J’ai essayé de trouver de grands films liés aux maths récemment et j’ai trouvé « Good Will Hunting ». C’est un vieux film (1997), mais même si j’en ai beaucoup entendu parler, je ne l’ai jamais regardé. J’ai donc pensé que c’était le moment de l’essayer. Le film suit un ouvrier de 20 ans, Will Hunting, un génie méconnu qui, dans le cadre d’un accord de poursuite différée après avoir agressé un officier de police, devient le client d’un thérapeute et étudie les mathématiques avancées avec un professeur renommé.
Le film est incroyable et je l’ai adoré. Vous avez l’occasion de voir comment Will réévalue ses relations avec les personnes qui l’entourent et comment il affronte son passé et décide de son avenir. Je recommande totalement ce film. I ce post je ne veux pas parler de la partie sentimentale, mais je veux mentionner quelques mathématiques intéressantes qui y apparaissent.
Le problème dont je parle est celui qui apparaît au début du film, lorsque le professeur donne à ses étudiants une tâche délicate:
Le problème n’est pas extrêmement facile à comprendre car il fait appel à pas mal de mathématiques de niveau universitaire : algèbre linéaire (théorie élémentaire des matrices, puissances des matrices, forme normale de Jordan), analyse (convergence dans les espaces vectoriels normés, séries de puissance, convergence des séries de puissance), combinatoire (fonction génératrice, comptage, formules de récurrence) et théorie des graphes (matrice d’adjacence, chemins, puissances de la matrice d’adjacence).
Le problème vient surtout du domaine mathématique appelé théorie des graphes. Il s’agit de l’étude des graphes – structures mathématiques qui modélisent les relations par paires entre les objets. Dans ce contexte, un graphe est constitué de sommets, de nœuds ou de points qui sont reliés par des arêtes, des arcs ou des lignes. On peut dire que les graphes peuvent être non dirigés (il n’y a pas de distinction entre les 2 sommets associés à chaque arête) et dirigés (ses arêtes sont dirigées d’un sommet à l’autre).
Il s’avère qu’au final les problèmes sont liés à la formule de Cayley affirmant que le nombre d’arbres étiquetés sur des nœuds est de nn-2. Ensuite, il énumère 8 différents arbres non étiquetés avec 10 nœuds. Pour y voir plus clair, il faut comprendre qu’un arbre est un graphe non orienté dans lequel deux sommets quelconques sont reliés par exactement un chemin. Au cas où vous vous poseriez la question, les mathématiques ont aussi la notion de forêt dans ce cas : une union disjointe d’arbres.
Pour une explication plus mathématique, je vous conseille de lire Les mathématiques dans Good Will Hunting II : les problèmes du point de vue des élèves. Aussi, Numberphile a un grand film sur ce problème:
Totalement vous conseiller de lire plus sur ce sujet et peut-être (pourquoi pas ?!) commencer à lire sur la théorie des graphes (cliquez sur l’image pour plus d’informations):
Bonne semaine. Vous pouvez me trouver sur Facebook, Tumblr, Google+, Twitter et Instagram. J’essaierai d’y poster aussi souvent que possible.
N’oubliez pas que les maths sont partout ! Amusez-vous bien !
