Joseph-Louis Lagrange é um gigante na história da matemática. Ele fez grandes contribuições para o desenvolvimento da física, mecânica celestial, cálculo, álgebra, teoria dos números e teoria dos grupos. Ele foi amplamente autodidata e não obteve um diploma universitário.
Fascinado por máximos e mínimos de funções, Lagrange foi o principal fundador do cálculo de variações.
Numa reformulação de longo alcance das leis de Isaac Newton, Lagrange criou uma nova e brilhante visão da mecânica. Ele fez isso usando o cálculo de variações para revelar as amplas implicações de um único princípio físico, o trabalho virtual. Um resultado disso foi a função Lagrangiana, indispensável na física avançada, calculada pela subtração da energia potencial da energia cinética.
A visão do Lagrangiano foi baseada inteiramente em álgebra e cálculo. Ele acreditava que isto era mais matematicamente rigoroso do que ideias intuitivas geradas pela geometria. Ele julgou que seus métodos posicionavam a mecânica dentro do reino da matemática pura.
Na mecânica celeste Lagrange descobriu os pontos Lagrangianos, amados igualmente por escritores de ficção científica e planejadores de observatórios e estações espaciais.
Lagrange deu-nos a notação familiar f′(x) para representar a derivada de uma função, f′′(x) uma segunda derivada, etc., e de facto foi ele que nos deu a palavra derivada.
Aquisições e Pontos Chave
Joseph-Louis Lagrange foi um prolífico matemático e físico autodidacta. Algumas das suas maiores realizações são:
Lagrange:
- Built on earlier work by Leonhard Euler to create the calculus of variations – he called it its ‘method of variations’.’
- Introduziu a notação ∂ e criou as primeiras equações diferenciais parciais.
- Deu a afirmação mais generalizada do princípio de menor ação de sua época.
- Criou um campo totalmente novo da mecânica, a mecânica Lagrangiana, tanto para sólidos como para fluidos, baseado no conceito de trabalho virtual e utilizando a função Lagrangiana.
- Introduziu o conceito de coordenadas generalizadas. A mecânica Lagrangiana pode ser utilizada em qualquer sistema de coordenadas – os problemas são simplificados pela escolha de um adequado.
- Criado o conceito de potencial: o campo gravitacional, por exemplo, é um campo potencial.
- Descoberto órbitas Lagrangianas.
- Solucionado problemas centenários na teoria dos números colocados por Fermat que tinha derrotado outros matemáticos.
- Foi um fundador da teoria dos grupos.
- Tocou um papel fundamental na criação do sistema métrico de pesos e medidas.
Beginnings
Joseph-Louis Lagrange nasceu em uma família próspera (seus padrinhos eram aristocratas) na cidade italiana de Turim, Piemonte, em 25 de janeiro de 1736.
Ao nascer chamava-se Giuseppe Lodovico Lagrangia. A forma francesa do seu nome é normalmente usada porque ele escreveu muitos dos seus trabalhos em francês e, na segunda parte da sua vida, estabeleceu-se em Paris.
Quando era adolescente na Itália, Joseph começou a chamar-se Lagrange. Tinha antepassados franceses nos dois lados da família, dos quais parece ter-se orgulhado, embora se considerasse sempre piemontês e não francês. Depois de muitos anos em Paris, manteve o seu forte sotaque italiano.
Joseph recebeu o nome do seu pai, Giuseppe Francesco Lodovico Lagrangia, o tesoureiro do rei, responsável pelas fortificações e infra-estruturas de Turim. A mãe de José era Maria Teresa Grosso, filha de um eminente médico. José era o mais velho dos seus 11 filhos, dos quais apenas dois sobreviveram à infância.
Educação
Em 1750, aos 14 anos de idade, Joseph tornou-se estudante na Universidade de Turim. Aborrecido pela geometria de Euclides e Arquimedes, ele não tinha interesse em estudar matemática.
Ele planejava seguir as pegadas de seu pai e estudar direito. Seu pai, no entanto, tinha encontrado problemas financeiros ao especular insensatamente.
O interesse de Joseph em matemática foi despertado quando ele leu um artigo escrito no século anterior por Edmund Halley no qual Halley usou equações algébricas para descrever o desempenho óptico das lentes. Ao contrário da geometria, algo sobre a álgebra de Halley o cativou.
Ele se afastou da lei e começou a assistir a palestras de matemática e física. Embora ele gostasse destas, foi absorvendo livros de ponta de matemáticos como Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, Colin Maclaurin e Jean d’Alembert que o catapultaram para a frente a uma velocidade quase absurda.
Lagrange não dormiu muito. Ele adquiriu o hábito de se manter acordado por longas horas de trabalho com a ajuda de chá e café.
Conceito de Matemática da Laranja
René Descartes e Pierre de Fermat mostraram que a geometria e a álgebra são intercambiáveis. A ligação há muito que se suspeitava. No século XI, Omar Khayyam tinha escrito:
“Quem pensa que a álgebra é um truque para obter incógnitas, pensou em vão. Não se deve prestar atenção ao fato de que álgebra e geometria são diferentes na aparência. As álgebras são fatos geométricos que são provados pelas Propostas 5 e 6 do Livro 2 dos Elementos de Euclides”
Isaac Newton tinha produzido o seu famoso sistema do mundo em Principia apoiando-se em idéias geométricas.
Lagrange cresceu cada vez mais para acreditar que mais progresso na mecânica seria inibido pela geometria. Ele favoreceu a análise – uma abordagem inteiramente algébrica ao cálculo.
“Os grandes mestres da análise moderna são Lagrange, Laplace e Gauss, que foram contemporâneos… Lagrange é perfeito tanto na forma quanto na matéria, ele tem o cuidado de explicar seu procedimento, e embora seus argumentos sejam gerais, eles são fáceis de seguir. Laplace, por outro lado, não explica nada… Gauss é tão exato e elegante como Lagrange, mas ainda mais difícil de seguir do que Laplace…”.
Mathematician novato
Em 1754, aos 18 anos, Joseph Lagrange publicou o seu primeiro trabalho matemático: Carta a Giulio Carlo da Fagnano. Nela ele descreve sua descoberta de que a expansão binomial e a fórmula para o diferencial de um produto têm coeficientes idênticos.
Este não foi um resultado novo, embora a princípio ele pensasse que era.
Lagrange’s Lifetime in Context
Joseph Lagrange’s lifetime and the lifetimes of related mathematicians.
Obras de Joseph-Louis Lagrange
Cálculo de Variações
Em agosto de 1755, 19 anos, Lagrange enviou um trabalho ao maior matemático vivo do mundo, Leonhard Euler. Ele descreveu o seu novo método para encontrar máximos e mínimos de funções, um brilhante salto em frente no cálculo. Em setembro de 1755, Euler escreveu de volta expressando sua grande admiração pelo trabalho de Lagrange.
Poucos dias depois, Lagrange foi oferecido e aceitou um emprego como professor assistente de matemática numa escola de artilharia em Turim – a Real Academia Militar. Deixou a Universidade de Turim sem um diploma e começou a ensinar cálculo & mecânica. Os seus alunos eram todos mais velhos que ele e ele não era o melhor dos professores – ele era bastante tímido e as suas aulas eram demasiado avançadas para os seus alunos.
A correspondência subseqüente entre Lagrange e Euler levou a um novo ramo da matemática – o cálculo de variações.
Euler ficou tão sobrecarregado com a importância do trabalho de Lagrange que propôs que o jovem de Turim fosse eleito como membro estrangeiro da Academia de Berlim. Lagrange foi devidamente eleito em 2 de setembro de 1756, aos 20 anos de idade.
Lagrange sempre acreditou que fundar o cálculo de variações era sua maior obra. Ele o estabeleceu, ainda adolescente, como um dos maiores matemáticos do século XVIII.
Hilbert e o Cálculo de Variações
David Hilbert
Em 1900, 145 anos depois de Lagrange ter criado o cálculo de variações, permaneceu como um dos campos mais importantes da matemática. Quando David Hilbert colocou seus famosos 23 problemas aos matemáticos do mundo, três deles diziam respeito ao cálculo de variações:
- Problema 19: As soluções de problemas regulares no cálculo de variações são sempre necessariamente analíticas? Isto foi resolvido por Ennio de Giorgi e John F. Nash. A resposta é sim.
- Problema 20: Todos os problemas de variações com certas condições de contorno têm soluções? Isto gerou uma enorme quantidade de trabalho realizado por um grande número de matemáticos. A resposta é sim.
- Problema 23: É necessário um maior desenvolvimento do cálculo de variações. Este é um problema que, como Hilbert reconheceu, não tem uma solução definitiva. No entanto, ele considerou o campo tão vital para o futuro da matemática que ele ficou feliz em fazer dele seu problema final.
A Vision
Lagrange tinha grandes ideias. Aos 20 anos, sua visão era unir toda a mecânica usando apenas um princípio fundamental:
“Vou deduzir a mecânica completa dos corpos sólidos e fluidos usando o princípio da mínima ação”.
Lagrange finalmente alcançou o seu objectivo na década de 1780, descrevendo o seu sucesso em Mecânica Analítica em 1788. O princípio da unidade única acabou por se revelar um trabalho virtual, em vez de menos ação. Ele usou pela primeira vez o trabalho virtual em 1763 em um artigo discutindo a liberação da lua.
Fundando a Academia de Ciências de Turim
Lagrange cresceu farto de atitudes científicas abafadas em Turim. Em 1757, ele se reuniu com dois outros ex-alunos para formar a Sociedade Privada de Turim. O objetivo da Sociedade era cultivar a pesquisa científica à moda das Academias de Ciências Francesa e Berlim.
Em 1759, a nova sociedade começou a publicar sua própria revista em francês e latim: Mélanges de Philosophie et de Mathématique – Miscelânea de Filosofia e Matemática.
Em 1783, com o apoio do rei, a sociedade tornou-se a Academia Real de Ciências de Turim.
Moving Beyond Newton
Lagrange começou a publicar seus artigos na revista de sua sociedade. Em muitos ele aplicou seu novo cálculo de variações ao mundo físico para descobrir novos resultados e lançar nova luz sobre os fenômenos. Os seus artigos deste período aparecem em três volumes históricos, todos contendo uma variedade de artigos inovadores, incluindo:
- The Theory of Sound Propagation, incluindo a primeira descrição matemática completa de uma corda que vibra como uma onda transversal. Também, o primeiro uso do cálculo diferencial na teoria da probabilidade.
- A teoria e notação do cálculo de variações, soluções para problemas dinâmicos, e dedução do princípio da menor ação.
- Soluções para problemas mais dinâmicos, o primeiro uso da função Lagrangiana, equações diferenciais gerais descrevendo três corpos mutuamente atraídos pela gravidade, a integração de equações diferenciais, e a solução para um problema centenário que Pierre de Fermat tinha colocado na teoria dos números.
Travamento das marés &Libração da Lua
Em 1764, Lagrange ganhou o Prêmio da Academia Francesa de Ciências por seu estudo descrevendo porque vemos apenas uma face da lua e porque observamos a liberação. Libração é uma aparente oscilação e balanço da lua causado por efeitos orbitais que nos permite ver mais da sua superfície do que podemos esperar. Como resultado da liberação da lua, quando a observamos durante um período de tempo, podemos realmente ver cerca de 59 por cento de sua superfície, em vez dos 50 por cento que poderíamos esperar inicialmente.
A entrada premiada de Lagrange também foi significativa porque ele usou o princípio do trabalho virtual pela primeira vez: mais tarde ele usou este princípio como base da mecânica Lagrangiana.
As Luas de Júpiter
Em 1766, Lagrange ganhou novamente o Prémio da Academia Francesa de Ciências, desta vez pela sua explicação das órbitas das luas de Júpiter.
Os Anos de Berlim: 1766-1786
Aos 30 anos, Lagrange mudou-se para Berlim, substituindo Euler como Director de Matemática na Academia Prussiana de Ciências. A Academia vinha tentando atraí-lo desde os 19 anos, mas ele recusou porque sentiu que estaria na sombra de Euler.
Os 20 anos que Lagrange passou em Berlim foram os seus mais produtivos. Embora por vezes tivesse de parar de trabalhar devido a problemas de saúde, quando a sua saúde era boa, publicava artigos originais e valiosos ao ritmo de cerca de um por mês. A maioria foi publicada pela Academia de Berlim, enquanto outros apareceram em dois outros volumes de Mélanges de Philosophie et de Mathématique.
Equações Diferenciais Parciais
Na década de 1770 e primeira metade da década de 1780, a produção de Lagrange em equações diferenciais foi prodigiosa, resultando na criação da matemática das equações diferenciais parciais.
Equações Diferenciais Parciais
Equações diferenciais podem ser usadas para descrever mudanças no mundo real. Elas descrevem a relação entre uma quantidade física, como velocidade, e sua taxa de mudança.
Equações diferenciais ordinárias descrevem uma única quantidade de mudança, como velocidade.
Um gráfico de densidade de probabilidade para um elétron na órbita de um átomo de hidrogênio 2p de elétron. O gráfico é construído a partir da solução da equação de Schrödinger – uma equação diferencial parcial.
Lagrange criou equações diferenciais parciais para descrever situações mais complicadas nas quais mais de uma quantidade está mudando – em jargão matemático, as equações diferenciais parciais descrevem uma função de várias variáveis em mudança.
Por exemplo, a equação de Schrödinger é uma equação diferencial parcial bem conhecida na mecânica quântica cuja solução permite a dedução de orbitais de elétrons. Estas orbitais descrevem o volume dentro do qual esperamos encontrar um elétron em um átomo.
Teoria do Grupo & Simetria
Teorema de Langrange, datado de 1771, é que a ordem de um subgrupo deve sempre dividir exatamente a ordem do grupo. Este foi um dos primeiros passos na teoria do grupo.
Lagrangian Points
Em 1772, Lagrange voltou a um problema que o intrigou – o problema dos três corpos em gravidade. Seu tratado sobre o assunto, Essai sur le Problème des Trois Corps, o levou a ganhar novamente o Prêmio da Academia Francesa de Ciências.
Ele considerou uma situação em que existem dois objetos de massa relativamente alta, como a terra e o sol, orbitando um centro de gravidade mútuo. Ele calculou o potencial gravitacional para este tipo de situação, resumido no mapa de contornos abaixo.
Mapa de contorno de potencial gravítico para o sistema Terra-sol, mostrando os cinco pontos Lagrangianos: L1, L2, L3, L4, L5.
Onde as linhas de contorno estão próximas, o potencial gravitacional é alto. Da mesma forma, onde as linhas estão mais afastadas, o potencial gravítico é menor.
Lagrange identificou cinco pontos de equilíbrio, os pontos Lagrangianos L1, L2, L3, L4, e L5. Os objetos nestes pontos mantêm a sua posição em relação às duas massas maiores. (Euler identificou os pontos L1, L2, e L3, alguns anos antes numa análise menos exaustiva.)
O Satélite Solar e Heliosférico da NASA de hoje está localizado no ponto L1 do Sol da Terra, permitindo que o Sol seja visto sem interrupção a partir de uma plataforma estável.
O Telescópio Espacial James Webb, sucessor do Telescópio Espacial Hubble, está programado para ser colocado no ponto L2 Terra-sol em 2020.
Mecânica Lagrangiana
Lagrange completou a sua obra-prima, Mecânica Analítica, em Berlim, no início da década de 1780. Passariam vários anos até que ele encontrasse uma editora.
“Eu quase completei um livro sobre mecânica analítica fundado apenas sobre o princípio . Mas como ainda não faço ideia onde e quando pode ser publicado, não tenho pressa em terminá-lo”.
Lagrange orgulhava-se de seu livro não conter diagramas: ele considerava a mecânica como um ramo da matemática pura – uma geometria de quatro dimensões – três do espaço, uma do tempo. Ele acreditava que verdades maiores seriam encontradas no rigor da álgebra e do cálculo fundidos na análise do que no que ele via como pensamento intuitivo representado em diagramas. Ele se orgulhava de ter removido a mecânica da província de geometria e a colocou firmemente dentro do domínio da análise.
Lagrange trabalhou tudo a partir de um único princípio fundamental: o trabalho virtual. Partindo deste princípio, ao qual aplicou o cálculo de variações, produziu a função Lagrangiana em coordenadas generalizadas, permitindo abordar um grande número de problemas de mecânica a partir de uma nova direcção, e resolver problemas anteriormente insolúveis.
A mecânica Lagrangiana levou a uma compreensão mais profunda do mundo físico. Por exemplo, mais de 150 anos depois de Lagrange ter escrito “Analytical Mechanics”, o trabalho de Paul Dirac “The Lagrangian in Quantum Mechanics” levou Richard Feynman a uma formulação inteiramente nova da mecânica quântica, depois integrais do caminho, e finalmente a solução completa da eletrodinâmica quântica que ele descreveu como “a jóia da física”.
Os Anos de Paris: 1786-1813
Embora Lagrange tenha escrito a sua obra-prima de mecânica analítica, em Berlim, só foi publicada em 1788, depois de se ter mudado para Paris a convite da Academia Francesa de Ciências.
Nos seus primeiros anos em Paris, Lagrange foi dominado pela depressão e pela falta de energia – ele não encontrou nada que pudesse manter o seu interesse. Duas coisas o ajudaram a sair de sua letargia: seu casamento de 1792 com uma jovem e simpática esposa; e ser nomeado presidente da comissão de pesos e medidas em 1793.
Sobrevivendo ao Terror
O Reino do Terror da Revolução Francesa começou em 1793. Lagrange sobreviveu a ele. Ajudou a que ele fosse estrangeiro. Além disso, ele era educado e sempre fez o seu melhor para evitar discussões e política.
Antoine Lavoisier, um membro anterior da comissão de pesos e medidas, e um fundador da química moderna, não teve tanta sorte: perdeu a cabeça em 1794. Lagrange ficou horrorizado com o destino de Lavoisier, comentando:
“Só demorou um momento para a cabeça dele cair, mas cem anos podem não ser suficientes para reproduzir o seu igual”.
O Sistema Métrico
Lagrange argumentou fortemente a favor da adopção do quilograma e metro. Estes foram aceites pela comissão em 1799.
École Polytechnique
Em 1794, a Ècole Polytechnique abriu em Paris, com Lagrange, agora com 58 anos, nomeado Professor de Matemática. Suas palestras foram saboreadas por outros professores. Todos os alunos, exceto os mais capazes, porém, achavam-nas muito difíceis. Isto foi semelhante à situação de muitos anos antes, quando, como adolescente, ele deu aulas em Turim.
Sophie Germain, excluída da Politécnica por ser mulher, obteve as notas da aula de Análise de Lagrange e ficou encantada com elas: foram as melhores notas matemáticas que ela tinha visto. Lagrange aprendeu sobre o talento matemático de Germain, visitou-a e divulgou o seu brilhantismo.
Família e o Fim
Em 1767, 31 anos, Lagrange casou com a sua prima Vittoria Conti. Ele não queria filhos e os dois eram companheiros confortáveis – eles já se conheciam há algum tempo. Nenhum dos dois gozava de boa saúde, e Vittoria estava frequentemente doente. Ela morreu em 1783, após 16 anos de casamento. Lagrange sofreu profundamente por ela e ficou deprimida.
Em Paris, em 1792, Renée-Françoise-Adélaide Le Monnier, de 24 anos, tornou-se devota de Lagrange, que tinha 56 anos. Ela o conheceu através de seu pai, o astrônomo Pierre Charles Le Monnier. Renée sentiu pena de Lagrange – ele era um homem brilhante que parecia ter perdido o apetite pela vida; ele parecia estar invulgarmente triste e cansado do mundo. Renée decidiu casar-se com ele, e se manteve firme contra todas as objeções. Os dois se casaram e acabou sendo uma união feliz para ambos. Eles não tinham filhos.
Em 1802, Lagrange tornou-se cidadão francês.
Lagrange assistiu regularmente à missa católica romana, embora de resto pareça ter dito pouco sobre a sua religião.
Joseph-Louis Lagrange morreu, com 77 anos, a 10 de Abril de 1813, em Paris. Sobrevivido por sua esposa Renée, ele foi enterrado no Panthéon, o lugar de descanso final de muitas pessoas eminentes incluindo Voltaire, Victor Hugo, Lazare Carnot, Marcellin Berthelot, Paul Langevin e Pierre & Marie Curie.
Quando a Torre Eiffel abriu em 1889, Lagrange era um dos 72 cientistas, engenheiros e matemáticos franceses cujos nomes foram gravados em placas na torre.
“Todas as suas composições matemáticas são notáveis por uma elegância singular, pela simetria das formas e generalidade dos métodos, e se assim se pode falar, pela perfeição do estilo analítico”.
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Outras Leituras
W. W. Rouse Ball
Um breve relato da História da Matemática
MacMillan and Co. Limited, Londres, 1940
Craig Fraser
J. L. Lagrange’s Early Contributions to the Principles and Methods of Mechanics
Archive for History of Exact Sciences, Vol. 28, pp. 197-241, 1983
Judith V. Grabiner
A Historian Looks Back: The Calculus as Algebra and Selected Writings
The Mathematical Association of America, Out 2010
J.L. Lagrange
Analytical Mechanics: Traduzido e editado por Auguste Boissonnade e Victor N. Vagliente
Springer Science& Business Media, Abr. 2013