O que é a teoria dos números?

Então, o mundo da matemática oferece inúmeros tipos de números, cada um com as suas propriedades particulares. Os matemáticos formulam teorias sobre as relações entre números e grupos de números. Eles sustentam suas teorias com axiomas (afirmações previamente estabelecidas presumidamente verdadeiras) e teoremas (afirmações baseadas em outros teoremas ou axiomas).

O primeiro passo para construir uma teoria matemática nova e brilhante, no entanto, é fazer uma pergunta teórica sobre as relações numéricas. Por exemplo, a soma de dois cubos pode ser um cubo? Lembra-se dos triplos pitagóricos da página anterior? Estes trios de três números, tais como (3, 4, 5), resolvem a equação a2 + b2 = c2. Mas e o que dizer de a3 + b3 = c3? O matemático Pierre de Fermat fez a mesma pergunta sobre os cubos e, em 1637, alegou ter elaborado uma prova matemática que, através de uma lógica linha após linha, mostrou sem qualquer dúvida que não, a soma de dois cubos não pode ser um cubo. Chamamos a isto o Último Teorema de Fermat. Infelizmente, em vez de fornecer a prova completa nas suas notas, Fermat apenas escreveu, “Tenho uma demonstração verdadeiramente maravilhosa desta proposta que esta margem é demasiado estreita para conter” .

Mais de três séculos e meio se seguiram durante os quais matemáticos de todo o mundo tentaram em vão redescobrir a prova de Fermat. O que estava a cavalgar nesta busca? Nada, exceto o orgulho acadêmico e o amor pela matemática pura e abstrata. Então, em 1993, com a ajuda da matemática computacional não descoberta na época de Fermat, o matemático inglês Andrew Wiles conseguiu provar o teorema de 356 anos. Especialistas continuam a disputar se Fermat realmente trabalhou uma prova tão fenomenal em sua idade pré-computador, ou se ele estava errado.

Outras questões na teoria dos números relacionadas a vários padrões teóricos ou percebidos em números ou grupos de números. Tudo começa com o aspecto mais crucial do pensamento inteligente: o reconhecimento de padrões. O professor de matemática da Brown University Joseph H. Silverman apresenta cinco passos básicos na teoria dos números:

O último teorema de Fermat, portanto, foi realmente uma conjectura durante 356 anos e só se tornou um verdadeiro teorema em 1993. Outras, como a Prova de Primes Infinitos de Euclides (que prova que os números primos são ilimitados), tem permanecido um modelo sólido de raciocínio matemático desde 300 a.C. Ainda outras conjecturas da teoria dos números, tanto antigas como novas, permanecem sem prova.

Números são tão infinitos quanto a compreensão humana é finita, então a teoria dos números e seus vários subcampos continuarão a cativar as mentes dos amantes da matemática por idades. Problemas antigos podem cair, mas conjecturas novas e mais complicadas irão subir.

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