Neste Dia de Ação de Graças eu estava saindo com meu primozinho, que estava distribuindo cartas de um baralho padrão de 52 cartas. Fiz-lhe a pergunta:
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“Quantas vezes você poderia distribuir o baralho inteiro e ver uma ordem única de cartas – diferente de todas as outras vezes que você distribuiu o baralho no passado?”
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Or para colocar de outra forma,
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“Quantas combinações únicas (“permutações”) de todas as 52 cartas existem?”
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Se você fez alguma teoria de números (ou olhou para o título do post), você sabe a resposta – 52! (Também conhecido como 52 factorial. Eu ficaria igualmente entusiasmado com o 52 sendo a resposta, no entanto – isso seria muito estranho e interessante)
Procurei maneiras de tentar tatear esse número online, e obtive variações da mesma resposta, que eram bastante inexplicáveis para o meu primo. Então, em vez disso, decidi fazer uma tentativa.
Imagine que você parou tudo o que estava fazendo, e para o resto da sua vida, a cada segundo da sua vida, noite e dia, você deu uma nova mão magicamente baralhada de todas as 52 cartas. Esta magia faz com que você nunca receba uma mão que você já tenha visto antes. Você quer saber quantas ofertas únicas existem, e tem uma profunda desconfiança dos matemáticos – você precisa vê-la com seus próprios olhos.
Você primeiro tem uma mão que começa com o Valete de Paus, depois o Valete de Copas, depois o Valete de Espadas e depois as 49 outras cartas. “Hmm, interessante!” Você pensa… para si mesmo, pois provavelmente não tem muitos amigos se este é o seu hobby.
No segundo seguinte, você tem uma mão que começa com o Ás de Copas, depois tem as outras 51 cartas.
Você continua, e na semana seguinte você está bem entediado. Quando é que eu vou acabar? Naquela terça-feira você vê um negócio que tem o Valete de Copas, depois o Valete de Paus, depois o Valete de Espadas e todas as outras cartas exatamente na mesma posição que você conseguiu no primeiro negócio.
“Uau, isso é super interessante, e super perto da primeira mão, mas ainda uma nova mão!” Você exclama para uma sala cheia de caixas de pizza vazias, e neste momento amigos imaginários como você não dorme há uma semana.
Você percebe que vai precisar de alguma ajuda para continuar fazendo isso. Então você consegue convencer todas as outras pessoas na terra, todas as 7 bilhões delas, a fazer isso com você, a cada segundo de cada dia. Você deve descobrir isso! Por alguma razão você não é capaz de convencer os matemáticos a trabalhar no seu projeto, mas novamente você nunca foi um grande fã deles de qualquer maneira.
Still, as coisas não estão progredindo rápido o suficiente. Você decide inventar uma máquina do tempo, e uma Fonte da Juventude, e todos voltam ao início do universo, começando de novo com todos os 7 bilhões de pessoas, todos os dias, todos os dias, uma vez por segundo por pessoa. Você acha que isso certamente vai funcionar, e então você vai poder ver dinossauros! Há muitos segundos entre agora e o início do universo – você perguntou a um astrônomo e eles lhe disseram que havia 4×10^27 segundos desde então, ou 4 seguidos por 17 zeros. Os matemáticos vêm com você, mas ainda se recusam a ajudar a dar cartas. Eles só estão nele para ver dinossauros, dizem eles. Um grita: “Boa sorte com o seu pequeno projecto!” e todos eles riem.
Isto deixa-o um pouco inquieto, mas não tem tempo para as suas brincadeiras, e rapidamente as esquece quando volta a dar cartas.
O Big Bang acontece, e o universo expande-se. As galáxias são formadas e as primeiras estrelas são criadas e explodem, semeando o cosmos com ferro e outros elementos pesados. O sistema solar é formado, e sempre tão lentamente os planetas. A Terra arrefece, um oceano se forma e a vida é despertada. Durante todo o tempo, 7 bilhões de pessoas, todos os dias, todos os dias, a cada segundo, estão dando mãos de cartas únicas. Os dinossauros vagueiam pela Terra, e depois são dizimados. Há muitos eons atrás você se tornou a pessoa mais odiada na existência por criar este projeto e convencer a todos a se juntarem a você. O tempo continua passando e as pessoas continuam a dar cartas até chegarmos à data de hoje.
Você olha para trás para todo o progresso que você fez. Uau! Fomos capazes de fazer 3×10^27ª combinações, isso é incrível! Isso é um 3 seguido de 27 zeros. Tantas ofertas diferentes do baralho, todas únicas.
“Devemos estar perto!”, você diz confiantemente aos humanos exaustos mais próximos – virando a carta. Eles olham para si com puro ódio nos olhos. Você gostaria de ter tentado perguntar a um matemático se é possível encontrar todos os acordos únicos (os matemáticos chamam essas ‘permutações’).
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O matemático mais inteligente e gentil bate em você no ombro. Você pediu a ela para fazer um gráfico do progresso que você tem feito no sentido de coletar todas as diferentes possibilidades, já que ela não parecia rir tanto quanto os outros quando ela passou por você e viu você dando cartas. Ela lhe dá um gráfico.
“O que é isso, algum tipo de piada doentia?” Você exige, enfurecido enquanto ela lhe entrega um gráfico de uma barra de progresso que está em branco.
“Temos que viajar no tempo novamente para o início do universo… você precisa de mais tempo para terminar…” Ela sugere cautelosamente.
“Ok, bem, tudo bem. Quantas mais vezes?” Você dispara de volta, ainda furioso.
“10^40 vezes…” Há uma pausa enquanto você olha em branco para ela.
“Deixe-me dizer o número”, ela diz, “Eu não acho que essa notação científica realmente bate em casa para você… É: Três, zero, zero, zero, zero, zero, zero, zero… “
“Escreve-a”, cortas-lhe o caminho, murmurando sob o teu fôlego sobre como nunca gostaste realmente de matemáticos.
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Ela escreve-o num pedaço de papel, explicando: “Você terá que continuar esta experiência com todos os 7 bilhões de pessoas, retornando repetidamente ao começo do universo para conseguir mais segundos para dar cartas.”
“Você terá que viajar no tempo tantas vezes”, ela repete confiante, com uma nota de piedade na voz.
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O papel diz: “30.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 vezes”.
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Os teus joelhos cedem quando desces ao chão.
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No fundo do desespero, olhas para o matemático. Ela sorri.
“Sabes, podias ter-nos perguntado a nós, matemáticos, no início. O número de combinações é 52!, que é apenas 52*51*50…*3*2*1. Isto equivale a cerca de 8×10^67, ou 8 com 67 zeros depois.”
Você acena com a cabeça, sentindo-se aliviado por saber a resposta. Então você olha para cima. Você vê 7 bilhões de pessoas, todas as quais acabaram de abandonar o trabalho e olham estranhamente para você. Você não gosta do olhar delas. Quando eles começam a se levantar e a se mover na sua direção, você corre em direção à sua máquina do tempo, ajustando-a para se transportar apenas até o período Jurássico.
“Eu deveria ter confiado nos matemáticos …. !” A sua voz desvanece-se à medida que começa a viajar no tempo. Você ainda não tem certeza se entende como funcionam os números grandes ou as probabilidades, mas você acha que é sábio correr riscos com os terríveis lagartos.
No fundo, os matemáticos começam a rir novamente.
Números:
- Idade do universo = 4×10^17
- 7,000,000,000 = 7×10^9
- 52! = 8×10^67
- 52! / 7 Biliões / idade do universo em segundos = 3×10^40