Denna Thanksgiving umgicks jag med min lilla kusin, som delade ut kort från en standardlek med 52 kort. Jag ställde följande fråga till henne:
”Hur många gånger kan du dela ut hela kortleken och se en unik ordning på korten – annorlunda än alla andra gånger du har delat ut kortleken tidigare?”
Och för att uttrycka det på ett annat sätt,
”Hur många unika givningar (”permutationer”) av alla 52 kort finns det?”
Om du har gjort någon talteori (eller tittat på rubriken på inlägget), så vet du svaret – 52! (Aka 52 factorial. Jag skulle dock bli lika glad om 52 var svaret – det skulle vara mycket märkligt och intressant)
Jag letade upp sätt att försöka förstå det talet på nätet, och fick variationer av samma svar, som var ganska oförklarliga för min kusin. Så istället har jag bestämt mig för att göra ett försök själv.
Föreställ dig att du slutade med allt du gjorde och för resten av ditt liv, varje sekund av ditt liv, natt och dag, fick du en ny, magiskt blandad hand med alla 52 kort. Denna magi gör att du aldrig får en hand som du har sett förut. Du vill veta hur många unika givar det finns, och har en djup misstro mot matematiker – du måste se det med egna ögon.
Du har först en hand som råkar börja med klöver knekt, sedan hjärter knekt, sedan spader knekt och sedan de 49 andra korten. ”Hmm, intressant!” Du tänker… för dig själv, eftersom du förmodligen inte har många vänner om detta är din hobby.
I nästa sekund har du en hand som börjar med hjärter esset, sedan har du de 51 andra korten.
Du fortsätter, och nästa vecka är du ganska uttråkad. När kommer jag att vara klar? Den tisdagen ser du en giv som har hjärter knekt, sedan klöver knekt, sedan spader knekt och alla övriga kort i exakt samma position som du fick i den första given.
”Wow, det är superintressant, och supernära till den första handen, men ändå en ny hand!”. Du utbrister till ett rum fullt av tomma pizzakartonger, och vid det här laget imaginära vänner eftersom du inte har sovit på en vecka.
Du inser att du kommer att behöva hjälp för att kunna fortsätta med det här. Så du lyckas övertyga alla andra personer på jorden, alla 7 miljarder, att göra det tillsammans med dig, varje sekund av varje dag. Du måste komma på det här! Av någon anledning lyckas du inte övertyga matematikerna att arbeta med ditt projekt, men återigen har du aldrig varit någon stor beundrare av dem ändå.
Tidigare går det inte tillräckligt fort. Du bestämmer dig för att uppfinna en tidsmaskin och en ungdomens källa, och alla går tillbaka till universums början och börjar på nytt med alla 7 miljarder människor som alla delar kort, hela dagen, varje dag, en gång i sekunden per person. Du tror att detta säkert kommer att fungera, och då kommer du att få se dinosaurier! Det finns många sekunder mellan nu och universums början – du frågade en astronom och han sa att det fanns 4×10^27 sekunder sedan dess, eller 4 följt av 17 nollor. Matematikerna följer med dig, men vägrar ändå att hjälpa till att dela ut kort. De är bara med för att se dinosaurier, säger de. En skriker: ”Detta gör dig lite orolig, men du har inte tid med deras upptåg och glömmer dem snabbt när du återgår till att dela ut kort.
Big Bang inträffar och universum expanderar. Galaxerna bildas och de första stjärnorna skapas och exploderar, vilket ger kosmos en frö med järn och andra tunga grundämnen. Solsystemet bildas och så småningom planeterna. Jorden svalnar, ett hav bildas och liv uppstår. Samtidigt delar 7 miljarder människor ut unika kort varje dag, hela dagen, varje sekund. Dinosaurier vandrar runt på jorden och utplånas sedan. För många eoner sedan har du blivit den mest hatade personen i tillvaron för att du skapade detta projekt och övertalade alla att ansluta sig till dig. Tiden fortsätter att gå och människor fortsätter att dela ut kort tills vi kommer tillbaka till dagens datum.
Du ser tillbaka på alla de framsteg du har gjort. Wow! Vi har kunnat göra 3×10^27:e kombinationer, det är fantastiskt! Det är en 3 följt av 27 nollor. Så många olika erbjudanden av kortleken, alla unika.
”Vi måste vara nära!”, säger du självsäkert till de närmaste utmattade kortvippande människorna. De ser på dig med rent hat i ögonen. Du önskar att du kanske bara hade försökt fråga en matematiker i första hand för att ta reda på om det ens är möjligt att hitta alla unika erbjudanden (matematikerna kallar dessa ”permutationer”).
Den smartaste och snällaste matematikern knackar dig på axeln. Du bad henne kartlägga dina framsteg mot att samla alla olika möjligheter, eftersom hon inte verkade fnissa lika mycket som de andra när hon gick förbi och såg dig dela kort. Hon ger dig ett diagram.
”Vad är det här, något sjukt skämt?” Du kräver, rasande när hon ger dig ett diagram med en framstegsindikator som är tom.
”Vi måste resa i tiden igen till universums början… du behöver mer tid för att bli klar…” Hon föreslår försiktigt.
”Okej, ja, bra. Hur många gånger till?” Du skjuter tillbaka, fortfarande rasande.
”10^40 gånger…” Det blir en paus när du stirrar tomt på henne.
”Låt mig säga siffran”, säger hon, ”Jag tror inte att den vetenskapliga notationen verkligen slog igenom för dig… Det är: Tre, noll, noll, noll, noll, noll, noll, noll…”
”Skriv bara ner det”, avbryter du henne och mumlar under din andedräkt om att du ändå aldrig gillat matematiker.
Hon skriver ner det på ett papper och förklarar: ”Du måste fortsätta det här experimentet med alla 7 miljarder människor, och gång på gång återvända till universums början för att få fler sekunder att dela ut kort.”
”Du måste resa tillbaka i tiden så många gånger”, upprepar hon självsäkert, med en ton av medlidande i rösten.
Papperet säger: ”30 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 gånger”.
Dina knän ger upp och du sjunker ihop på golvet.
I djupet av förtvivlan ser du upp på matematikern. Hon ler.
”Du vet, du kunde ha frågat oss matematiker från början. Antalet kombinationer är 52!, vilket bara är 52*51*50…*3*2*1. Det motsvarar ungefär 8×10^67, eller 8 med 67 nollor efter sig.”
Du nickar och känner dig lättad över att du vet svaret. Sedan tittar du upp. Du ser 7 miljarder människor som alla just har övergivit sitt arbete och tittar konstigt på dig. Du tycker inte om deras blick. När de börjar resa sig upp och rör sig mot dig springer du mot din tidsmaskin och ställer in den så att den bara transporterar dig själv till juraperioden.
”Jag borde ha litat på matematikerna ….”. !” Din röst bleknar när du påbörjar tidsresan. Du är fortfarande inte säker på att du förstår hur stora tal eller sannolikhet fungerar, men du tror att det är klokt att ta dina chanser med de fruktansvärda ödlorna istället.
I bakgrunden börjar matematikerna fnissa igen.
Nummer:
- Universums ålder = 4×10^17
- 7 000 000 000 000 000 = 7×10^9
- 52! = 8×10^67
- 52! / 7 miljarder / universums ålder i sekunder = 3×10^40