Lassen Sie'uns berechnen, wie viele Ballons David Blaine zum Schweben brauchte

So ziemlich jeder liebt Ballons – besonders jüngere Kinder. Kinder entwickeln langsam eine Vorstellung davon, wie das Universum funktioniert (durch ihre Beobachtungen), und sie wissen bereits, dass wenn man etwas loslässt, es fällt. Aber der mit Helium gefüllte Luftballon bricht die Regeln. Er steigt nach oben. Es scheint einfach magisch zu sein.

Ältere Menschen haben immer noch eine versteckte Faszination für diese Ballons. Jeder von uns hat sich schon einmal die Frage gestellt: Wie viele davon bräuchte ich, um mich vom Boden zu heben? Genau das hat David Blaine bei seinem neuesten Stunt gemacht, den er „Ascension“ nannte. Er benutzte einen Haufen großer Ballons, um sich auf eine Höhe von 24.000 Fuß zu heben. Dann löste er sich von den Ballons und benutzte einen Fallschirm, um wieder herunterzukommen.

Ich denke, der beste Teil des Stunts war der Start. Das Team richtete die Ballons so ein, dass ein nahezu perfektes Gleichgewicht zwischen der Auftriebskraft der Ballons und der Schwerkraft, die Blaine nach unten zog, herrschte, so dass er größtenteils einfach über dem Boden schwebte. (Ein paar Leute hielten sich an ihm fest, um sicherzustellen, dass er nicht vorzeitig abdriftete.) Damit er seine Reise nach oben antreten konnte, ließ seine Tochter einen weiteren Ballon aufsteigen, und er reichte ihr ein Gewicht, das er in der Hand hielt. Das ist eine ziemlich coole Art aufzusteigen.

Aber nun zu den Fragen und Antworten.

Warum schweben Heliumballons?

Ballons schweben nicht durch Magie. Das liegt vielmehr an der Schwerkraft und der Atmosphäre. Ja, das ist wahr. Ein Ballon würde ohne Schwerkraft nicht schweben.

Stellen wir uns die Atmosphäre als einen Haufen Bälle vor – nur dass diese Bälle in Wirklichkeit Moleküle sind, die hauptsächlich aus Stickstoff und etwas Sauerstoff bestehen. Jeder dieser Bälle bewegt sich mit einer gewissen Durchschnittsgeschwindigkeit, und sie werden durch die Gravitationswirkung der Erde nach unten gezogen. Man kann sich diese Gasbälle also wie einen Tennisball vorstellen, den man quer durch den Raum wirft, nur dass sie winzig klein sind. Oh, und es gibt einen Haufen dieser Bälle. Das bedeutet, dass sie mit anderen Gasbällen interagieren. Man kann sich diese Wechselwirkungen wie Kollisionen vorstellen. All diese Zusammenstöße zwischen den Kugeln sorgen dafür, dass sie nicht einfach auf dem Boden landen. Außerdem wäre es furchtbar unangenehm, wenn sich die gesamte Luft auf der untersten Ebene stauen würde, denn dann könnte man nicht mehr atmen.

Wenn zwei Gaskugeln zusammenstoßen, wird manchmal eine der Kugeln nach oben und manchmal zur Seite abgelenkt. Da es aber auch eine Gravitationswechselwirkung gibt, die die Kugeln nach unten zieht, befinden sich mehr von ihnen näher am Boden. Aus diesem Grund nimmt die Luftdichte ab, wenn man sich vertikal nach oben bewegt. Die Dichte der Luft beträgt in Bodennähe etwa 1,2 kg/m3 und sinkt auf etwa 0,59 kg/m3 in einer Höhe von 7.000 Metern (fast 24.000 Fuß). Aber auch auf der Strecke vom Boden bis zur Spitze eines Ballons ändert sich die Dichte der Luft – nur ein wenig.

Lassen Sie uns nun einen Gegenstand in die Luft bringen. Ich werde einen Ziegelstein verwenden. Ich mag den Ziegelstein, weil er offensichtlich nicht in der Luft schwebt, aber er hat auch flache Oberflächen, um meine Erklärung zu erleichtern. Da sich die kleinen Luftbälle in der Luft bewegen, werden einige von ihnen mit der Oberfläche des Ziegelsteins zusammenstoßen. Wenn ein Ball von dem Ziegelstein abprallt, gibt er einen winzig kleinen Stoß auf den Ziegelstein. Die Gesamtkraft, die auf eine Oberfläche des Ziegels wirkt, hängt von der Fläche des Ziegels und dem Luftdruck ab. Zur Erinnerung: Die Beziehung zwischen Kraft und Druck lässt sich durch die folgende Gleichung ausdrücken, wobei P der Druck, A die Fläche und F die Kraft ist.

Wenn man also eine große Oberfläche und einen kleinen Druck hat, kann man trotzdem eine große Kraft erhalten. In diesem Ausdruck ist der Druck auf die Atmosphäre zurückzuführen, d. h. auf die Gasbälle, die sich bewegen und mit Dingen zusammenstoßen. Und jetzt kommt der Clou. Da es in Bodennähe mehr Gasbälle gibt, hängt der Druck von der Dichte der Luft ab, und die Dichte hängt von der Höhe ab. Das bedeutet, dass die Kraft der Luft, die auf die Oberseite des Ziegels drückt, anders ist als die Kraft auf die Unterseite des Ziegels. Es ist am besten, diese Zusammenstöße in Form von Druck zu beschreiben und die Druckveränderung mit der folgenden Gleichung zu modellieren.

In diesem Ausdruck ist P0 der Druck an einem beliebigen Punkt, an dem y = 0 (in vertikaler Richtung) ist, g ist das Gravitationsfeld (9,8 N/kg) und ρ ist die Dichte der Luft. Wenn also y zunimmt, nimmt der Druck ab. Hinweis: Diese lineare Beziehung ist nur annähernd richtig. Wenn man sich sehr weit über der Erdoberfläche befindet, funktioniert sie nicht mehr. Daraus kann man aber ersehen, dass die Kraft der Luft auf die Oberseite des Ziegels geringer sein sollte als die Kraft auf die Unterseite des Ziegels.

Beachten Sie, dass die Kräfte, die auf die linke und rechte Seite des Ziegels drücken, auf gleicher Höhe liegen. Das bedeutet, dass die Nettokraft in horizontaler Richtung gleich Null wäre – sie heben sich auf. Die Kraft, die von unten nach oben auf den Ziegelstein wirkt, ist jedoch größer als die Kraft, die nach unten wirkt, da sich der Boden des Ziegelsteins auf einer niedrigeren Höhe befindet – und sei es nur um ein kleines Stück. Wenn der Ziegelstein eine Höhe h hat, dann wäre die Gesamtkraft aus der Luft in vertikaler Richtung:

Man beachte, dass ich einige algebraische Schritte übersprungen habe, aber es ist nicht allzu schwierig zu sehen, wie das funktioniert. Aber halt! Wenn ich die Höhe des Ziegels (h) mit der Fläche des Bodens (A) multipliziere, erhalte ich das Volumen (V) des Ziegels. Multipliziert man dann das Volumen des Ziegels mit der Dichte der Luft (ρ), erhält man eine Masse – die Masse der Fläche mit demselben Volumen wie der Ziegel. Multipliziert man diese Masse mit dem Gravitationsfeld (g), erhält man das Gewicht der vom Ziegelstein verdrängten Luft.

Bumm. Das ist das berühmte Archimedische Prinzip. Es besagt, dass, wenn sich ein Objekt im Wasser befindet, eine Auftriebskraft auf das Objekt einwirkt. Der Wert dieser Auftriebskraft ist gleich dem Gewicht des verdrängten Wassers. Aber das gilt auch für verdrängte Luft. Ja, auf den Ziegelstein wirkt eine aufwärts gerichtete Auftriebskraft. Der Ziegelstein schwebt nicht wie ein Ballon, weil auch eine nach unten gerichtete Gravitationskraft auf den Ziegelstein wirkt – und diese nach unten gerichtete Kraft ist viel größer als die nach oben gerichtete Auftriebskraft.

Oh, jetzt kommt der coole Teil. Es spielt nicht einmal eine Rolle, wenn man den rechteckigen Ziegelstein durch einen kugelförmigen Ballon ersetzt. Die Auftriebskraft hängt immer noch nur von der Dichte der Luft und dem Volumen des Objekts ab. Warum also schwebt ein Heliumballon? Die einzige Besonderheit des Gases Helium besteht darin, dass es eine wesentlich geringere Dichte als Luft hat (mit einer Dichte von 0,179 kg/m3 für Helium und 1,2 kg/m3 für Luft). Das bedeutet, dass die Schwerkraft, die den Ballon nach unten zieht, geringer ist als die Auftriebskraft nach oben, und der Ballon würde schweben. Nur um das klarzustellen: Ein mit Wasser gefüllter Ballon und ein Heliumballon der gleichen Größe haben die gleiche Auftriebskraft. Es ist nur so, dass das Gewicht des wassergefüllten Ballons sehr groß ist.

Wie viele Ballons braucht man, um eine Person zu heben?

Ich sage nicht, dass man sich mit einem Haufen Ballons in die Luft heben soll, aber nehmen wir an, man will die Anzahl der Ballons, die man braucht, schätzen. Es wäre nicht allzu schwierig, das Luftvolumen zu berechnen, das dem Gewicht eines Menschen entspricht, und dann das benötigte Heliumvolumen zu ermitteln, aber dabei wird etwas sehr Wichtiges vernachlässigt – das Gummi im Ballon. Ja, er hat eine geringe Masse, aber er ist trotzdem wichtig. Nehmen wir an, ich habe einen allgemeinen kugelförmigen Ballon aus Gummi von beliebiger Dicke. Vielleicht sieht er so aus.

Dieser Ballon hat einen Radius R und eine Gummidicke t, und er ist mit Helium gefüllt. Ich muss die Masse (und damit das Gewicht) sowohl des Heliumgases als auch des Gummis finden. Ich nenne die Dichte des Heliums ρh und die Dichte des Gummis ρr. Das Gewicht des Heliums hängt vom Volumen des Ballons ab. Da es sich um eine Kugel handelt, wäre das Gewicht des Heliums:

Ja, ich habe hier das Volumen einer Kugel verwendet. Nun zum Gewicht des Gummis. Ich brauche das Volumen dieser dünnen Schale an der Außenseite des Ballons. Wenn die Dicke des Gummis im Vergleich zum Radius des Ballons klein ist (was in etwa zutrifft), dann kann ich das Volumen des Gummis als die Oberfläche der Kugel multipliziert mit der Dicke berechnen. Dies ergibt ein Gummigewicht von:

Es gibt diesen Parameter t im Gewicht des Gummis. Die Sache ist die, dass man ihn nicht so dünn machen kann, wie man will. Es gibt einen Grenzwert – sagen wir einfach, es ist ein konstanter Wert. Das heißt, das Gewicht des Gummis ist proportional zum Quadrat des Ballonradius, aber das Gewicht des Heliums ist proportional zum KUBUS des Radius. Helium hat eine viel geringere Dichte als Gummi, daher ist ein großes Helium-Gummi-Verhältnis wünschenswert, und das bedeutet, dass größere Ballons besser sind.

Wenn man einen Standard-Partyballon nimmt, hat er einen ziemlich kleinen Radius (sagen wir 10 cm), so dass man eine Menge Masse für das Gummi verschwendet. Wenn du aber einen viel größeren Ballon nimmst, wie bei Blaine’s Ascension Stunt, bekommst du ein viel besseres Helium-Gummi-Verhältnis.

OK, jetzt eine grobe Schätzung. Ich schätze hier nur, weil ich das so mache. Ich beginne mit einer Gummidichte von 1.000 kg/m3, was der Dichte von Wasser entspricht (nahe genug an Gummi). Für den Radius des Ballons nehme ich 0,75 Meter und eine Dicke von 0,2 mm an. Das bedeutet, dass die Nettohebekraft für einen Ballon betragen würde:

Ich weiß, dass das verrückt aussieht, aber das ist es nicht. Es ist nur das Gewicht der verdrängten Luft abzüglich des Gewichts von Helium und Gummi. Um nun die Anzahl der Ballons zu ermitteln, nehme ich einfach das Gewicht der Person (nehmen wir David Blaine plus andere Ausrüstung mit einer Masse von 100 kg) und teile es durch die Hubkraft für einen Ballon. Hier ist die Berechnung als Python-Skript (damit Sie die Werte ändern können).

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Oh, das ist nicht gut. 256 Luftballons sehen für eine YouTube-Show nicht gerade episch aus. Natürlich kann es sein, dass ich mit meiner Schätzung der Ballondicke völlig daneben liege – aber sieh dir an, was passiert, wenn ich den Radius auf 1,5 Meter ändere. Ich erhalte etwa 11 Ballons. Das scheint besser zu sein. Kurzer Hinweis: Die obige Berechnung ist tatsächlicher Code. Wenn du auf das Bleistiftsymbol klickst, kannst du meine geschätzten Werte sehen und sie nach Belieben ändern. Klicken Sie dann auf die Schaltfläche „Play“ und führen Sie die Berechnung aus.

Würde der Ballon ewig steigen?

Natürlich geht nichts ewig. Ein Ballon wird so lange in die Höhe steigen, wie die Auftriebskraft größer oder gleich der gesamten Gravitationskraft ist, die nach unten zieht. Das, was sich ändern wird, ist die Auftriebskraft. In größeren Höhen nimmt die Dichte der Luft ab. Da die Auftriebskraft gleich dem Gewicht der verdrängten Luft ist, nimmt sie ebenfalls ab.

Der Ballon wird also irgendwann eine Höhe erreichen, in der er sich im Gleichgewicht befindet, und nicht mehr weiter steigen. Das setzt natürlich voraus, dass auch das Volumen des Ballons konstant bleibt, was technisch nicht stimmt. In großer Höhe nimmt der atmosphärische Druck ab und übt weniger Druck auf den Ballon aus. Das bedeutet, dass das Helium im Inneren des Ballons das Gummi dehnen und ausdehnen kann und mehr Auftriebskraft erzeugt. Es kann aber auch sein, dass sich das Gummi irgendwann zu sehr dehnt und dann reißt. Das wäre schlecht, denn dann würde das ganze Helium entweichen und man hätte nur noch ein großes Stück Gummi. Das ist nicht sehr hilfreich.

Wie hoch ist die Beschleunigung beim Start?

Ich möchte eine Schätzung der vertikalen Beschleunigung zu Beginn des Aufstiegs erhalten. Es gibt keinen perfekten Kamerawinkel, aber ich kann seine Position in verschiedenen Frames des Videos grob schätzen (um die Zeit zu erhalten). Damit erhalte ich die folgende Darstellung der vertikalen Position als Funktion der Zeit.

Wenn ein Objekt eine konstante Beschleunigung hat, kann seine Position mit der folgenden kinematischen Gleichung bestimmt werden.

Wichtig ist hier, dass ich mit dieser Gleichung den Wert der vertikalen Beschleunigung finden kann. Wenn ich eine quadratische Gleichung an die Daten anpasse, muss der Koeffizient vor t2 gleich dem Term (½)a in dieser kinematischen Gleichung sein. Das bedeutet, dass ich die Anpassung verwenden kann, um die Beschleunigung zu ermitteln, und ich erhalte einen Wert von etwa 0,05 m/s2. Ja, ich habe hier einige Schritte ausgelassen, aber Sie können die fehlenden Teile als Hausaufgabe ausfüllen. Aber ist dieser Wert überhaupt so vernünftig?

Wie wäre es, wenn wir uns der Sache mit einer anderen Methode nähern? Nehmen wir an, Blaine befindet sich im Gleichgewicht mit einer Nettokraft von null Newton. Dann gibt er seiner Tochter ein kleines Gewicht von 1 Pfund in die Hand (4,4 Newton). Oh, da ist noch der zusätzliche Ballon, den seine Tochter hinzugefügt hat. Aber ich denke, für diese Schätzung können wir nur das übergebene Gewicht betrachten. Das bedeutet, dass sein Gewicht um 4,4 Newton abgenommen hat, so dass sich eine Nettokraft von 4,4 Newton nach oben ergibt. Nun kann ich das zweite Newtonsche Gesetz anwenden, das besagt:

Für die Masse brauche ich die Masse von Blaine UND den Ballons. Sagen wir, diese beträgt 110 kg. Bei einer Kraft von 4,4 Newton würde die vertikale Beschleunigung 0,04 m/s2 betragen. OK, das ist näher dran, als ich dachte. Ich nenne es einen Sieg.

David Blaine hat es geschafft, seinen Ballon auf eine Höhe von über 24.000 Fuß zu bringen UND er ist mit dem Fallschirm wieder auf den Boden gesprungen. Ich bin sicher, wir sind uns alle einig, dass auch das ein Sieg ist.

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