Joseph-Louis Lagrange

Joseph-Louis Lagrange är en gigant i matematikens historia. Han gjorde viktiga bidrag till utvecklingen av fysik, himmelsmekanik, kalkyl, algebra, talteori och gruppteori. Han var till stor del självlärd och fick ingen universitetsexamen.

Fascinerad av maxima och minima för funktioner var Lagrange den främsta grundaren av variationskalkylen.

I en långtgående omformulering av Isaac Newtons lagar skapade Lagrange en lysande ny syn på mekaniken. Han gjorde detta genom att använda variationskalkylen för att avslöja de omfattande konsekvenserna av en enda fysisk princip, virtuellt arbete. Ett resultat av detta var Lagranges funktion, oumbärlig i avancerad fysik, som beräknas genom att subtrahera potentiell energi från kinetisk energi.

Lagranges vision var helt baserad på algebra och kalkyl. Han ansåg att detta var mer matematiskt rigoröst än intuitiva idéer som genererades av geometri. Han bedömde att hans metoder placerade mekaniken inom den rena matematikens område.

I himmelsmekaniken upptäckte Lagrange de lagrangska punkterna, som är lika älskade av science fiction-författare som av planerare av rymdobservatorier och rymdstationer.

Lagrange gav oss den välkända notationen f′(x) för att representera en funktions derivata, f′′(x) en andra derivata etc., och det var faktiskt han som gav oss ordet derivata.

Begynnande

Joseph-Louis Lagrange föddes i en välmående familj (hans gudföräldrar var aristokrater) i den italienska staden Turin i Piemonte den 25 januari 1736.

Hans namn vid födseln var Giuseppe Lodovico Lagrangia. Den franska formen av hans namn används vanligen eftersom han skrev många av sina uppsatser på franska och under den senare delen av sitt liv bosatte sig i Paris.

Som tonåring i Italien började Joseph kalla sig Lagrange. Han hade franska förfäder på båda sidor av sin familj, vilket han verkar ha varit stolt över, även om han alltid betraktade sig själv som piemontesare snarare än fransman. Efter många år i Paris behöll han sin starka italienska brytning.

Joseph fick sitt namn efter sin far, Giuseppe Francesco Lodovico Lagrangia, kungens skattmästare med ansvar för Turins befästningar och infrastruktur. Josefs mor var Maria Teresa Grosso, dotter till en framstående läkare. Josef var den äldsta av deras 11 barn, varav endast två överlevde barndomen.

Utbildning

Josef blev 1750, vid 14 års ålder, student vid universitetet i Turin. Han var uttråkad av Euklides och Arkimedes geometri och hade inget intresse av att studera matematik.

Han planerade att följa i sin fars fotspår och studera juridik. Hans far hade dock hamnat i ekonomiska problem genom att spekulera oklokt.

Josephs intresse för matematik väcktes när han läste en uppsats som Edmund Halley hade skrivit under det föregående århundradet och där Halley använde algebraiska ekvationer för att beskriva den optiska prestandan hos linser. Till skillnad från geometri var det något med Halleys algebra som fängslade honom.

Han avvek från juridiken och började gå på föreläsningar i matematik och fysik. Även om han gillade dessa, var det att suga upp banbrytande böcker av matematiker som Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, Colin Maclaurin och Jean d’Alembert som katapulterade honom framåt i en närmast mirakulös takt.

Lagrange sov inte mycket. Han fick den livslånga vanan att hålla sig vaken under långa arbetstimmar med hjälp av te och kaffe.

Lagranges begrepp om matematik

René Descartes och Pierre de Fermat hade visat att geometri och algebra är utbytbara. Kopplingen hade länge varit misstänkt. På 1000-talet hade Omar Khayyam skrivit:

”Den som tror att algebra är ett trick för att få fram okända värden har tänkt det förgäves. Ingen uppmärksamhet bör ägnas åt det faktum att algebra och geometri är olika till utseendet. Algebror är geometriska fakta som bevisas av propositionerna 5 och 6 i bok 2 i Euklids Elementar.”

Omar Khayyam

Treatise on Demonstration of Problems of Algebra and Balancing, 1070

Isaac Newton hade framställt sitt berömda världssystem i Principia med utgångspunkt i geometriska idéer.

Lagrange började alltmer tro att ytterligare framsteg inom mekaniken skulle hämmas av geometrin. Han förespråkade analys – ett helt algebraiskt tillvägagångssätt för kalkyl.

”Den moderna analysens stora mästare är Lagrange, Laplace och Gauss, som var jämnåriga … Lagrange är perfekt både till form och innehåll, han är noggrann med att förklara sitt tillvägagångssätt, och även om hans argument är generella så är de lätta att följa. Laplace å andra sidan förklarar ingenting … Gauss är lika exakt och elegant som Lagrange, men ännu svårare att följa än Laplace …”.

W. W. Rouse Ball

A Short Account of The History of Mathematics, 1940

Novice Mathematician

Joseph Lagrange publicerade 1754, vid 18 års ålder, sitt första matematiska arbete: Brev till Giulio Carlo da Fagnano. I det beskrev han sin upptäckt att binomialexpansionen och formeln för en produkts differential har identiska koefficienter.

Detta var inte ett nytt resultat, även om han först trodde att det var det.

Lagranges livstid i ett sammanhang

Joseph Lagranges livstid och relaterade matematikers livstid.

Joseph-Louis Lagranges verk

Variationskalkyl

I augusti 1755, vid 19 års ålder, skickade Lagrange en uppsats till världens största levande matematiker, Leonhard Euler. Han beskrev sin nya metod för att hitta maxima och minima för funktioner, ett lysande språng framåt i kalkylen. I september 1755 skrev Euler tillbaka och uttryckte sin stora beundran för Lagranges arbete.

För några dagar sedan erbjöds och accepterade Lagrange ett jobb som biträdande professor i matematik vid en artilleriskola i Turin – den kungliga militärakademin. Han lämnade universitetet i Turin utan examen och började undervisa i kalkyl & mekanik. Hans elever var alla äldre än han själv och han var inte den bästa läraren – han var ganska blyg och hans föreläsningar var för avancerade för sina elever.

En efterföljande korrespondens mellan Lagrange och Euler ledde till en ny gren av matematiken – variationskalkylen.

Euler var så överväldigad av betydelsen av Lagranges arbete att han föreslog att den unge mannen från Turin skulle väljas in som utländsk ledamot av Berlinakademin. Lagrange blev vederbörligen invald den 2 september 1756, vid 20 års ålder.

Lagrange ansåg alltid att grundandet av variationskalkylen var hans största arbete. Det etablerade honom, medan han fortfarande var tonåring, som en av 1700-talets största matematiker.

Hilbert och variationskalkylen

David Hilbert

År 1900, 145 år efter det att Lagrange skapade variationskalkylen, förblev den ett av de viktigaste områdena inom matematiken. När David Hilbert ställde sina berömda 23 problem till världens matematiker gällde tre av dem variationskalkylen:

• Problem 19: Är lösningarna på regelbundna problem i variationskalkylen alltid nödvändigtvis analytiska? Detta löstes av Ennio de Giorgi och John F. Nash. Svaret är ja.
• Problem 20: Har alla variationsproblem med vissa randvillkor lösningar? Detta genererade en enorm mängd arbete som utfördes av ett stort antal matematiker. Svaret är ja.
• Problem 23: Det krävs ytterligare utveckling av variationskalkylen. Detta är ett problem som, som Hilbert erkände, inte har någon definitiv lösning. Han ansåg dock att området var så viktigt för matematikens framtid att han gärna gjorde det till sitt sista problem.

En vision

Lagrange hade stora idéer. Vid 20 års ålder var hans vision att förena hela mekaniken med hjälp av en enda grundläggande princip:

”Jag kommer att härleda den fullständiga mekaniken för fasta och flytande kroppar med hjälp av principen om minsta verkan”.

Joseph-Louis Lagrange

Brev till Leonhard Euler, maj 1756

Lagrange uppnådde slutligen sitt mål på 1780-talet och beskrev sin framgång i Analytisk mekanik 1788. Den enda förenande principen visade sig vara virtuellt arbete snarare än minsta verkan. Han använde virtuellt arbete för första gången 1763 i en uppsats om månens libration.

Grundandet av vetenskapsakademin i Turin

Lagrange tröttnade på den stelnade vetenskapliga attityden i Turin. År 1757 slog han sig samman med två andra tidigare studenter för att bilda Turin Private Society. Sällskapets syfte var att odla vetenskaplig forskning på samma sätt som de franska och berlinska vetenskapsakademierna.

1759 började det nya sällskapet publicera en egen tidskrift på franska och latin: Mélanges de Philosophie et de Mathématique – Mellanskrift för filosofi och matematik.

1783 blev sällskapet, med kungens stöd, Kungliga vetenskapsakademin i Turin.

Moving Beyond Newton

Lagrange började publicera sina uppsatser i sitt sällskaps tidskrift. I många tillämpade han sin nya variationskalkyl på den fysiska världen för att upptäcka nya resultat och kasta nytt ljus över fenomen. Hans uppsatser från denna period publiceras i tre historiska volymer, som alla innehåller en mängd banbrytande uppsatser, bland annat:

• The Theory of Sound Propagation, inklusive den första fullständiga matematiska beskrivningen av en sträng som vibrerar som en tvärgående våg. Även den första användningen av differentialräkning i sannolikhetsteori.
• Theori och notation av variationskalkylen, lösningar på dynamikproblem och härledning av principen om minsta verkan.
• Lösningar på fler dynamikproblem, den första användningen av den lagrangska funktionen, allmänna differentialekvationer som beskriver tre kroppar som attraheras ömsesidigt av gravitationen, integrering av differentialekvationer och lösningen på ett sekelgammalt problem som Pierre de Fermat hade ställt i talteori.

Tidal Locking & Libration av månen

1764 vann Lagrange den franska vetenskapsakademiens pris för sin studie som beskriver varför vi bara ser en sida av månen och varför vi observerar libration. Libration är ett skenbart vacklande och gungande av månen som orsakas av omloppseffekter och som gör att vi kan se mer av månens yta än vad vi skulle kunna förvänta oss. Som ett resultat av månens libration kan vi, när vi observerar den under en längre tid, faktiskt se ungefär 59 procent av dess yta i stället för de 50 procent som vi kanske först skulle förvänta oss.

Lagranges prisbelönta bidrag var också betydelsefullt eftersom han för första gången använde sig av principen om virtuellt arbete: senare använde han denna princip som grund för Lagranges mekanik.

Jupiters månar

År 1766 vann Lagrange återigen den franska vetenskapsakademiens pris, denna gång för sin förklaring av banorna för Jupiters månar.

Berlinåren: 1766-1786

Vid 30 års ålder flyttade Lagrange till Berlin och ersatte Euler som direktör för matematik vid Preussiska vetenskapsakademin. Akademin hade försökt locka till sig honom sedan han var 19 år, men han hade tackat nej eftersom han ansåg att han skulle stå i Eulers skugga.

De 20 år som Lagrange tillbringade i Berlin var hans mest produktiva. Även om han ibland var tvungen att avbryta sitt arbete på grund av dålig hälsa, publicerade han, när hans hälsa var god, originella, värdefulla uppsatser i en takt av ungefär en i månaden. De flesta publicerades av Berlinakademin, medan andra publicerades i ytterligare två volymer av Mélanges de Philosophie et de Mathématique.

Partiella differentialekvationer

Under 1770-talet och första halvan av 1780-talet var Lagranges produktion om differentialekvationer enorm, vilket resulterade i att han skapade matematiken för partiella differentialekvationer.

Partiella differentialekvationer

Differentialekvationer kan användas för att beskriva förändringar i den verkliga världen. De beskriver förhållandet mellan en fysisk storhet, till exempel hastighet, och dess förändringshastighet.

Ordinära differentialekvationer beskriver en enda föränderlig storhet, till exempel hastighet.

En sannolikhetstäthetsdiagram för en elektron i en väteatoms 2p-elektronorbital. Plotten är konstruerad utifrån lösningen av Schrödingerekvationen – en partiell differentialekvation.

Lagrange skapade partiella differentialekvationer för att beskriva mer komplicerade situationer där mer än en kvantitet förändras – på matematisk jargong beskriver partiella differentialekvationer en funktion av flera variabler som förändras.

Skrödingerekvationen är till exempel en välkänd partiell differentialekvation inom kvantmekaniken vars lösning gör det möjligt att härleda elektronbanor. Dessa banor beskriver den volym inom vilken vi förväntar oss att hitta en elektron i en atom.

Gruppteori & Symmetri

Langranges sats, från 1771, innebär att en undergrupps ordning alltid måste dela gruppens ordning exakt. Detta var ett av de tidigaste stegen inom gruppteorin.

Lagranges punkter

År 1772 återvände Lagrange till ett problem som fascinerat honom – trekroppsproblemet inom gravitationen. Hans avhandling i ämnet, Essai sur le Problème des Trois Corps, ledde till att han återigen fick den franska vetenskapsakademins pris.

Han betraktade en situation där det finns två objekt med relativt hög massa, till exempel jorden och solen, som kretsar kring en gemensam tyngdpunkt. Han beräknade gravitationspotentialen för denna typ av situation, som sammanfattas i konturkartan nedan.

Gravitationspotentialens konturkarta för jord-sol-systemet, som visar de fem lagrangska punkterna: L1, L2, L3, L4, L5.

Om konturlinjerna ligger nära varandra är gravitationspotentialen hög. På samma sätt är gravitationspotentialen lägre där linjerna är längre ifrån varandra.

Lagrange identifierade fem balanspunkter, de lagrangska punkterna L1, L2, L3, L4 och L5. Föremål vid dessa punkter håller sin position i förhållande till de två större massorna. (Euler identifierade punkterna L1, L2 och L3 några år tidigare i en mindre grundlig analys.)

I dag är NASA:s sol- och heliosfärobservationssatellit placerad vid L1-punkten mellan jorden och solen, vilket gör att solen kan ses utan avbrott från en stabil plattform.

Rymdteleskopet James Webb, efterföljaren till rymdteleskopet Hubble, ska enligt planerna placeras vid jord-solens L2-punkt 2020.

Lagrange slutförde sitt mästerverk, Analytisk mekanik, i Berlin i början av 1780-talet. Det skulle dröja flera år innan han hittade en förläggare.

”Jag har nästan färdigställt en bok om analytisk mekanik som enbart bygger på principen . Men eftersom jag fortfarande inte har någon aning om var och när den kan publiceras har jag inte bråttom att slutföra den”.

Joseph-Louis Lagrange

Brev till Pierre Laplace, september 1782

Lagrange var stolt över att hans bok inte innehöll några diagram: han betraktade mekaniken som en gren av den rena matematiken – en geometri med fyra dimensioner – tre av rymden, en av tiden. Han trodde att större sanningar skulle hittas i algebrans och kalkylens stränghet som smält samman i analys än i vad han såg som intuitivt tänkande representerat i diagram. Han var stolt över att ha tagit mekaniken ur geometrins provins och placerat den stadigt inom analysens domän.

Lagrange utarbetade allt utifrån en enda grundläggande princip: virtuellt arbete. Med utgångspunkt i denna princip, på vilken han tillämpade variationskalkylen, framställde han den lagrangska funktionen i generaliserade koordinater, vilket gjorde det möjligt att närma sig ett stort antal problem inom mekaniken från en ny riktning och att lösa tidigare olösliga problem.

Lagrangsk mekanik ledde till en djupare förståelse av den fysiska världen. Till exempel ledde Paul Diracs artikel The Lagrangian in Quantum Mechanics, över 150 år efter att Lagrange skrev Analytical Mechanics, Richard Feynman till en helt ny formulering av kvantmekaniken, sedan vägintegraler och slutligen den fullständiga lösningen på kvantelektrodynamiken som han beskrev som ”fysikens juvel”.

Parisåren: 1786-1813

Och även om Lagrange skrev sitt mästerverk Analytisk mekanik i Berlin publicerades det inte förrän 1788, efter att han hade flyttat till Paris på inbjudan av den franska vetenskapsakademin.

Under de första åren i Paris överväldigades Lagrange av depression och brist på energi – han fann att ingenting kunde hålla hans intresse uppe. Två saker hjälpte honom ur sin letargi: hans äktenskap 1792 med en ung, sympatisk hustru och att han 1793 utsågs till ordförande i kommissionen för mått och vikt.

Överleva terrorn

Den franska revolutionens skräckvälde inleddes 1793. Lagrange överlevde den. Det hjälpte att han var utländsk. Dessutom var han mild och gjorde alltid sitt bästa för att undvika diskussioner och politik.

Antoine Lavoisier, en tidigare medlem av kommissionen för mått och vikt och en av grundarna av den moderna kemin, hade inte samma tur: han förlorade huvudet 1794. Lagrange var förfärad över Lavoisiers öde och kommenterade:

”Det tog bara ett ögonblick för hans huvud att falla, men hundra år skulle inte räcka för att återskapa dess like”.

Joseph-Louis Lagrange

Det metriska systemet

Lagrange argumenterade starkt för antagandet av kilogram och meter. Dessa accepterades av kommissionen 1799.

Ècole Polytechnique

1794 öppnades Ècole Polytechnique i Paris och Lagrange, som nu var 58 år gammal, utsågs till professor i matematik. Hans föreläsningar var uppskattade av andra professorer. Alla utom de mest duktiga studenterna tyckte dock att de var för svåra. Detta liknade situationen många år tidigare när han som tonåring föreläste i Turin.

Sophie Germain, som var utestängd från Polytechnique på grund av att hon var kvinna, fick tag på Lagranges föreläsningsanteckningar om analys och var förtjust i dem: det var de bästa matematikanteckningar hon hade sett. Lagrange fick kännedom om Germains matematiska talang, besökte henne och spred ordet om hennes briljans.

Familjen och slutet

1767, 31 år gammal, gifte sig Lagrange med sin kusin Vittoria Conti. Han ville inte ha några barn och de två var bekväma kamrater – de hade känt varandra en tid. Ingen av dem hade god hälsa och Vittoria var ofta sjuk. Hon dog 1783 efter 16 års äktenskap. Lagrange sörjde henne djupt och blev deprimerad.

I Paris 1792 blev den 24-årige Renée-Françoise-Adélaide Le Monnier 24 år gammal hängiven Lagrange, som var 56 år. Hon träffade honom genom sin far, astronomen Pierre Charles Le Monnier. Renée tyckte synd om Lagrange – han var en briljant man som verkade ha förlorat sin aptit på livet; han verkade vara ovanligt ledsen och trött på världen. Renée bestämde sig för att gifta sig med honom och stod fast mot alla invändningar. De två gifte sig och det visade sig bli en lycklig förening för båda. De fick inga barn.

År 1802 blev Lagrange fransk medborgare.

Lagrange deltog regelbundet i den romersk-katolska mässan, även om han i övrigt verkar ha sagt lite om sin religion.

Joseph-Louis Lagrange avled, 77 år gammal, den 10 april 1813 i Paris. Han överlevde sin hustru Renée och begravdes i Panthéon, den sista viloplatsen för många framstående personer, däribland Voltaire, Victor Hugo, Lazare Carnot, Marcellin Berthelot, Paul Langevin och Pierre & Marie Curie.

När Eiffeltornet invigdes 1889 var Lagrange en av de 72 franska vetenskapsmän, ingenjörer och matematiker vars namn ingraverades på plaketter på tornet.

”Alla hans matematiska kompositioner är anmärkningsvärda genom en märklig elegans, genom formernas symmetri och metodernas generalitet, och om man får tala så, genom den analytiska stilens fulländning”.

Joseph Fourier

Èloge, 1829

Författare till denna sida: Alla rättigheter förbehållna.

Citera denna sida

Använd följande MLA-kompatibla citat:

Publicerat av FamousScientists.org

Fördjupad läsning
W. W. Rouse Ball
A Short Account of The History of Mathematics
MacMillan and Co. Limited, London, 1940

Craig Fraser
J. L. Lagrange’s Early Contributions to the Principles and Methods of Mechanics
Archive for History of Exact Sciences, Vol. 28, pp. 197-241, 1983

Judith V. Grabiner
A Historian Looks Back: The Calculus as Algebra and Selected Writings
The Mathematical Association of America, okt 2010

J.L. Lagrange
Analytisk mekanik: Översatt och redigerad av Auguste Boissonnade och Victor N. Vagliente
Springer Science & Business Media, apr 2013

.