Conjuectura twin prime, também conhecida como a conjectura de Polignac, em teoria dos números, afirma que existem infinitamente muitos primes gémeos, ou pares de primes que diferem por 2. Por exemplo, 3 e 5, 5 e 7, 11 e 13, e 17 e 19 são primes gémeos. A primeira afirmação da conjectura twin prime foi dada em 1846 pelo matemático francês Alphonse de Polignac, que escreveu que qualquer número par pode ser expresso de formas infinitas como a diferença entre dois primes consecutivos. Quando o número par é 2, esta é a conjectura twin prime, ou seja, 2 = 5 – 3 = 7 – 5 = 13 – 11 = …. (Embora a conjectura seja às vezes chamada de conjectura twin prime de Euclides, ele deu a mais antiga prova conhecida de que existe um número infinito de primes, mas não conjecturou que existe um número infinito de primes gêmeos). Muito pouco progresso foi feito nesta conjectura até 1919, quando o matemático norueguês Viggo Brun mostrou que a soma das recíprocas dos primes gêmeos converge para uma soma, agora conhecida como constante de Brun. A constante de Brun foi calculada em 1976 como aproximadamente 1,90216054 usando as primas gêmeas até 100 bilhões. Em 1994, o matemático americano Thomas Nicely estava usando um computador pessoal equipado com o então novo chip Pentium da Intel Corporation quando descobriu uma falha no chip que estava produzindo resultados inconsistentes em seus cálculos da constante de Brun. A publicidade negativa da comunidade matemática levou a Intel a oferecer chips de substituição gratuitos que tinham sido modificados para corrigir o problema. Em 2010 Nicely deu um valor para a constante de Brun de 1,902160583209 ± 0,000000000781 baseado em todos os primes gêmeos inferiores a 2 × 1016.
A próxima grande descoberta ocorreu em 2003, quando o matemático americano Daniel Goldston e o matemático turco Cem Yildirim publicaram um artigo, “Pequenas Lacunas entre Primes”, que estabeleceu a existência de um número infinito de pares de primes dentro de uma pequena diferença (16, com algumas outras suposições, mais notavelmente a da conjectura Elliott-Halberstam). Embora a sua prova tivesse falhas, eles corrigiram-na com o matemático húngaro János Pintz, em 2005. O matemático americano Yitang Zhang construiu em seu trabalho para mostrar em 2013 que, sem nenhuma suposição, havia um número infinito que diferia em 70 milhões. Este limite foi melhorado para 246 em 2014, e assumindo ou a conjectura de Elliott-Halberstam ou uma forma generalizada dessa conjectura, a diferença foi de 12 e 6, respectivamente. Estas técnicas podem permitir progressos na hipótese de Riemann, que está ligada ao teorema do número primo (uma fórmula que dá uma aproximação do número de primes inferior a qualquer valor dado). Veja também Millennium Problem.