Månens rörelseRedigera
Hipparchos kunde bekräfta sina beräkningar genom att jämföra förmörkelser från sin egen tid (förmodligen 27 januari 141 f.Kr. och 26 november 139 f.Kr. enligt ) med förmörkelser från babyloniska uppteckningar 345 år tidigare (Almagest IV.2; ). Redan al-Biruni (Qanun VII.2.II) och Kopernikus (de revolutionibus IV.4) noterade att perioden på 4 267 månar faktiskt är ungefär 5 minuter längre än det värde för förmörkelseperioden som Ptolemaios tillskriver Hipparkos. Babyloniernas tidsbestämningsmetoder hade dock ett fel på inte mindre än 8 minuter. Moderna forskare är överens om att Hipparkos avrundade förmörkelseperioden till närmaste timme och använde den för att bekräfta giltigheten av de traditionella värdena, snarare än att försöka härleda ett bättre värde från sina egna observationer. Utifrån moderna efemerider och med hänsyn till förändringen av dagslängden (se ΔT) uppskattar vi att felet i den antagna längden på den synodiska månaden var mindre än 0,2 sekunder på 400-talet f.Kr. och mindre än 0,1 sekunder på Hipparchos tid.
Månens omloppsbanaRedigera
Det hade varit känt sedan länge att månens rörelse inte är enhetlig: dess hastighet varierar. Detta kallas för dess anomali, och det upprepas med sin egen period; den anomalistiska månaden. Kaldéerna tog hänsyn till detta aritmetiskt och använde en tabell som gav månens dagliga rörelse enligt datumet inom en lång period. Grekerna föredrog dock att tänka i geometriska modeller av himlen. Apollonius av Perga hade i slutet av det tredje århundradet f.Kr. föreslagit två modeller för månens och planeternas rörelse:
- I den första skulle månen röra sig jämnt längs en cirkel, men jorden skulle vara excentrisk, dvs. på visst avstånd från cirkelns centrum. Så månens skenbara vinkelhastighet (och dess avstånd) skulle variera.
- Monen själv skulle röra sig enhetligt (med en viss medelrörelse i anomali) på en sekundär cirkulär omloppsbana, kallad epicykel, som i sin tur skulle röra sig enhetligt (med en viss medelrörelse i longitud) över den huvudsakliga cirkulära omloppsbanan runt jorden, kallad deferent; se deferent och epicykel. Apollonius visade att dessa två modeller faktiskt var matematiskt likvärdiga. Allt detta var dock teori och hade inte omsatts i praktiken. Hipparchos var den första astronom vi känner till som försökte bestämma de relativa proportionerna och de faktiska storlekarna av dessa banor.
Hipparchos utarbetade en geometrisk metod för att hitta parametrarna från tre positioner av månen, vid särskilda faser av dess anomali. I själva verket gjorde han detta separat för den excentriska och den epicykliska modellen. Ptolemaios beskriver detaljerna i Almagest IV.11. Hipparchus använde två uppsättningar av tre observationer av månförmörkelser, som han noggrant valde ut för att uppfylla kraven. Den excentriska modellen anpassade han till dessa förmörkelser från sin babyloniska förmörkelselista: 22/23 december 383 f.Kr., 18/19 juni 382 f.Kr. och 12/13 december 382 f.Kr. Den epicykliska modellen anpassade han till månförmörkelseobservationer gjorda i Alexandria den 22 september 201 f.Kr., den 19 mars 200 f.Kr. och den 11 september 200 f.Kr.
- För den excentriska modellen fann Hipparchos för förhållandet mellan excenterns radie och avståndet mellan excenterns centrum och exliptikans centrum (dvs, observatören på jorden): 3144 : 327 2⁄3 ;
- och för den epicykliska modellen förhållandet mellan deferentens radie och epicykeln: 3122 1⁄2 : 247 1⁄2 .
De något märkliga siffrorna beror på den otympliga enhet han använde i sin ackordtabell enligt en grupp historiker, som förklarar att deras rekonstruktions oförmåga att stämma överens med dessa fyra siffror delvis beror på några slarviga avrundnings- och beräkningsfel av Hipparchos, som Ptolemaios kritiserade honom för (han själv gjorde också avrundningsfel). En enklare alternativ rekonstruktion överensstämmer med alla fyra siffrorna. Hur som helst fann Hipparchus inkonsekventa resultat; han använde senare epicykelmodellens förhållande (3122 1⁄2 : 247 1⁄2), som är för litet (60 : 4;45 sexagesimalt). Ptolemaios fastställde ett förhållande på 60 : 5 1⁄4. (Den maximala vinkelavvikelsen som kan produceras med denna geometri är arcsin av 5 1⁄4 dividerat med 60, eller cirka 5° 1′, en siffra som därför ibland anges som motsvarigheten till månens ekvation av centrum i den hipparkiska modellen.)
Solens skenbara rörelseRedigera
Förrän Hipparkos, Meton, Euctemon och deras elever i Aten hade gjort en solståndsobservation (dvs, timade tidpunkten för sommarsolståndet) den 27 juni 432 f.Kr. (proleptisk juliansk kalender). Aristarkos från Samos sägs ha gjort detta år 280 f.Kr. och Hipparkos hade också en observation av Archimedes. Som framgår av en artikel från 1991 beräknade Hipparchos 158 f.Kr. ett mycket felaktigt sommarsolstånd utifrån Callippus kalender. Han observerade sommarsolståndet 146 och 135 f.Kr. båda med en noggrannhet på några timmar, men observationer av dagjämningen var enklare, och han gjorde tjugo under sin livstid. Ptolemaios ger en utförlig diskussion om Hipparchus arbete om årets längd i Almagest III.1, och citerar många observationer som Hipparchus gjorde eller använde, som sträcker sig från 162-128 f.Kr. En analys av Hipparkus sjutton observationer av dagjämningen som han gjorde på Rhodos visar att det genomsnittliga felet i deklinationen är positivt sju bågminuter, vilket nästan stämmer överens med summan av luftrefraktion och Swerdlows parallax. Det slumpmässiga bruset är två bågminuter eller nästan en bågminut om man tar hänsyn till avrundning, vilket ungefär stämmer överens med ögats skärpa. Ptolemaios citerar en tidpunkt för dagjämningen av Hipparchus (den 24 mars 146 f.Kr. i gryningen) som skiljer sig med 5 timmar från den observation som gjordes på Alexandrias stora offentliga ekvatorialring samma dag (1 timme före middagstid): Hipparchus kan ha besökt Alexandria, men han gjorde inte sina dagjämningsobservationer där; förmodligen befann han sig på Rhodos (på nästan samma geografiska längdgrad). Ptolemaios hävdar att hans solobservationer gjordes på ett transitinstrument som var inställt i meridianen.
En ny expertöversättning och analys av Anne Tihon av papyrus P. Fouad 267 A har bekräftat 1991 års resultat, som citeras ovan, att Hipparchus fick ett sommarsolstånd år 158 f.Kr. Men papyrusen anger datumet 26 juni, mer än en dag tidigare än 1991 års slutsats om 28 juni. Den tidigare studiens §M konstaterade att Hipparchus inte antog solstickan den 26 juni förrän 146 f.Kr. när han grundade solens bana som Ptolemaios senare antog. Om dessa uppgifter sammanfogas tyder det på att Hipparchus extrapolerade solståndet den 26 juni 158 f.Kr. från hans 145 solstånd 12 år senare, ett förfarande som endast skulle orsaka ett minimalt fel. Papyrusen bekräftade också att Hipparchos hade använt sig av kallippisk solrörelse 158 f.Kr., ett nytt fynd 1991 men inte direkt intygat förrän P. Fouad 267 A. En annan tabell på papyrusen är kanske för siderisk rörelse och en tredje tabell är för metonisk tropisk rörelse, med användning av ett tidigare okänt år på 365 1⁄4 – 1⁄309 dagar. Detta hittades förmodligen genom att dela de 274 åren från 432 till 158 f.Kr. i motsvarande intervall på 1 00077 dagar och 14 3⁄4 timmar mellan Metons soluppgång och Hipparkos solnedgångs-solstånd.
I slutet av sin karriär skrev Hipparkos en bok med titeln Peri eniausíou megéthous (”Om årets längd”) om sina resultat. Det fastställda värdet för det tropiska året, som infördes av Callippus i eller före 330 f.Kr. var 365 1⁄4 dagar. Att spekulera i ett babyloniskt ursprung för det kallippiska året är svårt att försvara, eftersom Babylon inte observerade solstickorna och därför var den enda bevarade årslängden enligt System B baserad på grekiska solstickorna (se nedan). Hipparchos’ observationer av dagjämningen gav varierande resultat, men han påpekar själv (citerat i Almagest III.1(H195)) att observationsfelen hos honom själv och hans föregångare kan ha varit så stora som 1⁄4 dag. Han använde sig av gamla solståndsobservationer och fastställde en skillnad på ungefär en dag på cirka 300 år. Så han fastställde längden på det tropiska året till 365 1⁄4 – 1⁄300 dagar (= 365,24666… dagar = 365 dagar 5 timmar 55 min, vilket skiljer sig från det faktiska värdet (modern uppskattning, inklusive jordens snurracceleration) på hans tid på ca 365,2425 dagar, ett fel på ca 6 min per år, en timme per decennium, 10 timmar per århundrade.
Mellan Metons solståndsobservation och hans egen, fanns det 297 år som omfattade 108 478 dagar. D. Rawlins noterade att detta innebär ett tropiskt år på 365,24579… dagar = 365 dagar;14,44,51 (sexagesimalt; = 365 dagar + 14/60 + 44/602 + 51/603) och att denna exakta årslängd har hittats på en av de få babyloniska lertavlor som uttryckligen anger System B-månaden. Detta är en indikation på att hipparkos arbete var känt av kaldéerna.
Ett annat värde för året som tillskrivs hipparkos (av astrologen Vettius Valens på 1000-talet) är 365 + 1/4 + 1/288 dagar (= 365,25347… dagar = 365 dagar 6 timmar 5 min), men detta kan vara en förvanskning av ett annat värde som tillskrivs en babylonisk källa: 365 + 1/4 + 1/144 dagar (= 365,25694… dagar = 365 dagar 6 timmar 10 min). Det är inte klart om detta skulle vara ett värde för det sideriska året (aktuellt värde vid hans tid (modern uppskattning) ca 365,2565 dagar), men skillnaden med Hipparchus värde för det tropiska året stämmer överens med hans precessionshastighet (se nedan).
Solens omloppsbanaRedigera
För Hipparchus visste astronomerna att årstidernas längder inte är lika långa. Hipparchos gjorde observationer av dagjämningen och solståndet, och enligt Ptolemaios (Almagest III.4) fastställde han att våren (från vårdagjämningen till sommarsolståndet) varade 94½ dagar, och sommaren (från sommarsolståndet till höstdagjämningen) 92 1⁄2 dagar. Detta är oförenligt med förutsättningen att solen rör sig runt jorden i en cirkel med jämn hastighet. Hipparchos lösning var att placera jorden inte i centrum av solens rörelse, utan på ett visst avstånd från centrum. Denna modell beskrev solens skenbara rörelse ganska väl. Idag vet man att planeterna, inklusive jorden, rör sig i ungefärliga ellipser runt solen, men detta upptäcktes inte förrän Johannes Kepler publicerade sina två första lagar för planeternas rörelse år 1609. Det värde för excentriciteten som Ptolemaios tillskriver Hipparchus är att förskjutningen är 1⁄24 av banans radie (vilket är lite för stort), och riktningen för apogee skulle vara på longitud 65,5° från vårdagjämningen. Hipparchus kan också ha använt andra uppsättningar observationer, vilket skulle leda till andra värden. En av hans två förmörkelsetrios sollängder stämmer överens med att han ursprungligen hade antagit felaktiga längder för våren och sommaren på 95 3⁄4 och 91 1⁄4 dagar. Hans andra trippel av solpositioner stämmer överens med 94 1⁄4 och 92 1⁄2 dagar, vilket är en förbättring av de resultat (94 1⁄2 och 92 1⁄2 dagar) som Ptolemaios tillskrev Hipparchos, och som några få forskare fortfarande ifrågasätter författarskapet till. Ptolemaios gjorde ingen förändring tre århundraden senare och uttryckte längder för höst- och vintersäsongerna som redan var implicita (vilket t.ex. A. Aaboe visat).
Avstånd, parallax, månens och solens storlekRedigera
Hipparchos åtog sig också att finna avstånden och storlekarna för solen och månen. Hans resultat förekommer i två verk: Perí megethōn kaí apostēmátōn (”Om storlekar och avstånd”) av Pappus och i Pappus kommentar till Almagest V.11. Theon av Smyrna (200-talet) nämner verket med tillägget ”av solen och månen”.
Hipparchus mätte solens och månens skenbara diametrar med sin diopter. Liksom andra före och efter honom fann han att månens storlek varierar när den rör sig på sin (excentriska) bana, men han fann ingen märkbar variation i solens skenbara diameter. Han fann att på månens medelavstånd hade solen och månen samma skenbara diameter; på det avståndet passar månens diameter 650 gånger in i cirkeln, dvs, den genomsnittliga skenbara diametern är 360⁄650 = 0°33′14″.
Som andra före och efter honom noterade han också att månen har en märkbar parallax, dvs. att den verkar förskjuten från sin beräknade position (jämfört med solen eller stjärnorna), och skillnaden är större när den är närmare horisonten. Han visste att detta beror på att i de då aktuella modellerna cirkulerar månen runt jordens centrum, men observatören befinner sig på ytan – månen, jorden och observatören bildar en triangel med en skarp vinkel som ändras hela tiden. Utifrån storleken på denna parallax kan månens avstånd mätt i jordradier bestämmas. För solen däremot fanns det ingen observerbar parallax (vi vet nu att den är ungefär 8,8″, flera gånger mindre än upplösningen för det ohjälpta ögat).
I den första boken antar Hipparchos att solens parallax är 0, som om den befinner sig på oändligt avstånd. Han analyserar sedan en solförmörkelse, som Toomer (mot den åsikt som över ett sekel av astronomer har gett uttryck för) antar vara solförmörkelsen den 14 mars 190 f.Kr. Den var total i området kring Hellespont (och i hans födelseort Nicaea); Vid den tid Toomer föreslår att romarna förberedde sig för krig mot Antiochus III i området, och förmörkelsen nämns av Livius i hans Ab Urbe Condita Libri VIII.2. Den observerades också i Alexandria, där solen rapporterades vara skymd till 4/5 av månen. Alexandria och Nicaea ligger på samma meridian. Alexandria ligger på cirka 31° nord och området kring Hellespont cirka 40° nord. (Det har hävdats att författare som Strabo och Ptolemaios hade ganska hyggliga värden för dessa geografiska positioner, så Hipparchus måste också ha känt till dem. Strabos Hipparchusberoende latituder för denna region är dock minst 1° för höga, och Ptolemaios tycks kopiera dem och placerar Byzantium 2° högt i latitud). Hipparchus kunde rita en triangel som bildades av de två platserna och månen, och utifrån enkel geometri kunde han fastställa månens avstånd, uttryckt i jordradier. Eftersom förmörkelsen inträffade på morgonen befann sig inte månen i meridianen, och det har föreslagits att det avstånd som Hipparchus fann därför var en nedre gräns. I vilket fall som helst, enligt Pappus, fann Hipparchos att det minsta avståndet är 71 (från denna förmörkelse) och det största 81 jordradier.
I den andra boken utgår Hipparchos från det motsatta extrema antagandet: han tilldelar solen ett (minsta) avstånd på 490 jordradier. Detta skulle motsvara en parallax på 7′, vilket tydligen är den största parallax som Hipparchus trodde inte skulle märkas (för jämförelse: det mänskliga ögats typiska upplösning är ungefär 2′; Tycho Brahe gjorde observationer med blotta ögat med en noggrannhet ner till 1′). I detta fall är jordens skugga en kon och inte en cylinder som enligt det första antagandet. Hipparchus observerade (vid månförmörkelser) att vid månens medelavstånd är skuggkonens diameter 2 1⁄2 måndiameter. Denna skenbara diameter är, som han hade observerat, 360⁄650 grader. Med dessa värden och enkel geometri kunde Hipparchus bestämma medelavståndet; eftersom det beräknades för ett minsta avstånd till solen är det det största möjliga medelavståndet för månen. Med sitt värde för banans excentricitet kunde han också beräkna månens minsta och största avstånd. Enligt Pappus fann han ett minsta avstånd på 62, ett medelavstånd på 67 1⁄3 och följaktligen ett största avstånd på 72 2⁄3 jordradier. Med denna metod är minimigränsen för medelavståndet 59 jordradier när solens parallax minskar (dvs. dess avstånd ökar) – exakt det medelavstånd som Ptolemaios senare härledde.
Hipparchus fick alltså det problematiska resultatet att hans minsta avstånd (från bok 1) var större än hans största medelavstånd (från bok 2). Han var intellektuellt ärlig om denna diskrepans och insåg förmodligen att särskilt den första metoden är mycket känslig för observationernas och parametrarnas noggrannhet. (Faktum är att moderna beräkningar visar att storleken på solförmörkelsen i Alexandria 189 f.Kr. måste ha varit närmare 9⁄10th och inte den rapporterade 4⁄5th, en bråkdel som bättre stämmer överens med graden av totalitet i Alexandria av de solförmörkelser som inträffade 310 och 129 f.Kr. och som också var nästan totala i Hellespont, och som av många anses vara mer sannolika möjligheter till den solförmörkelse som Hipparkos använde för sina beräkningar.)
Ptolemaios mätte senare månens parallax direkt (Almagest V.13), och använde Hipparchus andra metod med månförmörkelser för att beräkna solens avstånd (Almagest V.15). Han kritiserar Hipparchus för att ha gjort motsägelsefulla antaganden och fått motstridiga resultat (Almagest V.11): men uppenbarligen förstod han inte Hipparchus strategi att fastställa gränser som stämmer överens med observationerna, snarare än ett enda värde för avståndet. Hans resultat var det bästa hittills: månens faktiska medelavstånd är 60,3 jordradier, inom hans gränser från Hipparkus andra bok.
Theon av Smyrna skrev att enligt Hipparkus är solen 1 880 gånger större än jorden och jorden 27 gånger större än månen; tydligen avser detta volymer, inte diametrar. Av geometrin i bok 2 följer att solen befinner sig på 2 550 jordradier och att månens medelavstånd är 60 1⁄2 radier. På samma sätt citerar Kleomedes Hipparchus för solens och jordens storlek som 1050:1; detta leder till ett medelavstånd till månen på 61 radier. Uppenbarligen har Hipparchos senare förfinat sina beräkningar och härlett exakta enskilda värden som han kunde använda för att förutsäga solförmörkelser.
Se för en mer detaljerad diskussion.
EclipsesEdit
Pliny (Naturalis Historia II.X) berättar att Hipparchus visade att månförmörkelser kan inträffa med fem månaders mellanrum och solförmörkelser med sju månaders mellanrum (i stället för de vanliga sex månaderna); och att solen kan döljas två gånger på trettio dagar, men som ses av olika nationer. Ptolemaios diskuterade detta ett århundrade senare utförligt i Almagest VI.6. Geometrin och gränserna för solens och månens positioner när en sol- eller månförmörkelse är möjlig förklaras i Almagest VI.5. Hipparchus gjorde tydligen liknande beräkningar. Resultatet att två solförmörkelser kan inträffa med en månads mellanrum är viktigt, eftersom detta inte kan baseras på observationer: den ena är synlig på det norra och den andra på det södra halvklotet – som Plinius anger – och det sistnämnda var otillgängligt för grekerna.
För att förutsäga en solförmörkelse, dvs. exakt när och var den kommer att bli synlig, krävs en gedigen lunarteori och en korrekt behandling av den månmässiga parallaxen. Hipparchos måste ha varit den förste som kunde göra detta. En rigorös behandling kräver sfärisk trigonometri, så de som förblir säkra på att Hipparchus saknade detta måste spekulera i att han kan ha nöjt sig med planära approximationer. Han kan ha diskuterat dessa saker i Perí tēs katá plátos mēniaías tēs selēnēs kinēseōs (”Om månens månatliga rörelse på latitud”), ett verk som nämns i Suda.
Pliny anmärker också att ”han upptäckte också av vilken exakt anledning, trots att skuggan som orsakar förmörkelsen från och med soluppgången måste befinna sig under jorden, det hände en gång i det förflutna att månen förmörkades i väster medan båda luminariorna var synliga ovanför jorden” (översättning H. Rackham (1938), Loeb Classical Library 330 s. 207). Toomer (1980) hävdade att detta måste hänvisa till den stora totala månförmörkelsen den 26 november 139 f.Kr., då månen över en ren havshorisont sett från Rhodos förmörkades i nordväst strax efter att solen gått upp i sydost. Detta skulle vara den andra förmörkelsen i det 345-årsintervall som Hipparkos använde för att verifiera de traditionella babyloniska perioderna: detta ger ett sent datum för utvecklingen av Hipparkos’ månteori. Vi vet inte vilket ”exakt skäl” Hipparchus fann för att se månen förmörkad medan den uppenbarligen inte stod i exakt opposition till solen. Parallax sänker höjden på de lysande föremålen; refraktion höjer dem, och från en hög synpunkt sänks horisonten.