Ce Thanksgiving, je traînais avec mon petit cousin, qui distribuait des cartes à partir d’un jeu standard de 52 cartes. Je lui ai posé la question :
« Combien de fois pourriez-vous distribuer le jeu entier et voir un ordre unique des cartes – différent de toutes les autres fois où vous avez distribué le jeu dans le passé ? »
Ou pour le dire autrement,
« Combien de distributions uniques (« permutations ») des 52 cartes y a-t-il ? »
Si vous avez fait un peu de théorie des nombres (ou regardé le titre du post), vous connaissez la réponse – 52 ! (Aka 52 factorielle. Je serais également excité par le fait que 52 soit la réponse, cependant – ce serait très étrange et intéressant)
J’ai cherché des façons d’essayer de groquer ce nombre en ligne, et j’ai obtenu des variations de la même réponse, qui étaient assez inexplicables pour mon cousin. J’ai donc décidé d’essayer moi-même.
Imaginez que vous arrêtiez tout ce que vous faisiez, et que pour le reste de votre vie, chaque seconde de votre vie, nuit et jour, vous receviez une nouvelle main magiquement mélangée des 52 cartes. Cette magie fait en sorte que vous n’aurez jamais une main que vous avez déjà vue. Vous voulez savoir combien de donnes uniques il y a, et vous avez une profonde méfiance envers les mathématiciens – vous devez le voir de vos propres yeux.
Vous avez d’abord une main qui se trouve commencer par le valet de trèfle, puis le valet de cœur, puis le valet de pique et ensuite les 49 autres cartes. « Hmm, intéressant ! » Vous pensez… pour vous-même, car vous n’avez probablement pas beaucoup d’amis si c’est votre hobby.
La seconde suivante, vous avez une main qui commence par l’As de Cœur, puis a les 51 autres cartes.
Vous continuez, et la semaine suivante, vous êtes plutôt ennuyé. Quand est-ce que je vais avoir fini ? Ce mardi-là, vous voyez une donne qui a le valet de cœur, puis le valet de trèfle, puis le valet de pique et tout le reste des cartes dans la même position exacte que celle que vous avez obtenue dans la première donne.
« Wow, c’est super intéressant, et super proche de la première main, mais quand même une nouvelle main ! ». Vous vous exclamez devant une salle remplie de boîtes à pizza vides, et à ce stade d’amis imaginaires car vous n’avez pas dormi depuis une semaine.
Vous réalisez que vous aurez besoin d’aide pour continuer à faire ça. Vous réussissez donc à convaincre toutes les autres personnes sur terre, les 7 milliards d’entre elles, de le faire avec vous, chaque seconde de chaque jour. Vous devez trouver une solution ! Pour une raison quelconque, vous n’arrivez pas à convaincre les mathématiciens de travailler sur votre projet, mais encore une fois, vous n’avez jamais été de grands fans d’eux de toute façon.
Pour autant, les choses n’avancent pas assez vite. Vous décidez d’inventer une machine à remonter le temps, et une fontaine de jouvence, et tout le monde retourne au début de l’univers, en recommençant avec les 7 milliards de personnes qui distribuent toutes des mains de cartes, toute la journée, tous les jours, une fois par seconde par personne. Vous pensez que cela va certainement fonctionner, et qu’ensuite vous pourrez voir des dinosaures ! Il y a beaucoup de secondes entre maintenant et le début de l’univers – vous avez demandé à un astronome et il vous a dit qu’il y avait 4×10^27 secondes depuis lors, ou 4 suivi de 17 zéros. Les mathématiciens vous accompagnent, mais refusent toujours de vous aider à distribuer les cartes. Ils sont juste là pour voir les dinosaures, disent-ils. L’un d’eux crie : « Bonne chance avec ton petit projet ! » et ils ricanent tous.
Cela vous met un peu mal à l’aise, mais vous n’avez pas le temps pour leurs pitreries, et les oubliez rapidement en retournant à la distribution des cartes.
Le Big Bang se produit, et l’univers s’étend. Les galaxies se forment et les premières étoiles sont créées et explosent, ensemençant le cosmos de fer et d’autres éléments lourds. Le système solaire se forme et, petit à petit, les planètes. La Terre se refroidit, un océan se forme et la vie apparaît. Pendant ce temps, 7 milliards de personnes, chaque jour, toute la journée, à chaque seconde, distribuent des cartes uniques. Les dinosaures parcourent la terre, puis sont exterminés. Depuis des lustres, vous êtes devenu la personne la plus détestée de l’existence pour avoir créé ce projet et convaincu tout le monde de vous rejoindre. Le temps continue à passer et les gens continuent à distribuer des cartes jusqu’à ce que nous arrivions à la date d’aujourd’hui.
Vous regardez en arrière tous les progrès que vous avez faits. Wow ! Nous avons été capables de faire 3×10^27e combinaisons, c’est incroyable ! C’est un 3 suivi de 27 zéros. Tant de donnes différentes du jeu, toutes uniques.
« Nous devons être proches ! », dites-vous avec confiance aux humains épuisés les plus proches qui retournent les cartes. Ils vous regardent avec une haine pure dans leurs yeux. Vous souhaitez que peut-être vous ayez juste essayé de demander à un mathématicien en premier lieu pour comprendre s’il est même possible de trouver toutes les donnes uniques (les mathématiciens appellent cela des « permutations »).
Le mathématicien le plus intelligent et le plus gentil vous tape sur l’épaule. Vous lui avez demandé de dresser un tableau des progrès que vous avez réalisés pour rassembler toutes les différentes possibilités, car elle n’a pas semblé ricaner aussi fort que les autres lorsqu’elle passait par là et vous voyait distribuer les cartes. Elle vous tend un tableau.
« Qu’est-ce que c’est, une sorte de blague de malade ? ». Vous demandez, enragé car elle vous tend un tableau d’une barre de progression qui est vide.
« Nous devons voyager dans le temps à nouveau au début de l’univers… vous avez besoin de plus de temps pour finir… ». Elle suggère prudemment.
« Ok, bien, très bien. Combien de fois encore ? » Vous répliquez, toujours furieux.
« 10^40 fois… » Il y a une pause pendant que vous la regardez fixement.
« Laisse moi dire le nombre », dit-elle, « Je ne pense pas que la notation scientifique t’aie vraiment touché… C’est : Trois, zéro, zéro, zéro, zéro, zéro, zéro… »
« Ecris-le simplement », vous la coupez, en marmonnant sous votre souffle que vous n’avez jamais vraiment aimé les mathématiciens de toute façon.
Elle l’écrit sur un morceau de papier, en expliquant : « Vous devrez poursuivre cette expérience avec les 7 milliards de personnes, en retournant à plusieurs reprises au début de l’univers pour obtenir plus de secondes pour distribuer les cartes. »
« Vous devrez voyager dans le temps autant de fois », répète-t-elle avec assurance, avec une note de pitié dans la voix.
Le bout de papier dit : « 30 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 fois ».
Vos genoux lâchent et vous vous affalez sur le sol.
Au plus profond du désespoir, vous levez les yeux vers la mathématicienne. Elle sourit.
« Vous savez, vous auriez pu simplement nous demander à nous, mathématiciens, au début. Le nombre de combinaisons est de 52 !, ce qui est juste 52*51*50…*3*2*1. Cela équivaut à environ 8×10^67, ou 8 avec 67 zéros après. »
Vous acquiescez, vous sentant soulagé de connaître la réponse. Puis vous levez les yeux. Vous voyez 7 milliards de personnes, qui viennent toutes d’abandonner leur travail et qui vous regardent bizarrement. Vous n’aimez pas leur regard. Alors qu’ils commencent à se lever et à se diriger vers vous, vous courez vers votre machine à voyager dans le temps, la réglant pour qu’elle ne transporte que vous à l’époque du Jurassique.
« J’aurais dû faire confiance aux mathématiciens ….. ! » Votre voix s’éteint alors que vous commencez le voyage dans le temps. Vous n’êtes toujours pas sûr de comprendre comment fonctionnent les grands nombres ou les probabilités, mais vous pensez qu’il est sage de tenter votre chance avec les terribles lézards à la place.
En arrière-plan, les mathématiciens recommencent à ricaner.
Nombres:
- Age de l’univers = 4×10^17
- 7 000 000 000 = 7×10^9
- 52 ! = 8×10^67
- 52 ! / 7 Milliards / âge de l’univers en secondes = 3×10^40
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