Donc, le monde des mathématiques offre de nombreux types de nombres, chacun ayant ses propriétés particulières. Les mathématiciens formulent des théories sur les relations entre les nombres et les groupes de nombres. Ils soutiennent leurs théories à l’aide d’axiomes (énoncés établis antérieurement et présumés vrais) et de théorèmes (énoncés fondés sur d’autres théorèmes ou axiomes).
La première étape de la construction d’une nouvelle et brillante théorie mathématique consiste toutefois à poser une question théorique sur les relations entre les nombres. Par exemple, la somme de deux cubes peut-elle être un cube ? Vous vous souvenez des triples de Pythagore de la page précédente ? Ces trios de trois nombres, comme (3, 4, 5), résolvent l’équation a2 + b2 = c2. Mais qu’en est-il de a3 + b3 = c3 ? Le mathématicien Pierre de Fermat s’est posé la même question à propos des cubes et, en 1637, il a prétendu avoir élaboré une preuve mathématique qui, par le biais de lignes successives de logique minutieuse, démontrait sans l’ombre d’un doute que non, la somme de deux cubes ne peut pas être un cube. Nous appelons cela le dernier théorème de Fermat. Malheureusement, au lieu de fournir la preuve complète dans ses notes, Fermat s’est contenté d’écrire : « J’ai une démonstration vraiment merveilleuse de cette proposition que cette marge est trop étroite pour contenir ».
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Plus de trois siècles et demi ont suivi pendant lesquels les mathématiciens du monde entier ont essayé en vain de redécouvrir la preuve de Fermat. Quel était l’enjeu de cette quête ? Rien, sinon la fierté académique et l’amour des mathématiques pures et abstraites. Puis, en 1993, à l’aide de calculs mathématiques non découverts à l’époque de Fermat, le mathématicien anglais Andrew Wiles a réussi à prouver le théorème vieux de 356 ans. Les experts continuent de se disputer pour savoir si Fermat a réellement élaboré une preuve aussi phénoménale à l’époque où il n’y avait pas encore d’ordinateur, ou s’il s’est trompé.
D’autres questions dans la théorie des nombres concernaient divers modèles perçus ou théoriques dans les nombres ou les groupes de nombres. Tout commence par cet aspect le plus crucial de la pensée intelligente : la reconnaissance des modèles. Joseph H. Silverman, professeur de mathématiques à l’Université Brown, expose les cinq étapes fondamentales de la théorie des nombres :
- Accumuler des données mathématiques ou abstraites.
- Examiner les données et rechercher des modèles ou des relations.
- Formuler une conjecture (généralement sous la forme d’une équation) pour expliquer ces modèles ou relations.
- Tester la conjecture avec des données supplémentaires.
- Développer une preuve montrant que la conjecture est correcte. La preuve doit commencer par des faits connus et se terminer par le résultat souhaité.
Le dernier théorème de Fermat, donc, était vraiment une conjecture pendant 356 ans et n’est devenu un vrai théorème qu’en 1993. D’autres, comme la Preuve des nombres premiers infinis d’Euclide (qui prouve que les nombres premiers sont illimités), est restée un modèle solide de raisonnement mathématique depuis 300 avant J.-C. D’autres conjectures de la théorie des nombres encore, anciennes et nouvelles, restent non prouvées.
Les nombres sont aussi infinis que la compréhension humaine est finie, de sorte que la théorie des nombres et ses divers sous-domaines continueront à captiver l’esprit des amateurs de mathématiques pendant des âges. Les vieux problèmes peuvent tomber, mais de nouvelles conjectures plus compliquées surgiront.
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