月の運動Edit
ヒッパルコスも月の運動を研究し、カルデアの天文学者が彼以前に持っていたと広く推定される月の運動の2つの周期について、その最終的な起源はともかく、正確な値を確認した。 バビロニア体系Bの）伝統的な平均共役月の値は29日で、31,50,8,20（性差）=29.5305941…日である。 29日＋12時間＋793/1080時間で表され、この値は後にヘブライ暦で使われるようになった。 カルデア人は、251の会陰月≒269の変則的な月であることも知っていた。 ヒッパルコスは、この間隔が日食期間でもあり、整数年に近いことから、この期間の17倍を用いた（4267月：4573変則周期：4630.53節気周期：4611.98月軌道：344.996年：344.982太陽軌道：126,007.003日：126,351.985自転）。 この周期が非常に優れていて便利なのは、345年周期の日食がすべて126,007日をわずかに超える間隔で、±1/2時間程度の狭い範囲で起こることで、（4267で割ると）1000万分の1のオーダーで正しい朔望月の推定を保証していることである。 ヒッパルコスは、自分の時代の日食（紀元前141年1月27日と紀元前139年11月26日と推定）と、345年前のバビロニアの日食（アルマゲスト4.2）を比較し、自分の計算を確認することができた（アルマゲスト4.2;）。 すでにアル・ビルニ（Qanun VII.2.II）やコペルニクス（de revolutionibus IV.4）は、4267月の期間がプトレマイオスがヒッパルコスによるとする日食期間の値より実際には5分ほど長いことに着目している。 しかし、バビロニア人の計時法では8分を下らない誤差があった。 現代の学者たちは、ヒッパルコスが日食期間を1時間単位に丸め、独自の観測から改良した値を導き出そうとしたのではなく、従来の値の妥当性を確認するために使用したという点で一致している。 現代のエフェメライドと日の長さの変化（ΔT参照）を考慮すると、想定される会陰月の長さの誤差は、紀元前4世紀には0.2秒以下、ヒッパルコスの時代には0.1秒以下と推定される。
月の軌道Edit
月の運動が一様ではなく速度に差があることは長い間知られてきたことであった。 これは月の異常と呼ばれ、異常な月が独自の周期で繰り返される。 カルデア人はこのことを算術的に理解し、長い期間の中で日付によって毎日の月の動きを与える表を使っていた。 しかし、ギリシア人は天空の幾何学的なモデルで考えることを好んだ。 ペルガのアポロニウスは紀元前3世紀末に、月と惑星の運動について2つのモデルを提案している。
ヒッパルコスは、月の異常の特定の位相における3つの位置からパラメータを求める幾何学的方法を考案している。 実際、彼はこれを偏心型と外輪型に別々に行った。 プトレマイオスは『アルマゲスト』IV.11にその詳細を記述している。 ヒッパルコスは2組の3つの月食観測を用い、その条件を満たすように慎重に選択した。 彼はバビロニアの日食リストから、これらの日食に偏心モデルを当てはめた。 紀元前383年12月22日・23日、紀元前382年6月18日・19日、紀元前382年12月12日・13日です。 ヒッパルコスは偏心モデルについて、偏心半径と偏心中心から黄道中心までの距離の比を求めました。 3144 : 327 2⁄3 ;
この奇妙な数字は，ある歴史家グループによれば，ヒッパルコスがコード表に使った面倒な単位のせいで，この4つの数字に一致しないのは，プトレマイオスが彼を批判した，丸めや計算がずさんだったせいもあると説明しています（彼自身も丸め誤っていました）。 より単純な別の再構成では、4つの数字すべてに同意している。 いずれにせよ，ヒッパルコスは一貫性のない結果を発見し，後にエピセクレスの比率 (3122 1⁄2 : 247 1⁄2) を用いたが，これは小さすぎる (60 : 4;45 sexagesimal)． プトレマイオスは60 : 5 1/4とした（この幾何学で生じる最大角度偏差は、5 1/4÷60の円弧分、つまり約5度1分であり、そのためヒッパルシャンモデルの月の中心方程式に相当する数字として引用されることもある）。)
太陽の見かけの運動 編集
アテネのヒッパルコス、メトン、エウクテモンとその弟子たちが夏至の観測（すなわち。 紀元前432年6月27日（ユリウス暦）に夏至の時刻を観測している。） サモスのアリスタルコスは紀元前280年にそれを行ったとされ、ヒッパルコスもアルキメデスによる観測を行ったとされる。 1991年の論文にあるように、紀元前158年にヒッパルコスはカリッポスの暦から非常に誤った夏至を計算した。 彼は紀元前146年と135年に夏至を数時間の精度で観測しているが、春分点の観測はもっと簡単で、生涯で20回も観測している。 プトレマイオスは『アルマゲスト』III.1において、ヒッパルコスの1年の長さに関する研究について幅広く考察し、ヒッパルコスが行った、あるいは用いた、前162-128年にわたる多くの観測結果を引用している。 ヒッパルコスがロードス島で行った17の分周観測を分析した結果、赤緯の平均誤差は正の7分角であり、空気による屈折とスワドロウの視差の和とほぼ一致することがわかった。 ランダムノイズは2分角、丸め誤差を考慮すると1分角近くとなり、目の鋭敏さとほぼ一致する。 ヒッパルコスの赤経の観測（紀元前146年3月24日の夜明け）は、同じ日にアレクサンドリアの大きな赤道儀で行われた観測（正午1時間前）と5時間異なっています。 Ptolemyは、彼の太陽観測は子午線に設置されたトランジット計器で行われたと主張している
パピルスP. Fouad 267 AのAnne Tihonによる最近の専門的翻訳と分析により、HipparchusがBC158年に夏至を得たという上記1991年の発見が確認されましたが、このパピルスでは日付は6月26日と、91年の論文の結論の6月28日から1日以上早くなっています。 先の研究の§Mは、ヒッパルコスが6月26日の夏至を採用したのは、彼が後にプトレマイオスが採用した太陽の軌道を確立した紀元前146年までであることを発見した。 これらのデータを総合すると、ヒッパルコスは12年後の145日の夏至から158年の6月26日の夏至を外挿したことになるが、これはごくわずかな誤差に過ぎない。 このパピルスはまた、ヒッパルコスが紀元前158年にカリッピック太陽運動を使用していたことを確認した。これは1991年に新たに発見されたが、P. Fouad 267Aまで直接証明されていなかった。パピルスの別の表はおそらく恒星運動、第3の表はメトン熱帯運動で、これまで知られていなかった365 1⁄4 – 1⁄309 日という年数を使用している。 これは、紀元前432年から158年までの274年間を、メトンの日の出とヒッパルコスの日の入りの至近距離の100077日と14 3/4時間で割って求めたものと思われる
ヒッパルコスは、その業績の最後に「年の長さについて」という本を書いている。 紀元前330年以前にカリッポスによって導入された熱帯年の定数は365 1/4日であった。 バビロニアは夏至を観測していなかったので、カリッポスの年号がバビロニアに由来すると考えることは困難であり、現存するBシステムの年号はギリシャの夏至に基づくものである（下記参照）。 ヒッパルコスの春分観測の結果は様々であったが、彼自身（アルマゲストIII.1(H195)で引用）、彼自身と彼の前任者による観測誤差は1/4日にも及んだ可能性があると指摘している。 彼は古い夏至の観測を用い、約300年で1日程度の誤差を求めた。 そこで彼は熱帯の1年の長さを365 1/4-1/300日（＝365.24666…日＝365日5時間55分）とし、彼の時代の実際の値（地球の自転加速度を含む現代推定）365.2425日と異なり、1年で約6分、10年で1時間、100年で10時間ほどの誤差がある。
メトンによる至点観測から彼のものまでは297年で108478日であった。 D. ローリンズは、これが365.24579…日＝365日；14,44,51（性数法；＝365日＋14/60＋44/602＋51/603）の熱帯年を意味し、この正確な年数がシステムB月を明確に指定している数少ないバビロニア粘土板から発見されていることを指摘している。 これはヒッパルコスの仕事がカルデア人に知られていたことを示している。
1世紀の占星術師ヴェティウス・ヴァレンスによるヒッパルコスのものとされるもう一つの年の値は365 + 1/4 + 1/288 days (= 365.25347… days = 365 days 6 hours 5 min) だがこれはバビロニアの資料による別の値の転訛であろう。 365＋1/4＋1/144日（＝365.25694…日＝365日6時間10分）である。 これが恒星年（当時の実測値（現代の推定値）約365.2565日）の値になるかは不明だが、ヒッパルコスの熱帯年の値との違いは、彼の歳差運動の割合（下記参照）と一致する。 ヒッパルコスは春分と夏至を観測し、プトレマイオス（Almagest III.4）によれば、春（春分から夏至まで）は94日半、夏（夏至から秋分まで）は92 1/42日であることを決定している。 これは、太陽が地球の周りを一様な速度で円運動しているという前提とは矛盾している。 ヒッパルコスは、地球を太陽の運動の中心ではなく、中心から少し離れたところに置くという解決策をとった。 このモデルは、見かけ上の太陽の動きをよく表している。 現在では、地球を含む惑星が太陽の周りをほぼ楕円形に運動していることが知られているが、これは1609年にヨハネス・ケプラーが惑星の運動に関する最初の2つの法則を発表するまで発見されることはなかった。 プトレマイオスがヒッパルコスに帰した離心率の値は、オフセットが軌道の半径の1⁄24であり（これは少し大きすぎる）、遠地点の方向は春分点から経度65.5°になるであろうというものである。 また、ヒッパルコスは他の観測を行った可能性もあり、その場合は異なる値が導かれることになる。 彼の2つの日食トリオのうち1つの日緯は、春と夏の長さを95 3/4日と91 1/4日という不正確な日数を最初に採用したことと矛盾しない。 この結果は、プトレマイオスがヒッパルコスに命じたもの（94 1⁄4日と92 1⁄2日）より改善されているが、その作者についてはまだ疑問視する学者がいる。 プトレマイオスは3世紀後にも変更を加えず、すでに暗黙の了解となっていた秋と冬の季節の長さを表現した（例えば、A. Aaboeによって示されている）
距離、視差、月と太陽の大きさ編集
ヒッパルコスは太陽と月の距離と大きさを求めることにも取り組んだ。 彼の成果は2つの著作に現れている。 ヒッパルコスは、太陽と月の直径を視差で測定し、その結果をPerí megethōn kaí apostēmátōn (“On Sizes and Distances”) とPappusのAlmagest V.11 に対する注釈に記載している。 ヒッパルコスは、その前後の人々と同様に、月の大きさが（偏心した）軌道上を移動するにつれて変化することを発見したが、太陽の見かけの直径には知覚できるほどの変化がないことを見いだしたのである。 彼は、月の平均距離では、太陽と月の見かけの直径は同じであり、その距離では、月の直径は円の中に650回収まる、すなわち
彼はまた、その前後の人たちと同様に、月が顕著な視差を持つこと、つまり（太陽や星と比較して）計算上の位置からずれて見えること、そしてその差は地平線に近いほど大きくなることに気づきました。 これは、当時のモデルでは、月は地球の中心を回っているが、観測者は地表にいるため、月、地球、観測者の3者が鋭角の三角形を形成し、その角度が常に変化するためであることを彼は知っていた。 この視差の大きさから、地球半径で測った月の距離がわかるのです。 しかし、太陽については、観測可能な視差はありませんでした（現在では、肉眼の解像度の数倍の約8.8インチであることが分かっています）。 その後、彼は日食を分析し、トゥーマーは（1世紀以上にわたる天文学者の意見に反して）紀元前190年3月14日の日食と推定している。 それはヘレスポント地方（そして彼の生まれ故郷であるニカイア地方）において皆既日食となった。 また、リヴィが『Ab Urbe Condita Libri VIII.2』で日食について言及している。 また、アレクサンドリアでも観測され、太陽は月によって5分の4隠されていたと報告されている。 アレクサンドリアとニカイアは同じ子午線上にある。 アレクサンドリアは約31°の北にあり、ヘレスポントの地域は約40°の北にある。 (ストラボやプトレマイオスのような著者は、これらの地理的位置についてかなり適切な値を持っていたので、ヒッパルコスも知っていたに違いないと主張されている）。 しかし、ストラボのヒッパルコスによるこの地域の緯度は少なくとも1度高く、プトレマイオスもそれを真似てビザンチウムを2度高くしているようである)。 ヒッパルコスは2つの場所と月によって形成される三角形を描くことができ、簡単な幾何学から地球半径で表される月の距離を確定することができたのである。 日食は午前中に起こったため、月は子午線上になく、その結果ヒッパルコスの求めた距離は下限値であったという説がある。 いずれにせよ、パッポスによれば、ヒッパルコスは（この日食から）最小の距離は71、最大の距離は81地球半径であることを発見している。 これは7′の視差に相当し、ヒッパルコスが気付かないだろうと考えた最大の視差であるらしい（比較のため：人間の目の典型的な解像度は約2′、ティコ・ブラーエは1′までの精度で裸眼観測を行っている）。 この場合、地球の影は最初の仮定のような円柱ではなく、円錐になる。 ヒッパルコスは（月食の時に）月の平均距離で、影の円錐の直径が2 1/2月の直径であることを観察しました。 その見かけの直径は、彼が観測したように、360⁄650度である。 これらの値と簡単な幾何学で、ヒッパルコスは平均距離を求めることができた。これは太陽の最小距離に対して計算されているので、月に対して可能な最大の平均距離である。 また、軌道の離心率の値から、月の最小距離と最大距離も計算することができた。 パッポスによれば、彼は最小距離62、平均距離67 1/3、結果として最大距離72 2/3地球半径を発見した。 この方法では、太陽の視差が小さくなると（つまり距離が長くなると）、平均距離の下限は地球半径59となり、まさに後にプトレマイオスが導き出した平均距離と同じになるのです。 彼はこの矛盾に対して知的に正直であり，特に最初の方法が観測とパラメータの精度に非常に敏感であることに気づいていたのだろう。 (実際、現代の計算では、アレクサンドリアでの紀元前189年の日食の大きさは、報告されている4/5ではなく、9/10に近かったはずで、この割合は、ヘレスポンでもほぼ皆既だった紀元前310年と129年に起こった日食のアレクサンドリアでの皆既の程度とより近く、多くの人が、ヒッパルコスが計算に使った日食の可能性がより高いと考えています。)
その後、プトレマイオスは月の視差を直接測定し(Almagest V.13)、ヒッパルコスの第二の方法を月食とともに用いて太陽の距離を計算した(Almagest V.15)。 彼は、ヒッパルコスが矛盾した仮定をして、矛盾した結果を得たと批判しているが（アルマゲストV.11）、どうやら彼は、距離の値を一つにするのではなく、観測値と一致する限界を設定するというヒッパルコスの戦略を理解していなかったようである。
スミルナのテオンは、ヒッパルコスによれば、太陽は地球の1880倍、地球は月の27倍の大きさであると書いている。 第2巻の幾何学から、太陽は地球半径の2,550倍の位置にあり、月の平均距離は60 1⁄2半径であることがわかる。 同様に、クレオメデスはヒッパルコスの言葉を引用して、太陽と地球の大きさを1050：1としており、月の平均距離は61半径となる。 ヒッパルコスは後に彼の計算を改良し、日食の予測に使用できる正確な値を導き出したようである。X)は、ヒッパルコスが月食は5ヶ月、日食は（通常の6ヶ月ではなく）7ヶ月間隔で起こりうること、そして太陽は30日の間に2回隠れることがあるが、それは異なる国によって見られることを示したと伝えています。 プトレマイオスはこのことを1世紀後の『アルマゲスト』VI.6で詳しく論じている。 日食や月食が起こりうる太陽と月の位置の限界や幾何学的な説明は、『アルマゲスト』VI.5で説明されている。 ヒッパルコスも同様の計算をしたようである。 日食は北半球と南半球で見ることができ、プリニウスが示すように、後者はギリシャ人にとってアクセスできない場所であったからです。 ヒッパルコスはこれを初めて可能にした人物に違いありません。 そのため、ヒッパルコスには球面三角法がなかったとする人たちは、平面的な近似値でやりくりしていたのではないかと推測しています。 このようなことは、『須田本』にある「緯度における月の運動について」（Perí tēs katá plátos mēniaías tēs selēnēs kinēseōs）において述べられているかもしれない。
プリニも「彼はまた、日食の原因となる影が日の出以降、地球の下になければならないにもかかわらず、過去に一度、両方の光源が地球の上に見えているときに西で月食が起こったのは、いったいどういう理由からなのかを発見した」（H. Rackham (1938), Loeb Classical Library 330 p. 207 訳）、と発言しています。 Toomer (1980)は、これは前139年11月26日の大きな皆既月食を指しているに違いないと主張した。この日、ロードス島から見たきれいな海の水平線の上では、南東から太陽が昇った直後に北西で月食が起こっていた。 これは、ヒッパルコスがバビロニアの伝統的な期間を検証するために用いた345年の間隔のうち、2回目の食となる。このことから、ヒッパルコスの月食説が確立されたのは遅い時期であったことがわかる。 ヒッパルコスが、月が太陽と正確に対向していないにもかかわらず、月食を見た「正確な理由」が何であったかは分からない。 視差は光源の高度を下げ、屈折は光源の高度を上げ、高い位置から見ると水平線は低くなる
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