Počítejme, kolik balónků potřeboval David Blaine, aby se vznášel

Pravděpodobně každý miluje balónky – zejména menší děti. Děti si pomalu vytvářejí představy o tom, jak funguje vesmír (díky svému pozorování), a už vědí, že když něco pustíte, spadne to. Ale balónek naplněný heliem porušuje pravidla. Letí nahoru. Zdá se to prostě kouzelné.

Starší lidé jsou těmito balónky stále skrytě fascinováni. Každý z nás se někdy nad touto otázkou zamyslel: Kolik bych jich potřeboval, aby mě zvedly ze země? No, a přesně to udělal David Blaine při svém posledním kousku, který nazval Vzestup. Použil několik velkých balónů, které ho vynesly do výšky 24 000 stop. V tu chvíli se od balónů odpojil a pomocí padáku se dostal zpět dolů.

Myslím, že nejlepší částí kaskadérského kousku byl počáteční start. Tým nastavil balóny tak, že došlo k téměř dokonalé rovnováze mezi vztlakovou silou balónů a gravitační silou, která Blaina táhla dolů, takže se tam většinou jen vznášel těsně nad zemí. (Někteří lidé se ho drželi, aby ho předčasně neodnesli nahoru a pryč.) Pak, aby mohl začít svou cestu vzhůru, přidala jeho dcera ještě jeden balónek a on jí podal závaží, které držel. Je to docela fajn způsob, jak stoupat vzhůru.

A teď otázky a odpovědi.

Proč se balónky s heliem vznášejí?

Balónky se nevznášejí pomocí magie. Místo toho je to důsledek gravitace a atmosféry. Ano, to je pravda. Balón by se bez gravitace nevznášel.

Představme si atmosféru jako shluk koulí – až na to, že tyto koule jsou ve skutečnosti molekuly převážně dusíku spolu s trochou kyslíku. Každá z těchto kuliček se pohybuje nějakou průměrnou rychlostí a gravitační interakce se Zemí je táhne dolů. Tyto plynové koule si tedy můžete představit jako tenisový míček hozený přes celou místnost, až na to, že jsou velmi malé. Jo, a těch míčků je spousta. To znamená, že interagují s jinými plynovými koulemi. O těchto interakcích můžete uvažovat, jako by to byly srážky. Právě všechny tyto srážky mezi kuličkami jim brání v tom, aby skončily jen tak na zemi. Také by bylo strašně nešikovné, kdyby se všechen vzduch shromáždil dole na nejnižší úrovni, protože pak bys nemohl dýchat.

Když se srazí dvě plynové koule, někdy se jedna z nich vychýlí nahoru a někdy se vychýlí do strany. Protože však působí také gravitační interakce, která koule táhne dolů, je jich více blíže k zemi. To je důvod, proč hustota vzduchu klesá, když se pohybujete vertikálně vzhůru. Hustota vzduchu u země je přibližně 1,2 kg/m3 a ve výšce 7 000 metrů (téměř 24 000 stop) klesá na přibližně 0,59 kg/m3. Ale i na vzdálenost od dna balónu k jeho vrcholu se hustota vzduchu mění – jen nepatrně.

Nyní umístíme do vzduchu nějaký předmět. Použiji cihlu. Cihla se mi líbí, protože se zjevně nevznáší ve vzduchu, ale také má rovné plochy, což mi usnadní vysvětlení. Protože se malé vzdušné kuličky pohybují, některé z nich se srazí s povrchem cihly. Když se některá kulička od cihly odrazí, působí na tuto cihlu nepatrným tlakem. Celková síla na jeden povrch cihly závisí na ploše této cihly a tlaku vzduchu. Jen připomínáme, že vztah mezi silou a tlakem lze vyjádřit následující rovnicí, kde P je tlak, A je plocha a F je síla.

Máte-li tedy velkou plochu a malý tlak, můžete získat velkou sílu. V tomto vyjádření je tlak způsoben atmosférou – to jsou ty plynové kuličky, které se pohybují a narážejí do věcí. A tady je ta skvělá část. Protože blíže k zemi je více plynových kuliček, závisí tlak na hustotě vzduchu, a nezapomeňte, že hustota závisí na nadmořské výšce. To znamená, že síla vzduchu, která tlačí na horní část cihly, je jiná než síla působící na spodní část cihly. Nejlépe je popsat tyto srážky pomocí tlaku a modelovat změnu tlaku pomocí následující rovnice:

V tomto výrazu je P0 tlak v libovolném bodě, kde y = 0 (ve svislém směru), g je gravitační pole (9,8 N/kg) a ρ je hustota vzduchu. S rostoucím y tedy tlak klesá. Poznámka: Tento lineární vztah platí pouze přibližně. Když se dostanete opravdu daleko nad zemský povrch, nefunguje. Ale díky tomu vidíš, že síla vzduchu na horní část cihly by měla být menší než síla na spodní část cihly.

Všimněte si, že síly, které tlačí na levou a pravou stranu cihly, jsou ve stejné výšce. To znamená, že čistá síla ve vodorovném směru by byla nulová – ruší se. Ale síla, která tlačí na cihlu NAHORU (zespodu), je větší než síla, která tlačí DOLŮ, protože spodní část cihly je v menší výšce – byť jen o kousek. Pokud má cihla výšku h, pak by celková síla od vzduchu ve svislém směru byla:

Všimněte si, že jsem přeskočil některé algebraické kroky, ale není příliš obtížné zjistit, jak to vychází. Ale počkejte! Když vynásobím výšku cihly (h) plochou dna (A), dostanu objem (V) cihly. Když pak vynásobím objem cihly hustotou vzduchu (ρ), dostanu hmotnost – hmotnost plochy o stejném objemu jako cihla. Když tuto hmotnost vynásobím gravitačním polem (g), dostanu hmotnost vzduchu vytlačeného cihlou.

Bum. To je slavný Archimédův princip. Říká, že když je předmět ve vodě, působí na něj vztlaková síla. Hodnota této vztlakové síly je rovna hmotnosti vytlačené vody. Platí však i pro vytlačený vzduch. Ano, na cihlu působí vztlaková síla. Cihla se nevznáší jako balón, protože na cihlu působí také gravitační síla směrem dolů – a tato síla směrem dolů je mnohem větší než vztlaková síla směrem nahoru.

A tady je ta parádní část. Nezáleží ani na tom, jestli nahradíte obdélníkovou cihlu kulovým balonem. Vztlaková síla stále závisí jen na hustotě vzduchu a objemu předmětu. Proč se tedy heliový balónek vznáší? Jediné, co je na plynném heliu zvláštní, je to, že má výrazně nižší hustotu než vzduch (hustota helia je 0,179 kg/m3 a vzduchu 1,2 kg/m3). To znamená, že gravitační síla působící na balón směrem dolů by byla menší než vztlaková síla působící směrem nahoru a balón by se vznášel. Aby bylo jasno, balónek naplněný vodou a balónek naplněný heliem stejné velikosti mají stejnou vztlakovou sílu. Jde jen o to, že hmotnost balónku plněného vodou je obrovská.

Kolik balónků potřebuješ, abys vynesl člověka?

Neříkám, že by ses měl vznést do vzduchu s hromadou balónků, ale řekněme, že chceš odhadnout počet balónků, které bys potřeboval. Nebylo by příliš obtížné vypočítat objem vzduchu, který by měl hmotnost rovnou hmotnosti člověka, a pak zjistit objem helia, který byste potřebovali, ale to zanedbává něco velmi důležitého – gumu v balónu. Ano, má malou hmotnost, ale i tak na ní záleží. Řekněme, že mám nějaký obecný kulový balon z gumy o libovolné tloušťce. Třeba bude vypadat takto:

Tento balón má poloměr R s tloušťkou gumy t a je naplněn heliem. Potřebuji zjistit hmotnost (a tedy i hmotnost) plynného helia i gumy. Hustotu helia nazvu ρh a hustotu gumy ρr. Hmotnost helia závisí na objemu balónku. Protože se jedná o kouli, hmotnost helia by byla:

Ano, použil jsem tam objem koule. Nyní k hmotnosti gumy. Potřebuji objem tohoto tenkého pláště na vnější straně balónu. Pokud je tloušťka gumy malá ve srovnání s poloměrem balónu (což přibližně platí), pak mohu objem gumy vypočítat jako plochu povrchu koule vynásobenou tloušťkou. Tím získáme hmotnost gumy:

Tady je ten parametr t v hmotnosti pryže. Tady jde o to, že ji nemůžete udělat tak tenkou, jak byste chtěli. Existuje nějaký limit – řekněme tedy, že je to konstantní hodnota. To znamená, že hmotnost gumy je úměrná čtverci poloměru balónu, ale hmotnost helia je úměrná KUBICI poloměru. Hélium má mnohem menší hustotu než guma, takže chcete velký poměr helia a gumy, a to znamená, že větší balóny jsou lepší.

Pokud si vezmete standardní párty balón, má poměrně malý poloměr (řekněme 10 cm), takže na gumu vyplýtváte hodně hmoty. Pokud si však pořídíš mnohem větší balón, jako v Blainově kaskadérském kousku Ascension, získáš mnohem lepší poměr helia a gumy.

OK, nyní pro hrubý odhad. Já tady jen odhaduju – protože to je to, co dělám. Začnu s hustotou kaučuku 1 000 kg/m3, což je stejná hustota jako voda (dostatečně blízká kaučuku). Pro poloměr balonu použiji 0,75 metru a tloušťku 0,2 mm. To znamená, že čistá vztlaková síla pro jeden balónek bude:

Vím, že to vypadá šíleně, ale není to tak. Je to jen hmotnost vytlačeného vzduchu minus hmotnost helia a gumy. Nyní, abych zjistil počet balónků, prostě vezmu hmotnost osoby (použijme Davida Blaina plus další vybavení o hmotnosti 100 kg) a vydělím ji vztlakovou silou pro jeden balónek. Zde je výpočet ve formě skriptu Pythonu (takže hodnoty můžete měnit).

Zobrazit více

Oh, to není dobré. Pro pořad na YouTube nebude 256 balónků vypadat zrovna epicky. Samozřejmě se mohu úplně mýlit v odhadu tloušťky balónků – ale podívejte se, co se stane, když změním poloměr na 1,5 metru. Dostanu asi 11 balónků. To se zdá být lepší. Rychlá poznámka: Výše uvedený výpočet je skutečný kód. Pokud kliknete na ikonu tužky, můžete si prohlédnout mé odhadované hodnoty a změnit je na libovolné. Pak klikněte na tlačítko Přehrát a spusťte to.

Měl by balonek stoupat donekonečna?“

Očividně nic netrvá věčně. Balón bude stále stoupat do výšky, dokud bude vztlaková síla větší nebo rovna celkové gravitační síle, která ho táhne dolů. To, co se bude měnit, je vztlaková síla. Ve větších výškách se hustota vzduchu snižuje. To znamená, že protože vztlaková síla je rovna hmotnosti vytlačeného vzduchu, bude se také zmenšovat.

Takže balón nakonec dosáhne výšky, která ho uvede do rovnováhy, a výš už nepoletí. To samozřejmě předpokládá, že objem balónu zůstává také konstantní – což není technicky vzato pravda. Ve velké výšce atmosférický tlak klesá a tlačí na balón méně. To znamená, že helium uvnitř balónu může natahovat gumu, rozpínat se a vytvářet větší vztlakovou sílu. Je to také tím, že v určitém okamžiku se guma příliš roztáhne a pak praskne. To by bylo špatné, protože by všechno helium uniklo a zbyl by jen velký kus gumy. To mi moc nepomáhá.

Jaké je zrychlení při startu?

Chci získat odhad jeho vertikálního zrychlení na začátku stoupání. Není tam dokonalý úhel kamery, ale mohu zhruba odhadnout jeho polohu v různých snímcích videa (abych získal čas). Díky tomu dostanu následující graf vertikální polohy v závislosti na čase.

Pokud má objekt konstantní zrychlení, lze jeho polohu zjistit pomocí následující kinematické rovnice.

Důležité je, že pomocí této rovnice mohu zjistit hodnotu svislého zrychlení. Pokud na data dosadím kvadratickou rovnici, musí být koeficient před t2 roven členu (½)a v této kinematické rovnici. To znamená, že mohu použít fit pro zjištění zrychlení a dostanu hodnotu přibližně 0,05 m/s2. Ano, některé kroky jsem zde vynechal, ale chybějící části můžete doplnit jako domácí úkol. Ale je tato hodnota vůbec tak rozumná?“

Co kdybychom k tomu přistoupili jinou metodou? Řekněme, že Blaine je v rovnováze s čistou silou nula newtonů. Poté předá své dceři malé závaží o hmotnosti 1 libry (4,4 newtonu). Aha, je tu ještě ten balónek navíc, který přidala jeho dcera. Ale myslím, že pro tento odhad můžeme uvažovat pouze předané závaží. To znamená, že jeho hmotnost se snížila o 4,4 newtonu, takže čistá síla nahoru činí 4,4 newtonu. Nyní mohu použít druhý Newtonův zákon, který říká:

Pro určení hmotnosti potřebuji hmotnost Blaina I balónků. Řekněme, že je to 110 kg. Při síle 4,4 newtonu by svislé zrychlení bylo 0,04 m/s2. Dobře, to je vlastně blíž, než jsem si myslel. Budu to považovat za výhru.

David Blaine úspěšně dostal svou balónovou soupravu do výšky přes 24 000 stop A seskočil s padákem zpět na zem. Určitě se všichni shodneme, že to je také výhra.

Další skvělé příběhy WIRED

• 📩 Chcete nejnovější informace o technice, vědě a dalších věcech? Přihlaste se k odběru našich novinek!
• Kníže z Gruzie je velký na Instagramu
• San Francisco bylo jedinečně připraveno na Covid-19
• Jak jeden muž prolomil obranu Googlu proti volební reklamě
• Mizogynie v retro hrách se dostává na světlo po násilné tragédii
• The YOLOers vs. YOLOers. Spory distancovaných nás rozdělují
• 📱 Rozpolceni mezi nejnovějšími telefony? Žádný strach – podívejte se na našeho průvodce nákupem iPhonu a oblíbených telefonů s Androidem