Twin prime conjecture, även känd som Polignac’s conjecture, inom talteori, påstående att det finns oändligt många twin primes, eller par av primes som skiljer sig åt med 2. Exempelvis är 3 och 5, 5 och 7, 11 och 13 och 17 och 19 twin primes. När talen blir större blir primtalen mindre frekventa och tvillingprimtalen ännu mer sällsynta.
Det första uttalandet om tvillingprimtalen gavs 1846 av den franske matematikern Alphonse de Polignac, som skrev att alla jämna tal kan uttryckas på oändligt många sätt som skillnaden mellan två på varandra följande primtal. När det jämna talet är 2 är detta den dubbla primtalskonjekturen, dvs. 2 = 5 – 3 = 7 – 5 = 13 – 11 = ….. (Även om gissningen ibland kallas Euklides gissning om dubbla primtal, gav han det äldsta kända beviset för att det finns ett oändligt antal primtal, men han gissade inte att det finns ett oändligt antal dubbla primtal). Mycket små framsteg gjordes när det gäller denna gissning fram till 1919, då den norske matematikern Viggo Brun visade att summan av reciprokerna av de dubbla primtalen konvergerar till en summa, som nu är känd som Bruns konstant. (I motsats till detta divergerar summan av de reciproka primtalen mot oändligheten.) Bruns konstant beräknades 1976 till ungefär 1,90216054 med hjälp av de dubbla primtalen upp till 100 miljarder. 1994 använde den amerikanske matematikern Thomas Nicely en persondator som var utrustad med det då nya Pentium-chippet från Intel Corporation när han upptäckte en brist i chippet som gav inkonsekventa resultat i hans beräkningar av Bruns konstant. Negativ publicitet från matematikerna ledde till att Intel erbjöd gratis ersättningschip som hade modifierats för att rätta till problemet. År 2010 gav Nicely ett värde för Bruns konstant på 1,902160583209 ± 0,000000000781 baserat på alla dubbla primtal som är mindre än 2 × 1016.
Nästa stora genombrott skedde 2003, när den amerikanske matematikern Daniel Goldston och den turkiske matematikern Cem Yildirim publicerade en artikel, ”Small Gaps Between Primes”, som fastställde existensen av ett oändligt antal primtalpar inom en liten skillnad (16, med vissa andra antaganden, framför allt Elliott-Halberstams gissning). Även om deras bevis var bristfälliga korrigerade de det tillsammans med den ungerske matematikern János Pintz 2005. Den amerikanska matematikern Yitang Zhang byggde vidare på deras arbete och visade 2013 att det utan några antaganden fanns ett oändligt antal som skiljde sig åt med 70 miljoner. Denna gräns förbättrades till 246 år 2014, och genom att anta antingen Elliott-Halberstams gissning eller en generaliserad form av den gissningen var skillnaden 12 respektive 6. Dessa tekniker kan möjliggöra framsteg när det gäller Riemannhypotesen, som är kopplad till primtalssatsen (en formel som ger en approximation av antalet primtal som är mindre än ett givet värde). Se även Millenniumproblemet.