そこで、数学の世界には数多くの数の種類があり、それぞれ特殊な性質を持っています。 数学者は数と数のグループ間の関係について理論を立てます。 彼らはその理論を公理（以前に確立された、真であると推定される声明）と定理（他の定理や公理に基づく声明）で支持する。
しかし、ピカピカの新しい数学理論を構築する最初のステップは、数の関係についての理論的質問をすることである。 たとえば、2 つの立方体の和は立方体になりうるか。 前のページに出てきたピタゴラスの三角形を覚えていますか？ (3,4,5)のような3つの数のトリオで、a2 + b2 = c2という方程式が解けるのです。 しかし、a3 + b3 = c3はどうでしょうか？ 数学者のピエール・ド・フェルマーは、立方体について同じ疑問を抱き、1637年に、2つの立方体の和が立方体になることはないことを、一行一行丹念に論理的に証明した、と主張したのである。 これを「フェルマーの最終定理」と呼んでいる。 残念ながら、フェルマはノートに完全な証明をする代わりに、「この命題の実に驚くべき証明があるのだが、この余白では収まらない」とだけ書いているのだ。 その時、何があったのだろうか。 学問的なプライドと、純粋で抽象的な数学への愛だけである。 そして1993年、イギリスの数学者アンドリュー・ワイルズが、フェルマーの時代には発見されていなかった計算機数学の助けを借りて、356年前の定理の証明に成功したのである。 専門家の間では、フェルマーがコンピューター以前の時代に実際にこのような驚異的な証明を行ったのか、それとも彼が勘違いをしていたのか、論争が続いています。
数論におけるその他の問題は、数または数群におけるさまざまな知覚または理論的パターンに関連するものでした。 すべては、知的思考の最も重要な側面であるパターン認識から始まる。 ブラウン大学の数学教授であるジョセフ・H・シルバーマンは、数論における 5 つの基本的なステップを提示しています：
- 数学的または抽象的データを蓄積する。
- これらのパターンや関係を説明するために、（一般的には方程式の形で）推測を立てる。
- 追加のデータで推測をテストする。
したがって、フェルマーの最終定理は、356年間は本当に推測であり、1993年に初めて真の定理となった。 その他にも、ユークリッドの「無限の素数の証明」（素数は無限であることを証明する）は、紀元前 300 年から数学的推論の確固たるモデルであり続けました。
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