このモデルは、大気上部を抜けて出ていく放射力が太陽光の吸収放射力と等しくなるようなTsとTaの値を見つける。 地球のような惑星に適用すると、出て行く放射は長波になり、太陽光は短波になる。 この2つの放射の流れは、それぞれ異なる放射・吸収特性を持つことになる。 理想化されたモデルでは、大気は太陽光に対して完全に透明であると仮定している。 惑星のアルベドαP は、入射する太陽放射束のうち宇宙空間に反射される割合である（大気は太陽放射に対して完全に透明であると仮定しているので、このアルベドが惑星表面での反射、大気上部の反射、あるいは混合物のいずれによるものと考えても問題はない）。 入射太陽放射のフラックス密度は、太陽定数S0によって規定される。 地球への適用では、S0=1366 W m-2、αP=0.30が適切な値である。 球の表面積がその切片（影）の面積の4倍であることを考慮すると、平均入射放射はS0/4となる。
長波放射については、地球表面の放射率が1である（すなわち、地球は赤外線では黒体であり、現実的である）ものと仮定する。 表面はステファン・ボルツマンの法則に従って放射束密度Fを放出している：
F = σ T 4 {displaystyle F=sigma T^{4} }} 。
ここで、σはステファン-ボルツマン定数である。 温室効果を理解する上で重要なのは、キルヒホッフの熱放射の法則である。 任意の波長において、大気の吸収率は放射率に等しくなる。 地表からの放射は、大気から放射される放射とはわずかに異なる赤外線スペクトルの部分となりうる。 このモデルでは、大気と相互作用するこれらの赤外線放射の流れのいずれについても、平均放射率（吸収率）は同一であると仮定している。 したがって、長波放射については、1つの記号εは、赤外線放射の任意のストリームに対して、大気の放射率と吸収率の両方を示しています
温室効果のない平衡解：ε=0
大気上端から出る赤外線フラックス密度です。
F = ϵ σ T a 4 + ( 1 – ϵ ) σ T s 4 {displaystyle Fuparrow =epsilon \sigma T_{a}^{4}+(1-יepsilon )\sigma T_{s}^{4} } } {displaystyle Fuparrow =epsilon ϵ σ T_{a}^{4}+(1-יepsilon )|therapy {duisagram}}}となります。
最後の項のεは地表からの上向き長波放射が吸収される割合、つまり大気の吸収率を表しています。 右の第1項のεは大気の放射率で、大気が光学的に厚くないことを考慮したステファン-ボルツマン則の調整値である。 このようにεは、外向き光束密度の計算において、2つの放射の流れをきれいに混ぜ合わせる、つまり平均化する役割を担っているのです。
大気上端から出る正味の放射がゼロになるには、次のことが必要である。
– 1 4 S 0 ( 1 – α p ) + ϵ σ T a 4 + ( 1 – ϵ ) σ T s 4 = 0 {displaystyle -{hrac {1}{4}}S_{0}(1-alpha _{p})+theepsilon \sigma T_{a}^{4}+(1-theepsilon )theepsigma T_{s}^{4}=0} {frac{2}{3}S_{4}(1-alpha _{p})+theepsilon Γ {2}{4}{3}{3}=0} {displaystyle
地表に入る正味の放射がゼロであることが必要である。
1 4 S 0 ( 1 – α p ) + ϵ σ T a 4 – σ T s 4 = 0 {displaystyle {frac {1}{4}}S_{0}(1-Нα _{p})+Нε \sigma T_{a}^{4}-Нσ T_{s}^{4}=0} ｛1 – α {2} {2 – α p})+ αε {2 – α {2 – α p})+ αε {2 – α {2 – α p})｝となる。
大気のエネルギー平衡は、上記の二つの平衡条件から導かれるか、あるいは独自に演繹されるかのいずれかである。
2 ϵ σ T a 4 – ϵ σ T s 4 = 0 {displaystyle 2epsilon \sigma T_{a}^{4}-epsilon T_s}^{4}=0} ←クリックすると拡大します。
Note important factor of 2, resulting from fact that atmosphere radiates up and downward.Thus ratio of Ta to Ts is independent of ε:
T a = T s 2 1 / 4 = T s 1.189 {displaystyle T_{a}={T_{s} \over 2^{1/4}}={T_{s} \over 1.189}}}.
このようにTaはTsの項で表すことができ、Tsについてはモデル入力パラメータの項で解が得られる。
1 4 S 0 ( 1 – α p ) = ( 1 – ϵ 2 ) σ T s 4 {displaystyle {frac {1}{4}}S_{0}(1-Âα _{p})=Âleft(1-{frac {epsilon }{2}}right)\sigma T_{s}^{4}}} 。
or
T s = 1 / 4 { {displaystyle T_{s}=left^{1/4}} }.
この解は実効発光温度Teで表すこともでき、これは放射体がF=σTe4に従う完全放射体であるかのように、出射赤外線束密度Fを特徴付ける温度である。 これは、モデルの文脈で概念化するのは簡単である。 Te は、ε=0 の場合、つまり大気がない場合の Ts の解でもある。
T e ≡ 1 / 4 {displaystyle T_{e}equiv \left^{1/4}}} 。
Teの定義：
T s = T e 1 / 4 {displaystyle T_{s}=T_{e}left^{1/4}} とすると、次のようになります。
完全な温室で、表面から放射を出さない場合、またはε=1:
T s = T e 2 1 / 4 = 1.189 T e T a = T e {displaystyle T_{s}=T_{e}2^{1/4}=1.189T_{e}qquad T_{a}=T_{e}}}
地球に対して適切であると上記で定義されたパラメータを使用すると、
T e = 255 K = – 18 C {displaystyle T_{e}=255~mathrm {K} =-18~mathrm {C} となります。 }
For ε=1:
T s = 303 K = 30 C {displaystyle T_{s}=303~mathrm {K} =30~mathrm {C}. }
For ε=0.78,
T s = 288.3 K T a = 242.5 K {displaystyle T_{s}=288.3~mathrm {K}. \quad T_{a}=242.5~mathrm {K}. }
.
このTsの値は、偶然にも、測定に基づく地球の「表面温度」の平均値として公表されている287.2Kに近い。 ε=0.78は、表面放射の22%が直接宇宙へ逃げていることを意味し、温室効果で15%から30%が逃げているという記述と一致する。
二酸化炭素を2倍にした場合の放射強制力は、単純なパラメタリゼーションで3.71W m-2である。 これはIPCCが推奨する値でもある。F {displaystyle Fuparrow }の式より。
, Δ F = Δ ϵ ( σ T a 4 – σ T s 4 ) {displaystyle \Delta F}uparrow =\Delta \epsilon \left(\sigma T_{a}^{4}-the sigma T_{s}^{4}right)} } } σ Delta F= Δ ϵ ( σ T a 4 – σ T s 4 ) {displaystyle \Delta F}uparrow = Turkey Turkey
TsとTaをε=0.78で使用すると、ΔF {displaystyle \Delta Fuparrow }が得られます。
= -3.71 W m-2で、Δε=.019である。 したがってεを0.78から0.80に変化させると、二酸化炭素が2倍になったときの放射強制力と一致する。 ε=0.80の場合、T s = 289.5 K {displaystyle T_{s}=289.5~mathrm {K} となる。 }
したがってこのモデルは、二酸化炭素の2倍に対してΔTs=1.2 Kの地球温暖化を予測します。 GCMの典型的な予測は3キロの地表温暖化ですが、これはGCMが、特に水蒸気の増加による正のフィードバックを許容していることが主な理由です。 このフィードバック過程を含めるための簡単な代用として、Δε=0.02の追加増加を仮定し、温度上昇に伴う水蒸気の増加の効果を近似的に表すために、合計Δε=0.04とする。 この理想化されたモデルは、二酸化炭素の2倍に対してΔTs=2.4 Kの地球温暖化を予測し、IPCCとほぼ一致する。