För långvågig strålning antas jordens yta ha en emissivitet på 1 (dvs. jorden är en svart kropp i det infraröda området, vilket är realistiskt). Ytan avger en strålningsflödestäthet F enligt Stefan-Boltzmann-lagen:
F = σ T 4 {\displaystyle F=\sigma T^{4}}}
där σ är Stefan-Boltzmannkonstanten. En nyckel till att förstå växthuseffekten är Kirchhoffs lag om värmestrålning. Vid varje given våglängd är atmosfärens absorptivitet lika med emissiviteten. Strålning från ytan kan vara i en något annorlunda del av det infraröda spektrumet än den strålning som avges av atmosfären. I modellen antas att den genomsnittliga emissiviteten (absorptiviteten) är identisk för båda dessa strömmar av infraröd strålning när de interagerar med atmosfären. För långvågig strålning betecknar således en symbol ε både atmosfärens emissivitet och absorptivitet för varje ström av infraröd strålning.
Den infraröda flödestätheten ut från atmosfärens topp:
F = ϵ σ T a 4 + ( 1 – ϵ ) σ T s 4 {\displaystyle F\uparrow =\epsilon \sigma T_{a}^{4}+(1-\epsilon )\sigma T_{s}^{4}}}
I den sista termen representerar ε den del av den uppåtriktade långvågiga strålningen från ytan som absorberas, atmosfärens absorptivitet. I den första termen till höger är ε atmosfärens emissivitet, anpassningen av Stefan-Boltzmann-lagen för att ta hänsyn till att atmosfären inte är optiskt tjock. ε spelar alltså en roll för att på ett snyggt sätt blanda eller medelvärdesberäkna de två strålningsströmmarna vid beräkningen av den yttre flödestätheten.
Noll nettostrålning som lämnar atmosfärens topp kräver:
– 1 4 S 0 ( 1 – α p ) + ϵ σ T a 4 + ( 1 – ϵ ) σ T s 4 = 0 {\displaystyle -{\frac {1}{4}}}S_{0}(1-\alpha _{p})+\epsilon \sigma T_{a}^{4}+(1-\epsilon )\sigma T_{s}^{4}=0}
Noll nettostrålning till ytan kräver:
1 4 S 0 ( 1 – α p ) + ϵ σ T a 4 – σ T s 4 = 0 {\displaystyle {\frac {1}{4}}}S_{0}(1-\alpha _{p})+\epsilon \sigma T_{a}^{4}-\sigma T_{s}^{4}=0}
Energy equilibrium i atmosfären kan antingen härledas från de två ovanstående jämviktsvillkoren eller härledas oberoende av varandra:
2 ϵ σ T a 4 – ϵ σ T s 4 = 0 {\displaystyle 2\epsilon \sigma T_{a}^{4}-\epsilon \sigma T_{s}^{4}=0}
Notera den viktiga faktorn 2, som beror på att atmosfären strålar både uppåt och nedåt, så förhållandet mellan Ta och Ts är oberoende av ε:
T a = T s 2 1 / 4 = T s 1.189 {\displaystyle T_{a}={T_{s} \over 2^{1/4}}}={T_{s} \over 1.189}}}
Ta kan alltså uttryckas i termer av Ts, och en lösning erhålls förTs i termer av modellens ingående parametrar:
1 4 S 0 ( 1 – α p ) = ( 1 – ϵ 2 ) σ T s 4 {\displaystyle {\frac {\frac {1}{4}}}S_{0}(1-\alpha _{p})=\left(1-{\frac {\epsilon }{2}}}\right)\sigma T_{s}^{4}}}
eller
T s = 1 / 4 {\displaystyle T_{s}=\left^{1/4}}}
Lösningen kan också uttryckas i termer av den effektiva emissionstemperaturen Te, som är den temperatur som kännetecknar den utgående infraröda flödestätheten F, som om radiatorn var en perfekt radiator som lyder F=σTe4. Detta är lätt att begreppsliggöra i samband med modellen. Te är också lösningen för Ts, för fallet ε=0, eller ingen atmosfär:
T e ≡ 1 / 4 {\displaystyle T_{e}\equiv \left^{1/4}}
Med definitionen av Te:
T s = T e 1 / 4 {\displaystyle T_{s}=T_{e}\left^{1/4}}
För ett perfekt växthus, där ingen strålning flyr från ytan, eller ε=1:
T s = T e 2 1 / 4 = 1.189 T e T a = T e {\displaystyle T_{s}=T_{e}2^{1/4}=1.189T_{e}\qquad T_{a}=T_{e}}
Med de parametrar som definierats ovan som lämpliga för jorden,
T e = 255 K = – 18 C {\displaystyle T_{e}=255~\mathrm {K} =-18~\mathrm {C} }
För ε=1:
T s = 303 K = 30 C {\displaystyle T_{s}=303~\mathrm {K} =30~\mathrm {C} }
För ε=0.78,
T s = 288.3 K T a = 242.5 K {\displaystyle T_{s}=288.3~\mathrm {K} \qquad T_{a}=242.5~\mathrm {K} }
.
Detta värde på Ts råkar ligga nära den publicerade 287,2 K för den genomsnittliga globala ”yttemperaturen” baserad på mätningar. ε=0,78 innebär att 22 % av ytstrålningen undslipper direkt till rymden, vilket stämmer överens med uttalandet om att 15-30 % undslipper i växthuseffekten.
Den radiativa forceringen för en fördubbling av koldioxiden är 3,71 W m-2, i en enkel parametrisering. Detta är också det värde som godkänns av IPCC.Från ekvationen för F {\displaystyle F\uparrow }
, Δ F = Δ ϵ ( σ T a 4 – σ T s 4 ) {\displaystyle \Delta F\uparrow =\Delta \epsilon \left(\sigma T_{a}^{4}-\sigma T_{s}^{4}\right)}
Användning av värdena för Ts och Ta för ε=0,78 ger Δ F {\displaystyle \Delta F\uparrow }
= -3,71 W m-2 med Δε=.019. En förändring av ε från 0,78 till 0,80 är således förenlig med strålningsdrivningen från en fördubbling av koldioxid. För ε=0,80 är T s = 289,5 K {\displaystyle T_{s}=289,5~\mathrm {K} }
Denna modell förutsäger alltså en global uppvärmning på ΔTs = 1,2 K för en fördubbling av koldioxid. En typisk förutsägelse från en GCM är en uppvärmning av ytan på 3 K, främst på grund av att GCM:n tillåter positiv återkoppling, särskilt från ökad vattenånga. Ett enkelt substitut för att inkludera denna återkopplingsprocess är att anta en ytterligare ökning av Δε=.02, för en total Δε=.04, för att approximera effekten av den ökning av vattenånga som skulle vara förknippad med en temperaturökning. Denna idealiserade modell förutsäger sedan en global uppvärmning på ΔTs = 2,4 K för en fördubbling av koldioxid, vilket i stort sett överensstämmer med IPCC.