Movimento da LuaEditar
Hipparchus também estudou o movimento da Lua e confirmou os valores precisos para dois períodos de seu movimento que os astrônomos caldeus são amplamente presumidos ter possuído antes dele, qualquer que seja sua origem final. O valor tradicional (do Sistema Babilônico B) para o mês sinódico médio é de 29 dias; 31,50,8,20 (sexagesimal) = 29,5305941… dias. Expresso como 29 dias + 12 horas + 793/1080 horas este valor tem sido usado mais tarde no calendário hebraico. Os caldeus também sabiam que 251 meses sinódicos ≈ 269 meses anômalos. Hiparco usou o múltiplo desse período por um fator de 17, porque esse intervalo também é um período de eclipse, e também está próximo a um número inteiro de anos (4267 luas : 4573 períodos anomalísticos : 4630,53 períodos nodais : 4611,98 órbitas lunares : 344,996 anos : 344,982 órbitas solares : 126.007,003 dias : 126.351,985 rotações). O que foi tão excepcional e útil sobre o ciclo foi que todos os pares eclipses de 345 anos-intervalo ocorrem com um intervalo de apenas 126.007 dias dentro de um intervalo apertado de apenas cerca de ±1⁄2 horas, garantindo (após divisão por 4267) uma estimativa do mês sinódico correta para uma parte em ordem de magnitude de 10 milhões. A periodicidade de 345 anos é a razão pela qual os antigos poderiam conceber um mês médio e quantificá-lo com tanta precisão que ainda hoje está correto a uma fração de segundo de tempo.
Hipparchus poderia confirmar seus cálculos comparando eclipses de seu próprio tempo (presumivelmente 27 de janeiro 141 AC e 26 de novembro 139 AC de acordo com ), com eclipses de registros babilônicos 345 anos antes (Almagest IV.2; ). Já al-Biruni (Qanun VII.2.II) e Copérnico (de revolutionibus IV.4) observaram que o período de 4.267 luas é na verdade cerca de 5 minutos mais longo que o valor do período do eclipse que Ptolomeu atribui a Hiparco. No entanto, os métodos de tempo dos babilônios tiveram um erro de não menos do que 8 minutos. Os estudiosos modernos concordam que Hiparco arredondou o período do eclipse para a hora mais próxima, e usou-o para confirmar a validade dos valores tradicionais, em vez de tentar obter um valor melhorado a partir das suas próprias observações. A partir das efemérides modernas e tendo em conta a mudança na duração do dia (ver ΔT) estimamos que o erro na suposta duração do mês sinódico foi inferior a 0,2 segundos no século IV a.C. e inferior a 0,1 segundos no tempo de Hiparco.
Orbit of the MoonEdit
Há muito tempo que se sabia que o movimento da Lua não é uniforme: a sua velocidade varia. A isto se chama sua anomalia, e se repete com seu próprio período; o mês anomalístico. Os Caldeus levaram isto em conta aritmeticamente, e usaram uma tabela dando o movimento diário da Lua de acordo com a data dentro de um longo período. Os gregos, no entanto, preferiram pensar em modelos geométricos do céu. Apolônio de Perga tinha no final do século III a.C. proposto dois modelos para o movimento lunar e planetário:
- No primeiro, a Lua se moveria uniformemente ao longo de um círculo, mas a Terra seria excêntrica, ou seja, a alguma distância do centro do círculo. Assim a aparente velocidade angular da Lua (e sua distância) variaria.
- A própria Lua se moveria uniformemente (com algum movimento médio em anomalia) numa órbita circular secundária, chamada epiciclo, que se moveria uniformemente (com algum movimento médio em longitude) sobre a órbita circular principal ao redor da Terra, chamada deferente; veja deferente e epiciclo. Apolônio demonstrou que estes dois modelos eram, de fato, matematicamente equivalentes. No entanto, tudo isto era teoria e não tinha sido posto em prática. Hipparchus foi o primeiro astrônomo que conhecemos a tentar determinar as proporções relativas e tamanhos reais dessas órbitas.
Hipparchus concebeu um método geométrico para encontrar os parâmetros a partir de três posições da Lua, em fases particulares da sua anomalia. Na verdade, ele fez isto separadamente para o modelo excêntrico e o modelo epicicloidal. Ptolomeu descreve os detalhes no Almagest IV.11. Hiparco utilizou dois conjuntos de três observações do eclipse lunar, que ele selecionou cuidadosamente para satisfazer os requisitos. O modelo excêntrico que ele ajustou a estes eclipses da sua lista de eclipses babilônicos: 22/23 de Dezembro 383 AC, 18/19 de Junho 382 AC, e 12/13 de Dezembro 382 AC. O modelo epicicloidal que ele montou nas observações do eclipse lunar feitas em Alexandria em 22 de Setembro de 201 a.C., 19 de Março de 200 a.C., e 11 de Setembro de 200 a.C..
- Para o modelo excêntrico, Hipparchus encontrou para a relação entre o raio do excêntrico e a distância entre o centro do excêntrico e o centro do eclíptico (ou seja o observador na Terra): 3144 : 327 2⁄3 ;
- e para o modelo de epiciclo, a razão entre o raio do excêntrico e o epiciclo: 3122 1⁄2 : 247 1⁄2 .
Os números um pouco estranhos devem-se à unidade pesada que ele usou na sua tabela de acordes de acordo com um grupo de historiadores, que explicam a incapacidade da sua reconstrução em concordar com estes quatro números, em parte devido a alguns erros de arredondamento e de cálculo de Hiparco, pelos quais Ptolomeu o criticou (ele próprio também cometeu erros de arredondamento). Uma reconstrução alternativa mais simples concorda com os quatro números. De qualquer forma, Hiparco encontrou resultados inconsistentes; mais tarde ele usou a razão do modelo epicicloidal (3122 1⁄2 : 247 1⁄2), que é muito pequena (60 : 4;45 sexagesimal). Ptolomeu estabeleceu uma razão de 60 : 5 1⁄4. (O desvio angular máximo produzido por esta geometria é o arcsin de 5 1⁄4 dividido por 60, ou cerca de 5° 1′, uma figura que é por vezes citada como o equivalente da equação da Lua do centro no modelo Hipparchan.)
Movimento aparente do SolEditar
Antes de Hipparchus, Meton, Euctemon, e seus alunos em Atenas terem feito uma observação de solstício (i.e, cronometrado o momento do solstício de Verão) em 27 de Junho de 432 a.C. (calendário Juliano proleptico). Diz-se que Aristarco de Samos o fez em 280 aC, e Hiparco também teve uma observação de Arquimedes. Como mostrado num jornal de 1991, em 158 aC Hiparco calculou um solstício de verão muito errado do calendário de Callippus. Ele observou o solstício de verão em 146 e 135 aC, ambos precisos para algumas horas, mas as observações do momento do equinócio foram mais simples, e ele fez vinte durante sua vida. Ptolomeu dá uma extensa discussão do trabalho de Hiparco sobre a duração do ano no Almagest III.1, e cita muitas observações que Hiparco fez ou usou, abrangendo 162-128 AC. A análise dos 17 equinócios de Hiparco feitos em Rodes mostra que o erro médio de declinação é positivo em sete minutos de arco, quase concordando com a soma da refração por ar e da paralaxe de Swerdlow. O ruído aleatório é de dois minutos de arco ou mais quase um minuto de arco, se o arredondamento for levado em conta, o que concorda aproximadamente com a nitidez do olho. Ptolomeu cita um tempo de equinócio por Hiparco (a 24 de Março de 146 a.C. ao amanhecer) que difere em 5 horas da observação feita no grande anel equatorial público de Alexandria nesse mesmo dia (a 1 hora antes do meio-dia): Hiparco pode ter visitado Alexandria mas não fez lá as suas observações equinóticas; presumivelmente estava em Rodes (quase na mesma longitude geográfica). Ptolomeu afirma que suas observações solares estavam em um instrumento de trânsito fixado no meridiano.
Recent expert translation and analysis by Anne Tihon of papyrus P. Fouad 267 A has confirmed the 1991 finding above cited that Hipparchus obtained a summer solstice in 158 BC But the papyrus makes the date 26 June, over a day earlier than the 1991 paper’s conclusion for 28 June. O estudo anterior §M descobriu que Hiparco não adotou o solstício de 26 de junho até 146 a.C. quando fundou a órbita do Sol que Ptolomeu adotou mais tarde. Dovetailing these data suggests Hipparchus extrapolated the 158 BC 26 June solstice from his 145 solstice 12 years later a procedure that would cause only minuscule error. O papiro também confirmou que Hipparchus tinha usado o movimento solar Callippic em 158 AC, uma nova descoberta em 1991 mas não atestada diretamente até P. Fouad 267 A. Outra tabela no papiro é talvez para o movimento sideral e uma terceira tabela é para o movimento metônico tropical, usando um ano previamente desconhecido de 365 1⁄4 – 1⁄309 dias. Isto foi presumivelmente encontrado dividindo os 274 anos de 432 a 158 a.C., no intervalo correspondente de 100077 dias e 14 3⁄4 horas entre o nascer do sol de Meton e os solstícios do pôr-do-sol de Hipparchus.
No final de sua carreira, Hipparchus escreveu um livro chamado Peri eniausíou megéthous (“On the Length of the Year”) sobre seus resultados. O valor estabelecido para o ano tropical, introduzido por Callippus em ou antes de 330 AC foi de 365 dias 1⁄4. Especular uma origem babilônica para o ano Callippic é difícil de defender, já que a Babilônia não observou solstícios, portanto a única duração do ano do Sistema B existente foi baseada em solstícios gregos (ver abaixo). As observações do equinócio de Hiparco deram resultados variados, mas ele mesmo aponta (citado em Almagest III.1(H195)) que os erros de observação por ele mesmo e seus predecessores podem ter sido tão grandes quanto 1⁄4 dia. Ele usou observações antigas do solstício, e determinou uma diferença de cerca de um dia em cerca de 300 anos. Assim, ele definiu a duração do ano tropical para 365 1⁄4 – 1⁄300 dias (= 365.24666… dias = 365 dias 5 horas 55 min, o que difere do valor real (estimativa moderna, incluindo aceleração do giro da terra) em seu tempo de cerca de 365.2425 dias, um erro de cerca de 6 min por ano, uma hora por década, 10 horas por século.
Entre a observação do solstício de Meton e a sua própria, havia 297 anos abrangendo 108.478 dias. D. Rawlins observou que isto implica um ano tropical de 365.24579… dias = 365 dias;14,44,51 (sexagesimal; = 365 dias + 14/60 + 44/602 + 51/603) e que esta duração exata de ano foi encontrada em um dos poucos comprimidos de argila babilônica que especifica explicitamente o mês do Sistema B. Esta é uma indicação de que o trabalho de Hipparchus era conhecido pelos caldeus.
Outro valor para o ano que é atribuído a Hipparchus (pelo astrólogo Vettius Valens no século I) é 365 + 1/4 + 1/288 dias (= 365.25347… dias = 365 dias 6 horas 5 min), mas isto pode ser uma corrupção de outro valor atribuído a uma fonte babilônica: 365 + 1/4 + 1/144 dias (= 365.25694… dias = 365 dias 6 horas 10 min). Não está claro se este seria um valor para o ano sideral (valor real no seu tempo (estimativa moderna) cerca de 365,2565 dias), mas a diferença com o valor de Hiparco para o ano tropical é consistente com a sua taxa de precessão (ver abaixo).
Orbit of the SunEdit
Antes de Hiparco, os astrônomos sabiam que as durações das estações não são iguais. Hiparco fez observações de equinócio e solstício, e de acordo com Ptolomeu (Almagest III.4) determinou que a primavera (do equinócio da primavera ao solstício de verão) durou 94½ dias, e o verão (do solstício de verão ao equinócio de outono) 92 1⁄2 dias. Isto é inconsistente com uma premissa de que o Sol se move em torno da Terra em um círculo a uma velocidade uniforme. A solução de Hiparco foi colocar a Terra não no centro do movimento do Sol, mas a alguma distância do centro. Este modelo descreveu o movimento aparente do Sol bastante bem. Sabe-se hoje que os planetas, incluindo a Terra, se movem em elipses aproximadas ao redor do Sol, mas isso não foi descoberto até Johannes Kepler publicar suas duas primeiras leis do movimento planetário em 1609. O valor para a excentricidade atribuída a Hipparchus por Ptolomeu é que o desvio é 1⁄24 do raio da órbita (que é um pouco grande demais), e a direção do apogeu estaria a 65,5° de longitude do equinócio vernal. Hiparco pode também ter usado outros conjuntos de observações, o que levaria a valores diferentes. Um dos seus dois trios de eclipse é consistente com o facto de ter adoptado inicialmente comprimentos imprecisos para a Primavera e Verão de 95 3⁄4 e 91 1⁄4 dias. Seu outro trio de posições solares é consistente com 94 1⁄4 e 92 1⁄2 dias, uma melhora nos resultados (94 1⁄2 e 92 1⁄2 dias) atribuídos a Hipparchus por Ptolomeu, que alguns estudiosos ainda questionam a autoria de. Ptolomeu não fez nenhuma mudança três séculos depois, e expressou as durações para as estações de outono e inverno que já estavam implícitas (como mostrado, por exemplo, por A. Aaboe).
Distância, paralaxe, tamanho da Lua e do SolEdit
Hipparchus também se comprometeu a encontrar as distâncias e tamanhos do Sol e da Lua. Os seus resultados aparecem em dois trabalhos: Perí megethōn kaí apostēmátōn (“On Sizes and Distances”) de Pappus e no comentário de Pappus sobre o Almagest V.11; Theon of Smyrna (século II) menciona o trabalho com a adição “do Sol e da Lua”.
Hipparchus mediu os diâmetros aparentes do Sol e da Lua com o seu dioptria. Como outros antes e depois dele, ele descobriu que o tamanho da Lua varia conforme ela se move em sua órbita (excêntrica), mas ele não encontrou nenhuma variação perceptível no diâmetro aparente do Sol. Ele descobriu que na distância média da Lua, o Sol e a Lua tinham o mesmo diâmetro aparente; a essa distância, o diâmetro da Lua cabe 650 vezes no círculo, ou seja, os diâmetros médios aparentes são 360⁄650 = 0°33′14″.
Como outros antes e depois dele, ele também notou que a Lua tem uma paralaxe notável, ou seja, que parece deslocada da sua posição calculada (comparada com o Sol ou estrelas), e a diferença é maior quando mais próxima do horizonte. Ele sabia que isso se deve ao fato de que nos modelos da então corrente a Lua circunda o centro da Terra, mas o observador está na superfície – a Lua, a Terra e o observador formam um triângulo com um ângulo agudo que muda o tempo todo. A partir do tamanho desta paralaxe, a distância da Lua, medida nos raios da Terra, pode ser determinada. Para o Sol, porém, não havia paralaxe observável (sabemos agora que é cerca de 8,8″, várias vezes menor que a resolução do olho nu).
No primeiro livro, Hiparco assume que a paralaxe do Sol é 0, como se estivesse a uma distância infinita. Ele então analisou um eclipse solar, que Toomer (contra a opinião de mais de um século de astrônomos) presume ser o eclipse de 14 de março de 190 AC. Foi total na região de Hellespont (e na sua terra natal, Nicaea); Na época Toomer propõe que os romanos estavam se preparando para a guerra com Antioquia III na região, e o eclipse é mencionado por Livy em sua Ab Urbe Condita Libri VIII.2. Também foi observado em Alexandria, onde foi relatado que o Sol foi obscurecido 4/5 vezes pela Lua. Alexandria e Nicéia estão no mesmo meridiano. Alexandria está a cerca de 31° Norte, e a região de Hellespont a cerca de 40° Norte. (Tem sido afirmado que autores como Strabo e Ptolomeu tinham valores bastante decentes para estas posições geográficas, por isso Hiparco deve tê-los conhecido também. No entanto, as latitudes dependentes de Strabo e Hiparco para esta região são pelo menos 1° demasiado elevadas e Ptolomeu parece copiá-las, colocando Bizâncio a 2° de latitude). Hiparco conseguia desenhar um triângulo formado pelos dois lugares e pela Lua, e a partir de uma geometria simples era capaz de estabelecer uma distância da Lua, expressa nos raios da Terra. Como o eclipse ocorreu pela manhã, a Lua não estava no meridiano, e foi proposto que como consequência a distância encontrada por Hiparco era um limite inferior. Em qualquer caso, segundo Pappus, Hiparco descobriu que a menor distância é 71 (deste eclipse), e os maiores 81 raios de Terra.
No segundo livro, Hiparco parte da suposição extrema oposta: ele atribui uma distância (mínima) ao Sol de 490 raios de Terra. Isto corresponderia a uma paralaxe de 7′, que é aparentemente a maior paralaxe que Hiparco pensava não ser notada (para comparação: a resolução típica do olho humano é cerca de 2′; Tycho Brahe fez observação a olho nu com precisão até 1′). Neste caso, a sombra da Terra é um cone e não um cilindro como sob a primeira suposição. Hiparco observou (em eclipses lunares) que à distância média da Lua, o diâmetro do cone de sombra é de 2 1⁄2 diâmetros lunares. Esse diâmetro aparente é, como ele havia observado, 360⁄650 graus. Com estes valores e geometria simples, Hiparco pôde determinar a distância média; como foi calculada para uma distância mínima do Sol, é a distância média máxima possível para a Lua. Com seu valor para a excentricidade da órbita, ele pôde calcular as menores e maiores distâncias da Lua também. De acordo com Pappus, ele encontrou uma distância mínima de 62, uma média de 67 1⁄3, e consequentemente uma maior distância de 72 2⁄3 raios de Terra. Com este método, como a paralaxe do Sol diminui (ou seja, sua distância aumenta), o limite mínimo para a distância média é de 59 raios de Terra – exatamente a distância média que Ptolomeu mais tarde derivou.
Hipparchus assim teve o resultado problemático de que sua distância mínima (do livro 1) era maior que sua distância média máxima (do livro 2). Ele foi intelectualmente honesto sobre esta discrepância, e provavelmente percebeu que especialmente o primeiro método é muito sensível à precisão das observações e parâmetros. (De fato, cálculos modernos mostram que o tamanho do eclipse solar de 189 AC em Alexandria deve ter sido mais próximo de 9⁄10ths e não do relatado 4⁄5ths, uma fração mais próxima do grau de totalidade em Alexandria dos eclipses ocorridos em 310 e 129 AC que também foram quase totais no Hellespont e são pensados por muitos como sendo mais prováveis possibilidades para o eclipse Hipparchus usado para seus cálculos.)
Ptolomeu mais tarde mediu a paralaxe lunar diretamente (Almagest V.13), e utilizou o segundo método de Hipparchus com eclipses lunares para calcular a distância do Sol (Almagest V.15). Ele critica Hiparco por fazer suposições contraditórias e obter resultados conflitantes (Almagest V.11): mas aparentemente ele não entendeu a estratégia de Hiparco para estabelecer limites consistentes com as observações, ao invés de um único valor para a distância. Seus resultados foram os melhores até agora: a distância média real da Lua é 60,3 raios da Terra, dentro dos limites do segundo livro de Hiparco.
Theon of Smyrna escreveu que, segundo Hiparco, o Sol é 1.880 vezes o tamanho da Terra, e a Terra vinte e sete vezes o tamanho da Lua; aparentemente isso se refere a volumes, não a diâmetros. Da geometria do livro 2 resulta que o Sol está a 2.550 raios de Terra, e a distância média da Lua é de 60 1⁄2 raios. Da mesma forma, Cleomedes cita Hiparco para os tamanhos do Sol e da Terra como 1050:1; isto leva a uma distância lunar média de 61 raios. Aparentemente Hiparco mais tarde refinou seus cálculos, e derivou valores únicos precisos que ele poderia usar para previsões de eclipses solares.
Veja para uma discussão mais detalhada.
EclipsesEdit
Pliny (Naturalis Historia II.X) nos diz que Hipparchus demonstrou que eclipses lunares podem ocorrer com cinco meses de intervalo, e eclipses solares com sete meses (ao invés dos habituais seis meses); e o Sol pode ser escondido duas vezes em trinta dias, mas como visto por diferentes nações. Ptolomeu discutiu isso um século depois, em Almagest VI.6. A geometria, e os limites das posições do Sol e da Lua quando um eclipse solar ou lunar é possível, são explicados no Almagest VI.5. Hiparco aparentemente fez cálculos semelhantes. O resultado de que dois eclipses solares podem ocorrer com um mês de intervalo é importante, porque isto não pode ser baseado em observações: um é visível no hemisfério norte e o outro no hemisfério sul – como Plínio indica – e este último era inacessível ao grego.
Previsão de um eclipse solar, ou seja, exatamente quando e onde ele será visível, requer uma teoria lunar sólida e um tratamento adequado da paralaxe lunar. Hiparco deve ter sido o primeiro a ser capaz de fazer isto. Um tratamento rigoroso requer trigonometria esférica, portanto, aqueles que permanecem certos de que Hiparco não o fez, devem especular que ele pode ter se contentado com aproximações planares. Ele pode ter discutido estas coisas no Perí tēs katá plátos mēniaías tēs selēnēs kinēseōs (“No movimento mensal da Lua em latitude”), uma obra mencionada no Suda.
Pliny também observa que “ele também descobriu por que razão exata, embora a sombra que causou o eclipse deva, a partir do nascer do sol, estar abaixo da terra, aconteceu uma vez no passado que a Lua foi eclipsada no oeste, enquanto ambas as luminárias eram visíveis acima da terra” (tradução H. Rackham (1938), Loeb Classical Library 330 p. 207). Toomer (1980) argumentou que isto deve se referir ao grande eclipse lunar total de 26 de Novembro de 139 a.C., quando sobre um horizonte de mar limpo como visto de Rodes, a Lua foi eclipsada no noroeste logo após o Sol nascer no sudeste. Este seria o segundo eclipse do intervalo de 345 anos que Hiparco utilizava para verificar os períodos tradicionais da Babilónia: isto coloca uma data tardia ao desenvolvimento da teoria lunar de Hiparco. Não sabemos que “razão exata” Hiparco encontrou para ver a Lua eclipsada enquanto aparentemente não estava em oposição exata com o Sol. O paralaxe baixa a altitude das luminárias; a refração as eleva, e de um ponto de vista elevado o horizonte é abaixado.