Dans la règle simple de trois, on établit la relation de proportionnalité entre deux valeurs connues A et B, et connaissant une troisième valeur ‘X’, on calcule une quatrième valeur Y.
A ⟶ B X ⟶ Y {displaystyle {begin{array}{ccc}A&longrightarrow &B&longrightarrow &Yend{array}}
La relation de proportionnalité peut être directe ou inverse. Elle sera directe lorsque pour une plus grande valeur de A il y aura une plus grande valeur de B, et elle sera inverse lorsque pour une plus grande valeur de A il y aura une plus petite valeur de B.
Règle simple directe de troisModifier
La règle simple directe de trois est basée sur une relation de proportionnalité, on voit donc rapidement que :
B A = Y X = k {displaystyle {B}{A}={Y}{X}}=k}
Où k est la constante de proportionnalité. Pour que cette proportionnalité soit respectée, il est nécessaire qu’une augmentation de A corresponde à une augmentation de B dans la même proportion. Il peut être représenté sous la forme :
A ⟶ B X ⟶ Y } → Y = B ⋅ X A {displaystyle {gauche.{begin{array}{ccc}A& « liongrightarrow » &B& « liongrightarrow » &Yend{array} « Y »
On dit alors que A est à B directement proportionnel, comme X l’est à Y, où A
est égal au produit de B par X divisé par A.
Imaginez qu’on nous pose la question suivante :
Si j’ai besoin de 8 litres de peinture pour peindre 2 pièces, combien de litres me faut-il pour peindre 5 pièces ?
Ce problème s’interprète comme suit : la relation est directe, puisque plus il y a de pièces, plus il faudra de peinture, et on la représente comme suit :
2 pièces ⟶ 8 litres 5 pièces ⟶ Y litres }. → Y = 8 litres ⋅ 5 pièces 2 pièces = 20 l i t r o s { displaystyle.{\begin{array}{ccc}2\;{\text{habitaciones}}&\longrightarrow &8\;{\text{litros}}\\5\;{« text{rooms}&longrightarrow &Y= »text{litres} » ;{{text{rooms}}
Dans la règle simple inverse de troisEdit
Dans la règle simple inverse de trois, dans la relation entre les valeurs, il est satisfait que :
A ⋅ B = X ⋅ Y = e {displaystyle A ⋅ B=X ⋅ Y=e}
où e est un produit constant. Pour que cette constante soit conservée, une augmentation de A nécessitera une diminution de B, de sorte que leur produit reste constant. Cette relation peut être représentée comme suit :
A ⟶ B X ⟶ Y } → Y = A ⋅ B X { displaystyle __left.{« bgin{array}{ccc}A& « B » &B& « B » & « Y » &Yend{array}
et on dit que A est à B inversement proportionnel, comme X l’est à Y, où Y est égal au produit de A par B divisé par X.
Si par exemple nous avons le problème suivant :
Si 8 ouvriers construisent un mur en 15 heures, combien de temps faudra-t-il à 5 ouvriers pour construire le même mur ?
Si vous regardez attentivement le sens de l’énoncé, il est clair que plus les travailleurs travaillent, moins ils auront besoin d’heures pour construire le même mur (en supposant qu’ils travaillent tous au même rythme).
8 travailleurs ⋅ 15 heures = 5 travailleurs ⋅ Y heures = 120 heures de travail {displaystyle 8 ;{text{heures de travail}}}
Le nombre total d’heures de travail nécessaires pour ériger le mur est de 120 heures, qui peuvent être apportées par un seul travailleur en 120 heures, 2 travailleurs en 60 heures, 3 travailleurs en 40 heures, et ainsi de suite. Dans tous les cas, le nombre total d’heures reste constant.
Nous avons donc une relation de proportionnalité inverse, et devons appliquer une simple règle de trois inverse, en effet :
8 travailleurs ⟶ 15 heures 5 travailleurs ⟶ Y heures }. → Y = 8 travailleurs ⋅ 15 heures 5 travailleurs = 24 heures { affichage {gauche.{\begin{array}{ccc}8\;{\text{trabajadores}}&\longrightarrow &15\;{\text{horas}}\\5\;{\text{trabajadores}}&\longrightarrow &Y\;{\text{horas}}\end{array}}\right\}\rightarrow \quad Y={\cfrac {8\;{\text{trabajadores}}\cdot 15\;{\text{horas}}}{5\;{\text{trabajadores}}}}=24\;{\text{horas}}}
