Joseph-Louis Lagrange

Living 1736 – 1813.

業績とキーポイント

ジョセフ=ルイ・ラグランジュは独学の数学者と物理学者として多作であった。 ラグランジュの主な功績は以下の通り：

• Lonhard Euler による初期の研究を基に、変分法を構築。
• 仮想仕事の概念に基づき、ラグランジュ関数を利用して、固体と流体の両方でラグランジュ力学という全く新しい力学の分野を創始した。
• 一般化された座標の概念を導入した。
• ラグランジュ力学はあらゆる座標系で使用可能であり、適切な座標系を選択することで問題は単純化される。
• ポテンシャルの概念を生み出し、例えば重力場はポテンシャル場である。
• ラグランジュ軌道を発見。
• 群論の創始者。
• 度量衡のメートル法の創設に重要な役割を果たす。

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「代数を未知数を得るためのトリックと考える者は、無駄なことを考えたものである。 代数学と幾何学が外見上異なるということに注意を払うべきでない。 代数学は幾何学的な事実であり、それはユークリッドの『元素』第2巻の命題5と6によって証明されている」

Isaac Newtonが幾何学の考えに基づいて彼の有名な世界の体系を『プリンキピア』に作り出したのである。

ラグランジュは、力学のさらなる進歩が幾何学によって阻害されると考えるようになった。 ラグランジュは形式的にも内容的にも完璧であり、その手順を丁寧に説明し、その議論は一般的であるが、従いやすいものであった。 ラプラス一方では何も説明しない…ガウスラグランジュと同様に正確かつエレガントですが、さらにラプラスよりもフォローするのは難しい…” 。

Novice Mathematician

1754年、18歳のとき、Joseph Lagrangeは最初の数学作品を発表する。 ジュリオ・カルロ・ダ・ファニャーノへの手紙」。 その中で彼は、二項展開と積の微分の公式が同じ係数を持つことを発見したと述べている。

ラグランジュの生涯

Joseph-Louis Lagrangeの作品

Calculus of Variations

1755年8月、19歳のラグランジュは世界一の数学者レオンハルト・オイラーに論文を送っている。 その内容は、関数の極大・極小を求める新しい方法であり、微積分を飛躍的に発展させるものであった。 1755年9月、オイラーはラグランジュの研究に大きな賞賛を送る返事を書いた。

その数日後、ラグランジュはトリノの砲兵学校-王立陸軍士官学校-で数学の助教授の職を与えられ、それを受諾した。 彼は学位もないままトリノ大学を去り、微積分学&力学を教え始めた。 1802>

その後、ラグランジュとオイラーの間で文通が続き、変分法という新しい数学の分野が生まれた。オイラーはラグランジュの仕事の重要性に圧倒され、トリノの青年をベルリンアカデミーの外国人会員に選出することを提案した。 ラグランジュは、1756年9月2日、20歳のときに正式に選出された。 1802>

A Vision

ラグランジェは大きな考えを持っていた。 20歳の時、彼のビジョンは、たった一つの基本原理を使ってすべての力学を統合することであった：

Lagrange は1780年代にようやく目標を達成し、1788年に解析力学でその成功を記述しています。 その唯一の統一原理は、最小作用ではなく仮想作用であることが判明した。 ラグランジュは1763年、月の秤動を論じた論文で初めて仮想作業を用いました。

トリノ科学アカデミーの設立

ラグランジュはトリノの堅苦しい科学的態度に嫌気がさしていました。 1757年、彼は他の2人の元学生と一緒にトリノ私学会を設立した。 この協会は、フランスやベルリンの科学アカデミーのような科学研究を育成することを目的としていた。

1759年には、フランス語とラテン語で独自の雑誌「Mélanges de Philosophie et de Mathématique – Miscellany of Philosophy and Mathematics」を発行。

1783年には、王の支援を得て、トリノ王立科学アカデミーとなる。

Moving Beyond Newton

ラグランジェは自分の論文を協会の雑誌で発表し始める。 その多くは、新しい変分法を物理世界に適用して、新しい結果を発見し、現象に新しい光を当てたものであった。

• 「音の伝搬の理論」は、横波として振動する弦を初めて完全に数学的に記述したもので、この時期の彼の論文は、歴史的な3巻にまとめられており、いずれもさまざまな画期的な論文を含んでいる。 また、確率論における微分法の最初の使用。
• 変分法の理論と表記法、力学問題の解決、最小作用原理の推論。
• さらなる力学問題の解決、ラグランジュ関数の最初の使用、重力によって相互に引き合う3体の一般微分方程式、微分方程式の統合、数論におけるピエール・ド・フェルマの100年来の問題に対する解決など。

潮汐ロック&月の天秤

1764年、ラグランジュは、なぜ月の片面しか見えないのか、なぜ天秤移動が見られるのかを記述した研究で、フランス科学アカデミー賞を受賞しています。 天秤移動とは、軌道の影響による月のぐらつきや揺れのことで、これにより私たちは予想以上に月の表面を見ることができるのです。 月の軌道修正により、月の表面を一定期間観測すると、当初予想されていた50％ではなく、59％もの面積を見ることができるのです。

ラグランジュの受賞は、彼が初めて仮想仕事の原理を用いたという点でも重要で、後に彼はこの原理をラグランジュ力学の基礎としました。 1766-1786

30歳のとき、ラグランジュはオイラーに代わってプロイセン科学アカデミーの数学部長としてベルリンに移った。 19歳のときから誘われていたが、オイラーの影になるとして断っていた。

ベルリンで過ごした20年間は、ラグランジュにとって最も充実した時期であった。 体調不良で仕事を中断せざるを得ないこともあったが、健康なときは月に1本程度の割合で独創的で価値のある論文を発表していた。 そのほとんどはベルリン・アカデミーから出版され、他のものは『Mélanges de Philosophie et de Mathématique』の2巻に掲載された。

Partial Differential Equations

1770年代と1780年代の前半、ラグランジュは微分方程式に関する膨大な論文を発表し、結果として偏微分方程式の数学を作り上げました。 2594>

Lagrange は、複数の量が変化する、より複雑な状況を記述するために偏微分方程式を作成しました。 これらの軌道は、原子の中で電子が見つかると予想される体積を記述します。

地球-太陽系の重力ポテンシャルのコンターマップ、5つのラグランジュポイントを示す。 L1, L2, L3, L4, L5。

「私は、…の原理のみからなる解析力学の本をほぼ完成させた。 しかし、いつどこで出版できるのか、まだ見当がつかないので、完成を急ぐ気はない。”

Lagrange は自分の本には図がないことを誇りに思っていた：彼は力学を純粋数学-4次元の幾何学-3つの空間と1つの時間の分野として捉えていた。 彼は、より大きな真理は、図に表された直感的な思考と見られるものよりも、解析において融合された代数学と微積分の厳密さの中に見出されると信じていた。 ラグランジュは、力学を幾何学の領域から排除し、解析学の領域にしっかりと位置づけたことを誇りにしていた

仮想仕事という単一の基本原理からすべてを解決した。 この原理から出発して、変分法を適用し、一般化された座標でラグランジュ関数を生成し、力学の多くの問題を新しい方向からアプローチし、以前は解決できなかった問題を解決することを可能にした

ラグランジュ力学は、物理世界をより深く理解することにつながった。 たとえば、ラグランジュが「解析力学」を書いてから150年以上経って、ポール・ディラックの論文「量子力学におけるラグランジアン」は、リチャード・ファインマンを量子力学のまったく新しい定式化に導き、次に経路積分、そして最終的には彼が「物理学の宝石」と表現した量子電気力学の完全解に導いた。

パリ時代。 1786-1813

ラグランジュはベルリンで代表作「解析力学」を執筆しましたが、それが出版されたのは、フランス科学アカデミーの招きでパリに移ってからの1788年でした。 1792年に若く情に厚い妻と結婚したことと、1793年に度量衡委員会の委員長に任命されたことが、彼を無気力から解放した。

テロからの生還

1793年、フランス革命の恐怖政治が始まった。 ラグランジュはそれを乗り切りました。 彼が外国人であったことが救いでした。 また、温厚な性格で、常に議論や政治を避けることに全力を尽くしていました。

先の度量衡委員会のメンバーで、近代化学の創始者であるアントワーヌ・ラヴォアジエは運悪く、1794年に首を落とします。 ラグランジュはラヴワジエの運命に愕然とし、「彼の首が落ちるのは一瞬だったが、その再現には100年かかっても足りないかもしれない」とコメントしている。

The Metric System

Lagrange はキログラムとメートルの採用を強く主張した。 1794年、パリにポリテクニック学院が開校し、58歳だったラグランジュは数学の教授に任命されました。 ラグランジュの講義は、他の教授たちにも好評であった。 しかし、優秀な学生を除いては、その講義は難しすぎた。 女性であるためにポリテクニックから排除されていたソフィー・ジェルマンが、ラグランジュの解析学の講義ノートを入手し、「今まで見た中で最高の数学ノートだ」と喜んでいた。 ラグランジュはジェルマンの数学的才能を知り、彼女を訪ね、その才能を広めた。

家族と終焉

1767年、31歳のとき、ラグランジュは従姉妹のヴィットリア・コンティと結婚した。 彼は子供を望まなかったし、二人は以前から知り合いだったこともあり、気の置けない仲間だった。 しかし、二人とも健康には恵まれず、ヴィットリアはたびたび体調を崩した。 彼女は結婚16年目の1783年に亡くなっている。 1792年、パリで24歳のルネ=フランソワーズ=アデライド・ル・モニエは、56歳のラグランジュに夢中になる。 父である天文学者ピエール・シャルル・ル・モニエの紹介で知り合ったのである。 ルネはラグランジュに同情した。彼は優秀な人物であったが、生きる意欲を失い、世の中に疲れ、異常に悲しんでいるように見えた。 ルネはラグランジュとの結婚を決意し、あらゆる反対を押し切って結婚した。 二人は結婚し、幸せな結婚生活を送った。 1802>

1802年、ラグランジュはフランス国籍を取得した。

ラグランジュはローマ・カトリックのミサに定期的に参加したが、それ以外は宗教についてほとんど語らなかったようである。

Joseph-Louis Lagrange, died, 77 years, April 10, 1813 in Paris. 妻のルネに先立たれ、ヴォルテール、ヴィクトル・ユーゴー、ラザール・カルノ、マセラン・ベルテロー、ポール・ランガン、ピエール&マリー・キュリーなど多くの著名人が眠るパンテオンに葬られました。

1889年のエッフェル塔開業の際には、72人のフランスの科学者やエンジニア、数学者の一人として、塔のプレートに名前を刻まれたラグランジェは、その一人として名を連ねました。