二等分

3.2 上下の尺度による定性的近似と推移的不分離性

知覚や他の比較判断が不可能ではないにしても困難な、以下の閾値に関する心理的考察はフェヒナーによって始められた 。 重要な初期の数学的解析は、ウィーナーによって行われた。 現代の文献の多くはLuceの半順序の定義から始まり、ScottとSuppesによって有限の場合における単一の二項関係として公理化された 。 最も重要な貢献はFalmagneである。

閾値の確率的解析は少なくともThurstoneの作品から始まった。 また、Falmagneはこのアプローチの中心的な貢献者であり、同僚とともに書かれた他の多くの論文もある。 Falmagne and Iverson, Falmagne et al., and Iverson and Falmagne . この文献はSuppes et al., .

言及された研究のほとんどすべては、類似の事象、物体、または刺激の区別がつかないことが非遷移的関係であると仮定している。 暗黙の前提は、多くの異なる識別観察があれば、最初は区別できない多くの事象が分離されるかもしれないということである。 ここでは、その逆が出発点であり、タイトルに「推移的」という言葉が使われている理由である。 識別不能が同値関係であることは、導入した公理の帰結であり、従って、他動的である。 本節の残りはSuppes .

前節で、有限標準の比率尺度表現の構築に焦点を当てた広範囲な測定を簡単にレビューした。 ここで推移的無差別性の根拠を簡単に説明する。 重さを量った物体は、例えば1.9gと2.0gの間の1つの固有の最小区間に割り当てられる。標準列に含まれない2つの物体a、bが重さで等しい、a≒bという二項関係は、標準列の同じ最小区間に割り当てられるということである。 この関係は明らかに同値関係であり、すなわち しかし、開発された近似のシステムでは、これらの特性は直接検証可能ではなく、むしろ重みの標準的なすでに「校正された」セットで計量操作の結果である。

そこで、後で使用する表記では、最小区間に割り当てられたオブジェクト（1.9 g, 2.0 g）に割り当てられたオブジェクトは、近似的に、（重量の）上方測定値w* (a) = 2.0 gと下方測定値w* (a) = 1.9 gを持つと言われています。実際には、最も洗練された測定手順以外では、この最小区間に重量を持つことの統計分析は行われていません。

通常の実務は、私が最小区間を使用し、それによって適切な近似測定値として上限と下限を割り当てることと完全に一致しているわけではありません。 しかし、行われていることは密接に、そして単純に関連しているのです。 初歩の物理の授業で習うように、例えば「0.1gまで正確」と表現する場合、測定値は1.9±0.1gと書かれる。 通常、実務で推奨されるのは、不確かさを減らすために隣接する2つの最小間隔を使用し、測定値自体を1つの数値として表現することである。 第3節で示した公理は、このように1つの最小区間ではなく、隣接する2つの最小区間の使用に対応するように簡単に変更することができます。

この同じ±表記は、繰り返し測定の統計的標準誤差を表すためにも広く使用されています。 公理で形式化された基礎的な見解は、与えられた状況では最小区間より細かい測定は利用できないということなので、ここでは上部と下部の両方の測定を保持することが概念的に重要である。 また、最小区間内の位置の確率分布を理論的に構築しても、科学的にはあまり意味がない。

用語の問題として、私が有限等間隔広範囲構造と呼んだものは、同様に有限標準系列広範囲構造と呼ぶことができるだろう。 標準列の用語は、測定の基礎に関する文献でよく知られています。 この用語は、標準列を形成する重みの集合に対して、標準集合という便利な用語を提案している。

以降の使用において、標準重みの2つの集合AおよびBに対して、それらが重みにおいて等しくない場合、それらの間の可能な最小差は1原子集合の重みであるということに注目することが重要である。 より正確には、集合の順序付きペア（A、B）は、μ（A）-μ（B）＝μ（1原子集合）、すなわち、それらの差は実際には非等価な標準集合の最小である場合、標準集合の最小ペアとなる。 なお、(A, B)が最小ペアであれば、A≧Bである。このようなペアの等価性は、定義するのに便利な概念である。 二つの最小ペア (A, B) と (A′, B′,) は μ(A) = μ(A′) かつ μ(B′) であれば、等価である。 (1)

(A, B)と(C, D)が最小対の場合、μ(A) – μ(B) = μ(C) – μ(D) となる。

(2)

明らかに順序関係≧は最小ペア(A, B)と(C,D)に拡張できる：

これを使えば、先に同等の最小ペアを定義できたはずである。

(3)

空集合φは標準集合である。

ここで有限の等間隔な広範構造（有限の標準列ともいう）を仮定して、標準列の範囲内でおよそどんな物理物体でも測定できるように追加の公理を与えている。 原初的な概念は、現在

（i）物体の集合Ω、（ii）Ωの部分集合の非空族F、（iii）Ωの部分集合S、その要素は有限の標準列を形成する、（iv）測定されるべき物体の部分集合W、すなわち。 W = F|W – {φ}はWのすべての空でない部分集合の族である(F|Wという表記は、部分集合の族FがWの部分集合に制限されていることを意味する) (v)

F上の二項関係≧、ただしWの弱い順序であるとは仮定しない。これは後に証明される。 前回と同様に、定義する。 W1≧W2のとき、W1≧W2であり、W2≧W1でない。 また、W2かつW2≧W1であればW1≒W2

（S1、S2）が最小ペアであり、S1≧W1≧S2であれば、（S1 S2）はW1に対して最小ペアといい、またW1には最小ペアがあると言う＜1992>

定義11.W1≧W1

（W2）≦W1≦W1≦S2定義11.最小ペアの定義 構造Ω＝（Ω，F，S，W，≧）は、Wが非空きの有限集合であり、W⊆F｜WがWのすべての非空部分集合の族であり、F｜SにおけるすべてのS1、S2、S3、S4とWにおけるすべてのW1、W2について次の公理を満たす場合にのみ有限の標準列による近似的な広範構造であるとする。

(S, F|S, ≧)は有限の等間隔エクステンシブ構造である；

S ∩ W = ϕ と S∪ W = Ω；

Wi ≧ W2 または W2 ≧ Wi;

W1≧S2ならW1≧W2;

S1≧W1≧S2ならS1≧S2;

W1≧S2またはS1≧W1;

（S1、φ）が最小ペアならW1≧S1.となる。

W1∩W2＝φ、S1≧W1≧S2、S3≧W2≧S4、S1∩S3＝φなら、S1∪S3≧W1∪W2≧S2∪S4です。

W1∩W2＝φであれば、S1∩S2＝φ、S1≧W1、S2≧W2のような標準集合S1、S2が存在する。

W1≧W2ならば、W1≧S1≧W2;

W1には標準集合の最小対が存在する。

これらの公理について、いくつかのコメントをするのが適切である。 公理1は、標準集合の構造を近似の枠内に持ってきただけである。 公理2は、標準集合のために校正されたSにあるものと、計量される対象であるWにあるものとの間に、対象の重複がないことを要求している。 公理3は、標準重みを使用したテストを行わず、純粋に計量されたオブジェクトの観点で表現された唯一の公理である。 Wの≧の連結性という要件はよく知られている。 公理 4-11 は，標準集合の範囲内にある重みの近似的な測定を正当化するのに十分な，テスト可能な仮定を定式化したものである． 集合 S と W の両方が有限であるため、各公理は等腕天秤で直接検定することができます。 公理4は，W1がW2より厳密に重いことの検定，すなわち，W1≧S1かつS1≧W2であるようなS1を求めよ，というものである． 公理5は、標準集合と秤量された集合やオブジェクトの関係について、いわば他律的な条件を述べている。 S1がW1より重く、W1がS2より重ければ、S1がS2より重くなければならない。 公理6は、どんな秤量された物体W1も、どんな標準集合と全く同じ重さであることを除外している。 この公理はより弱い形も可能であるが、その場合は試験条件が複雑になる。 この公理は、信念や行動の測定でおなじみの「強制選択」の公理に似ている。 公理7は、任意の被計量物W1が任意の最小正標準集合S1より重いことを要求している。 この公理は、等腕天秤または同等の装置が、最小の標準セットより小さい任意の正の重さに感応しないことを許可します。 公理8は、明らかに定義1の公理2に例示される通常の加算の質的公理を近似測定に一般化したものである。 公理9は、重み付けされる不連続な集合W1、W2が与えられたとき、最小上界であるW1に対するS1、W2に対するS1という不連続な標準集合が、同じく不連続に見出せることを保証している。 これは他の公理から導かれるものではなく、W1∪W2＝Wの場合、不連続な最小上界S1∪S1の和はW自体の最小上界より1原子大きい標準集合になりうるので、この場合をカバーするためにSを大きくする必要があるのである。 この可能性は定理12で明示されている。 公理10はW1がW2より厳密に重いことの検定であり、検定は当然ながら標準集合の粗密に対して相対的である。 公理11は、計量される任意のオブジェクト、またはオブジェクトの集合が、標準集合の最小ペア、すなわち標準集合間の離散的な最小上限と最大下限を持つことによって、標準集合の範囲内に入ることを保証する。

最初に、計量されるオブジェクトの集合間の関係≧、≈の推移性に着目して、初等定理の一例を述べる。 W1≒W2、W2≧W3のとき、W1≧W3.

＜6315＞次の定理は、標準集合に対する同値関係≒が集合S×W上の≧に対して一致特性を持つことを示す.

＜6315＞THEOREM11.W1≧W2、W2≧W3、W2≧W3、W1≧W3.＜6316＞THEOREM11. S1≒S1でS1≧W1ならばS1≧W1.

次の定理は、W1とW2が区別できないことのテスト可能な基準を主張する.

定理12.W1≧W2が区別可能なのは、W1≧W1である。 W1 ≈ W2 は、W1 と W2 が等価な最小対を持つ場合に限る。

同様の方法で、密接に関連した結果を証明できる。

上下の尺度の組（μ*、μ*）という概念は新しいものではない。 少なくとも19世紀後半にCarathedoryらによって解析に内尺と外尺が使われたことにさかのぼる。 確率論での使用は少なくともKoopmanまでさかのぼる。

近似測度の表現が上下の測度によって明示的に与えられている。 定理15、あるいはそれとほぼ同等のものが、上下の測度のsubadditiveとsuperadditiveの性質を確立するために必要である。 これらの性質は次の定理の（v）の部分で明示的に定式化される。

いま証明された定理の(v)項の不等式と定理15で表される2つの分離的な定性的可能性を比較すると、より厳しい境界が証明できることが示唆されている。 定理15で正当化されるμ*(W1)+μ*(W2)の項を挿入することにより、(v’)項の不等式をよりタイトにすることができる＜1992＞＜6315＞COROLLARY 1.

(v′) μ*(W1) + μ*(W2) ≦ μ*(W1∪W2) ≦ μ*(W1) + μ*(W2) ≦ μ*(W1∪W2) ≦ μ*(W1) + μ*(W2).1.

定理16の不変量については、定理1のこの部分から明らかなものが導かれるため、述べていない。 しかし、もっと興味のある別の関連した考察がある。 定義11によって特徴付けられるように、近似的な広範囲測定の任意の構造の一部である有限標準列S＝（S，F，≧）の最小区間は、経験的測定の定性的な精度を固定化するものである。 ここで、Wの部分集合の同じ性質を測定するための第2の有限標準列Tを考え、（T1，T′1）をTの最小区間とする。すると、従来の広義の測定単位の受け入れと異なり、近似測定の場合、（S1，S′1）と（T1，T′1）の経験比によって与えられる精度の直接定性的比較ができるようになる。 例えば、私が自分の体重を測るためにいつも使っている「はかり」の最小間隔は0.25ポンドですが、あまり使わない別のはかりの最小間隔は0.1キロです。 1 kg = 2.20 lbなので、0.25 lbと0.1 kgの比率は0.25/.22となり、小数点以下2桁で1.14となる。 つまり、メートル法で校正された標準尺の方がわずかに正確ですが、どちらの「尺度」も、ほとんどの目的で通常観察または記録される精度を超える最小間隔を提供します。

同様の例は、異なる有限の標準列を使用した長さの測定についても簡単に与えられる。 さらに、ここで開発された上下測度に関する近似理論は、同じ方法によって差分測定、二等分測定、コンジョイント測定に容易に拡張でき、やや難しいがアフィン幾何やユークリッド幾何などの多次元に拡張できる。 当然のことながら、上下法の応用は主観的確率の近似的測定に最も多く適用されてきた。 包括的なレビューと分析は、Walley .

ここでは近似的な測定に焦点を当てたが、ランダム関数としての確率変数からランダム関係への直接的な集合論的一般化から、非常に異なった上下確率の理論が導き出されることがある。 その理論的な違いを示すものとして、SuppesとZanottiによるランダムな関係から導かれる上下の測度が、Choqueの意味での無限オーダーの容量であることがあげられる。 これに対して、ここで近似測定のために考えた上下限の測度は、2次の容量ですらない。 明らかに、こことSuppesで紹介した近似の意味は、ある意味で唯一の可能性ではないのである。