Le modèle va trouver les valeurs de Ts et Ta qui permettront au pouvoir radiatif sortant, s’échappant du sommet de l’atmosphère, d’être égal au pouvoir radiatif absorbé de la lumière solaire. Lorsqu’il est appliqué à une planète comme la Terre, le rayonnement sortant sera à ondes longues et la lumière solaire à ondes courtes. Ces deux flux de rayonnement auront des caractéristiques d’émission et d’absorption distinctes. Dans le modèle idéalisé, nous supposons que l’atmosphère est complètement transparente à la lumière du soleil. L’albédo planétaire αP est la fraction du flux solaire entrant qui est réfléchie vers l’espace (puisque l’atmosphère est supposée totalement transparente au rayonnement solaire, il importe peu que l’on imagine que cet albédo est causé par la réflexion à la surface de la planète ou au sommet de l’atmosphère ou par un mélange). La densité de flux du rayonnement solaire entrant est spécifiée par la constante solaire S0. Pour l’application à la planète Terre, les valeurs appropriées sont S0=1366 W m-2 et αP=0,30. En tenant compte du fait que la surface d’une sphère est 4 fois la surface de son intercept (son ombre), le rayonnement entrant moyen est S0/4.
Pour le rayonnement de grande longueur d’onde, on suppose que la surface de la Terre a une émissivité de 1 (c’est-à-dire que la Terre est un corps noir dans l’infrarouge, ce qui est réaliste). La surface émet une densité de flux radiatif F selon la loi de Stefan-Boltzmann :
F = σ T 4 {\displaystyle F=\sigma T^{4}}.
où σ est la constante de Stefan-Boltzmann. Une clé pour comprendre l’effet de serre est la loi de Kirchhoff sur le rayonnement thermique. Pour toute longueur d’onde donnée, l’absorptivité de l’atmosphère sera égale à l’émissivité. Le rayonnement provenant de la surface pourrait se situer dans une partie légèrement différente du spectre infrarouge que le rayonnement émis par l’atmosphère. Le modèle suppose que l’émissivité (absorptivité) moyenne est identique pour chacun de ces flux de rayonnement infrarouge, lorsqu’ils interagissent avec l’atmosphère. Ainsi, pour le rayonnement à grande longueur d’onde, un seul symbole ε désigne à la fois l’émissivité et l’absorptivité de l’atmosphère, pour n’importe quel flux de rayonnement infrarouge.
La densité du flux infrarouge sortant du sommet de l’atmosphère :
F = ϵ σ T a 4 + ( 1 – ϵ ) σ T s 4 {\displaystyle F\uparrow =\epsilon \sigma T_{a}^{4}+(1-\epsilon )\sigma T_{s}^{4}}
Dans le dernier terme, ε représente la fraction du rayonnement ascendant de grande longueur d’onde provenant de la surface qui est absorbée, l’absorptivité de l’atmosphère. Dans le premier terme à droite, ε est l’émissivité de l’atmosphère, l’ajustement de la loi de Stefan-Boltzmann pour tenir compte du fait que l’atmosphère n’est pas optiquement épaisse. Ainsi, ε joue le rôle de mélanger proprement, ou de faire la moyenne, des deux flux de rayonnement dans le calcul de la densité de flux vers l’extérieur.
Un rayonnement net nul quittant le sommet de l’atmosphère nécessite :
– 1 4 S 0 ( 1 – α p ) + ϵ σ T a 4 + ( 1 – ϵ ) σ T s 4 = 0 {\displaystyle -{\frac {1}{4}}S_{0}(1-\alpha _{p})+\epsilon \sigma T_{a}^{4}+(1-\epsilon )\sigma T_{s}^{4}=0}
Un rayonnement net nul entrant dans la surface nécessite :
1 4 S 0 ( 1 – α p ) + ϵ σ T a 4 – σ T s 4 = 0 {\displaystyle {\frac {1}{4}}S_{0}(1-\alpha _{p})+\epsilon \sigma T_{a}^{4}-\sigma T_{s}^{4}=0}
L’équilibre énergétique de l’atmosphère peut être soit dérivé des deux conditions d’équilibre ci-dessus, soit déduit indépendamment :
2 ϵ σ T a 4 – ϵ σ T s 4 = 0 {\displaystyle 2\epsilon \sigma T_{a}^{4}-\epsilon \sigma T_{s}^{4}=0}
Notez le facteur important de 2, résultant du fait que l’atmosphère rayonne à la fois vers le haut et vers le bas.Ainsi le rapport de Ta à Ts est indépendant de ε:
T a = T s 2 1 / 4 = T s 1,189 {\displaystyle T_{a}={T_{s} \over 2^{1/4}={T_{s} \over 1,189}}.
On peut donc exprimer Ta en termes de Ts, et on obtient une solution pourTs en fonction des paramètres d’entrée du modèle :
1 4 S 0 ( 1 – α p ) = ( 1 – ϵ 2 ) σ T s 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}S_{0}(1-\alpha _{p})=\left(1-{\frac {\epsilon }{2}}\right)\sigma T_{s}^{4}}
ou
T s = 1 / 4 {\displaystyle T_{s}=\left^{1/4}}
La solution peut également être exprimée en termes de température d’émission effective Te, qui est la température qui caractérise la densité de flux infrarouge sortant F, comme si le radiateur était un radiateur parfait obéissant à F=σTe4. Ceci est facile à conceptualiser dans le contexte du modèle. Te est également la solution pour Ts, pour le cas de ε=0, ou absence d’atmosphère :
T e ≡ 1 / 4 {\displaystyle T_{e}\equiv \left^{1/4}}
Avec la définition de Te:
T s = T e 1 / 4 {\displaystyle T_{s}=T_{e}\left^{1/4}}
Pour une serre parfaite, sans aucun rayonnement s’échappant de la surface, soit ε=1:
T s = T e 2 1 / 4 = 1,189 T e T a = T e {\displaystyle T_{s}=T_{e}2^{1/4}=1,189T_{e}\qquad T_{a}=T_{e}}
En utilisant les paramètres définis ci-dessus comme étant appropriés pour la Terre,
T e = 255 K = – 18 C {\displaystyle T_{e}=255~\mathrm {K} =-18~\mathrm {C} }
Pour ε=1 :
T s = 303 K = 30 C {\displaystyle T_{s}=303~\mathrm {K} =30~\mathrm {C} }
Pour ε=0.78,
T s = 288.3 K T a = 242.5 K {\displaystyle T_{s}=288.3~\mathrm {K} \qquad T_{a}=242.5~\mathrm {K} }
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Cette valeur de Ts se trouve être proche de la valeur publiée de 287,2 K de la « température de surface » moyenne globale basée sur des mesures. ε=0,78 implique que 22% du rayonnement de surface s’échappe directement dans l’espace, ce qui est cohérent avec l’affirmation de 15% à 30% s’échappant dans l’effet de serre.
Le forçage radiatif pour le doublement du dioxyde de carbone est de 3,71 W m-2, dans une paramétrisation simple. C’est également la valeur entérinée par le GIEC.A partir de l’équation de F {\displaystyle F\uparrow }
, Δ F = Δ ϵ ( σ T a 4 – σ T s 4 ) {\displaystyle \Delta F\uparrow =\Delta \epsilon \left(\sigma T_{a}^{4}-\sigma T_{s}^{4}\right)}
L’utilisation des valeurs de Ts et Ta pour ε=0,78 permet d’obtenir Δ F {\displaystyle \Delta F\uparrow }.
= -3,71 W m-2 avec Δε=.019. Ainsi, un changement de ε de 0,78 à 0,80 est cohérent avec le forçage radiatif dû à un doublement du dioxyde de carbone. Pour ε=0.80, T s = 289.5 K {\displaystyle T_{s}=289.5~\mathrm {K} }
Donc ce modèle prédit un réchauffement global de ΔTs = 1,2 K pour un doublement du dioxyde de carbone. Une prédiction typique d’un MCG est un réchauffement de surface de 3 K, principalement parce que le MCG permet une rétroaction positive, notamment par l’augmentation de la vapeur d’eau. Un substitut simple pour inclure ce processus de rétroaction consiste à poser une augmentation supplémentaire de Δε=.02, pour un total de Δε=.04, afin d’approximer l’effet de l’augmentation de la vapeur d’eau qui serait associée à une augmentation de la température. Ce modèle idéalisé prédit alors un réchauffement global de ΔTs = 2,4 K pour un doublement du dioxyde de carbone, ce qui correspond à peu près au GIEC.
Résumé tabulaire avec les unités K, C et FEdit
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