O modelo encontrará os valores de Ts e Ta que permitirão que a potência radiativa de saída, escapando do topo da atmosfera, seja igual à potência radiativa absorvida da luz solar. Quando aplicado a um planeta como a Terra, a radiação de saída será de onda longa e a luz solar será de onda curta. Estas duas correntes de radiação terão características distintas de emissão e absorção. No modelo idealizado, assumimos que a atmosfera é completamente transparente à luz solar. O albedo planetário αP é a fração do fluxo solar de entrada que é refletido de volta ao espaço (já que a atmosfera é assumida totalmente transparente à radiação solar, não importa se este albedo é imaginado como sendo causado pela reflexão na superfície do planeta ou no topo da atmosfera ou por uma mistura). A densidade do fluxo da radiação solar de entrada é especificada pela constante solar S0. Para aplicação no planeta Terra, os valores apropriados são S0=1366 W m-2 e αP=0,30. Considerando que a área de superfície de uma esfera é 4 vezes a área da sua intercepção (sua sombra), a radiação média de entrada é S0/4.
Para radiação de onda longa, assume-se que a superfície da Terra tem uma emissividade de 1 (ou seja, a Terra é um corpo negro no infravermelho, o que é realista). A superfície emite uma densidade de fluxo radiativo F de acordo com a lei Stefan-Boltzmann:
F = σ T 4 {\displaystyle F=\sigma T^{4}}
onde σ é a constante de Stefan-Boltzmann. Uma chave para entender o efeito estufa é a lei de Kirchhoff da radiação térmica. Em qualquer comprimento de onda, a absorvtividade da atmosfera será igual à emissividade. A radiação da superfície pode estar em uma porção ligeiramente diferente do espectro infravermelho do que a radiação emitida pela atmosfera. O modelo assume que a emissividade média (absortividade) é idêntica para qualquer um destes fluxos de radiação infravermelha, pois eles interagem com a atmosfera. Assim, para radiação de onda longa, um símbolo ε denota tanto a emissividade como a absortividade da atmosfera, para qualquer fluxo de radiação infravermelha.
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A densidade do fluxo infravermelho fora do topo da atmosfera:
F = ϵ σ T a 4 + ( 1 – ϵ ) σ T s 4 {\i1}fisplaystyle F\i}uparrow ={\i1}epsilon T_{a}^{4}+(1-\i}epsilon ){\i} T_{sigma T_{s}^{4}}
No último termo, ε representa a fração da radiação de onda longa ascendente da superfície que é absorvida, a absortividade da atmosfera. No primeiro termo à direita, ε é a emissividade da atmosfera, o ajuste da lei Stefan-Boltzmann para explicar o fato de que a atmosfera não é opticamente espessa. Assim, ε desempenha o papel de misturar ordenadamente, ou fazer a média, das duas correntes de radiação no cálculo da densidade do fluxo exterior.
Zero radiação líquida deixando o topo da atmosfera requer:
– 1 4 S 0 ( 1 – α p ) + ϵ σ T a 4 + ( 1 – ϵ ) σ T s 4 = 0 {\\i1}S_{\i}{4}}S_{0}(1-}alpha _{\i})+\i}epsilon {a}^{4}+(1-\i}epsilon {\i} ^{4}=0}
Zero a radiação da rede que entra na superfície requer:
1 4 S 0 ( 1 – α p ) + ϵ σ T a 4 – σ T s 4 = 0 {\frac {\frac {\frac {1}}S_{0}(1-\alpha _{\p})+\epsilon \sigma T_{a}^{4}-\sigma T_{\s}^{4}=0}
O equilíbrio energético da atmosfera pode ser derivado das duas condições de equilíbrio acima, ou pode ser deduzido independentemente:
2 ϵ σ T a 4 – ϵ σ T s 4 = 0 {\i1}-epsilon {a}^{4}-epsilon {\i} ^{4}=0}
Notem o importante factor 2, resultante do facto de a atmosfera irradiar tanto para cima como para baixo. Assim, a razão de Ta para Ts é independente de ε:
T a = T s 2 1 / 4 = T s 1,189 {\i1}={T_{\i} {T_{\i} ^{1/4}={T_{\i} {T_{\i} {\i1}
Assim o Ta pode ser expresso em termos de Ts, e uma solução é obtida paraTs em termos dos parâmetros de entrada do modelo:
1 4 S 0 ( 1 – α p ) = ( 1 – ϵ 2 ) σ T s 4 {\frac {\frac {1}{4}}S_{0}(1-{\alpha _{\p})=esquerda(1-{\frac {\epsilon }{2}} ^{4}} ^Sigma T_{4}}
ou
T s = 1 / 4 {\i1}{s}=esquerda^{1/4}}
A solução também pode ser expressa em termos da temperatura efectiva de emissão Te, que é a temperatura que caracteriza a densidade do fluxo infravermelho de saída F, como se o radiador fosse um radiador perfeito obedecendo a F=σTe4. Isto é fácil de conceituar no contexto do modelo deles. Te é também a solução para Ts, para o caso de ε=0, ou sem atmosfera:
T e ≡ 1 / 4 {\a}}displaystyle T_{e}}equiv {1/4}}
Com a definição de Te:
T s = T e 1 / 4 {\i}=T_{s}=T_{e}{esquerda^{1/4}}
Para uma estufa perfeita, sem radiação a escapar da superfície, ou ε=1:
T s = T e 2 1 / 4 = 1.189 T e T a = T e {\i}= T e {\i}=T_{e}2^{1/4}=1.189T_{e}=qquad T_{a}=T_{e}}}
Usando os parâmetros definidos acima para serem apropriados para a Terra,
T e = 255 K = – 18 C {\displaystyle T_{e}=255~\mathrm {K} =-18~\mathrm {C} }
Para ε=1:
T s = 303 K = 30 C {\\\i1}=303~\i}mathrm {K} =30~\i}mathrm {C} }
Para ε=0,78,
T s = 288,3 K T a = 242,5 K {\i}=288,3~{\i}mathrm {K} \qquad T_{a}=242.5~\mathrm {K} }
.
Este valor de Ts está próximo do 287,2 K publicado da “temperatura média global da superfície” com base nas medições. ε=0,78 implica que 22% da radiação superficial escapa diretamente para o espaço, consistente com a afirmação de 15% a 30% de fuga no efeito estufa.
A força radiativa para a duplicação do dióxido de carbono é de 3,71 W m-2, em uma parametrização simples. Este também é o valor endossado pelo IPCC. Da equação para F {\fv F\fv}
, Δ F = Δ ϵ ( σ T a 4 – σ T s 4 ) {\i1}displaystyle Delta F\i}uparrow = Delta \i}epsilon esquerda(a}^{4}— sigma T_{4}^{4}-direita)}
Usando os valores de Ts e Ta para ε=0,78 permite Δ F {\i1}displaystyle {\i}delta F\i}uparrow
= -3,71 W m-2 com Δε=.019. Assim, uma mudança de ε de 0,78 para 0,80 é consistente com o forçamento radiativo de uma duplicação de dióxido de carbono. Para ε=0,80, T s = 289,5 K {\\i1}=289,5~\mathrm {\i} }
Assim este modelo prevê um aquecimento global de ΔTs = 1,2 K para uma duplicação do dióxido de carbono. Uma previsão típica de um GCM é de 3 K de aquecimento de superfície, principalmente porque o GCM permite um feedback positivo, notadamente pelo aumento do vapor de água. Um substituto simples para incluir este processo de feedback é postular um aumento adicional de Δε=.02, para um total de Δε=.04, para aproximar o efeito do aumento do vapor de água que estaria associado a um aumento da temperatura. Este modelo idealizado prevê então um aquecimento global de ΔTs = 2,4 K para uma duplicação do dióxido de carbono, mais ou menos consistente com o IPCC.