger l’a aidé. De plus, il avait des manières douces et faisait toujours de son mieux pour éviter les disputes et la politique.
Antoine Lavoisier, un ancien membre de la commission des poids et mesures, et un fondateur de la chimie moderne, n’a pas eu cette chance : il a perdu la tête en 1794. Lagrange fut consterné par le sort de Lavoisier, commentant:
« Il n’a fallu qu’un instant pour que sa tête tombe, et pourtant cent ans ne suffiraient peut-être pas à en reproduire l’égale. »
Le système métrique
Lagrange a fortement plaidé pour l’adoption du kilogramme et du mètre. Ceux-ci ont été acceptés par la commission en 1799.
Ècole Polytechnique
En 1794, l’école Polytechnique a ouvert à Paris, avec Lagrange, maintenant âgé de 58 ans, nommé professeur de mathématiques. Ses cours sont appréciés par les autres professeurs. Cependant, tous les étudiants, sauf les plus doués, les trouvent trop difficiles. Cette situation était similaire à celle de nombreuses années auparavant, lorsque, adolescent, il donnait des cours à Turin.
Sophie Germain, exclue de Polytechnique parce qu’elle était une femme, obtint les notes de cours d’Analyse de Lagrange et s’en réjouit : c’étaient les meilleures notes de mathématiques qu’elle ait vues. Lagrange a appris le talent mathématique de Germain, lui a rendu visite et a répandu la nouvelle de son brio.
Famille et fin
En 1767, à 31 ans, Lagrange épouse sa cousine Vittoria Conti. Il ne voulait pas d’enfants et les deux étaient des compagnons confortables – ils se connaissaient depuis un certain temps. Aucun des deux n’était en bonne santé, et Vittoria était souvent malade. Elle meurt en 1783 après 16 ans de mariage. Lagrange la pleura profondément et devint dépressif.
À Paris, en 1792, Renée-Françoise-Adélaide Le Monnier, 24 ans, devint dévouée à Lagrange, qui avait 56 ans. Elle l’a rencontré par l’intermédiaire de son père, l’astronome Pierre Charles Le Monnier. Renée a de la peine pour Lagrange – c’est un homme brillant qui semble avoir perdu l’appétit de vivre ; il semble inhabituellement triste et las du monde. Renée décide de l’épouser, et résiste à toutes les objections. Les deux se marièrent et cela s’avéra être une union heureuse pour tous les deux. Ils n’eurent pas d’enfants.
En 1802, Lagrange devint citoyen français.
Lagrange assistait régulièrement à la messe catholique romaine, bien qu’autrement il semble avoir peu parlé de sa religion.
Joseph-Louis Lagrange est mort, à l’âge de 77 ans, le 10 avril 1813 à Paris. Survivant à sa femme Renée, il fut enterré au Panthéon, la dernière demeure de nombreuses personnalités éminentes, dont Voltaire, Victor Hugo, Lazare Carnot, Marcellin Berthelot, Paul Langevin et Pierre &Marie Curie.
Lors de l’inauguration de la tour Eiffel en 1889, Lagrange fut l’un des 72 scientifiques, ingénieurs et mathématiciens français dont les noms furent gravés sur des plaques de la tour.
« Toutes ses compositions mathématiques sont remarquables par une élégance singulière, par la symétrie des formes et la généralité des méthodes, et si l’on peut parler ainsi, par la perfection du style analytique. »
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Publié par FamousScientists.org
Lecture complémentaire
W. W. Rouse Ball
A Short Account of The History of Mathematics
MacMillan and Co. Limited, Londres, 1940
Craig Fraser
J. L. Lagrange’s Early Contributions to the Principles and Methods of Mechanics
Archive for History of Exact Sciences, Vol. 28, pp. 197-241, 1983
Judith V. Grabiner
A Historian Looks Back : The Calculus as Algebra and Selected Writings
The Mathematical Association of America, Oct 2010
J.L. Lagrange
Analytical Mechanics : Traduit et édité par Auguste Boissonnade et Victor N. Vagliente
Springer Science & Business Media, avr 2013
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