Calculemos'cuántos globos necesitaba David Blaine para flotar

A casi todo el mundo le gustan los globos, especialmente a los niños más pequeños. Los niños están construyendo poco a poco ideas sobre el funcionamiento del universo (a través de sus observaciones), y ya saben que cuando sueltas algo, se cae. Pero el globo lleno de helio rompe las reglas. Va hacia arriba. Parece mágico.

Las personas mayores siguen teniendo una fascinación oculta por estos globos. Cada uno de nosotros en algún momento ha considerado la pregunta: ¿Cuántos de estos necesitaría para levantarme del suelo? Pues bien, eso es exactamente lo que hizo David Blaine para su última hazaña, que llamó Ascensión. Utilizó un montón de grandes globos para elevarse hasta una altura de 24.000 pies. En ese momento, se desprendió de los globos y utilizó un paracaídas para volver a bajar.

Creo que la mejor parte del truco fue el lanzamiento inicial. El equipo preparó los globos de forma que hubiera un equilibrio casi perfecto entre la fuerza de flotación de los globos y la fuerza gravitatoria que tiraba de Blaine hacia abajo, de forma que éste flotó en su mayor parte justo por encima del suelo. (Sí que había algunas personas que se agarraban a él para asegurarse de que no se desviara hacia arriba y se alejara prematuramente). Luego, para que pudiera comenzar su viaje hacia arriba, su hija añadió un globo más, y él le entregó un peso que había estado sosteniendo. Es una forma muy chula de ascender.

Pero ahora las preguntas y respuestas.

¿Por qué flotan los globos de helio?

Los globos no flotan con magia. En cambio, es un resultado de la gravedad y la atmósfera. Sí, es cierto. Un globo no flotaría sin la gravedad.

Imaginemos la atmósfera como un montón de bolas, excepto que estas bolas son en realidad moléculas de nitrógeno en su mayoría junto con algo de oxígeno. Cada una de estas bolas se mueve con una velocidad media, y son arrastradas hacia abajo por la interacción gravitatoria con la tierra. Así que se puede pensar en estas bolas de gas como en una pelota de tenis lanzada a través de la habitación, excepto que son súper pequeñas. Oh, y hay un montón de estas bolas. Eso significa que interactúan con otras bolas de gas. Puedes pensar en estas interacciones como si fueran colisiones. Son todas estas colisiones entre bolas las que evitan que acaben en el suelo. También sería terriblemente incómodo si todo el aire se acumulara en el nivel más bajo, porque entonces no podrías respirar.

Cuando dos bolas de gas chocan, a veces una de las bolas se desvía hacia arriba, y a veces se desvía hacia los lados. Sin embargo, como también hay una interacción gravitatoria que tira de las bolas hacia abajo, hay más de ellas cerca del suelo. Por eso, la densidad del aire disminuye a medida que se asciende verticalmente. La densidad del aire cerca del suelo es de unos 1,2 kg/m3 y disminuye a unos 0,59 kg/m3 a una altura de 7.000 metros (cerca de 24.000 pies). Pero incluso a lo largo de una distancia desde la parte inferior de un globo hasta la parte superior, la densidad del aire cambia – sólo un poco.

Ahora vamos a poner un objeto en el aire. Voy a utilizar un ladrillo. Me gusta el ladrillo ya que claramente no flota en el aire, pero además tiene superficies planas para facilitar mi explicación. Como las bolitas de aire se mueven, algunas van a chocar con la superficie del ladrillo. Cuando una bola rebota en el ladrillo, da un pequeño empujón a ese ladrillo. La fuerza total sobre una superficie del ladrillo depende del área de este ladrillo y de la presión del aire. Sólo un recordatorio, la relación entre la fuerza y la presión se puede expresar como la siguiente ecuación, donde P es la presión, A es el área y F es la fuerza.

Entonces, si tienes una superficie grande y una presión pequeña, puedes obtener una fuerza grande. En esta expresión, la presión se debe a la atmósfera, es decir, a esas bolas de gas que se mueven y chocan con las cosas. Esta es la parte interesante. Como hay más bolas de gas cerca del suelo, la presión depende de la densidad del aire y, recuerda, la densidad depende de la altitud. Esto significa que la fuerza del aire que empuja en la parte superior del ladrillo es diferente de la fuerza en la parte inferior del ladrillo. Es mejor describir estas colisiones en términos de presión y modelar el cambio de presión con la siguiente ecuación.

En esta expresión, P0 es la presión en algún punto arbitrario donde y = 0 (en la dirección vertical), g es el campo gravitatorio (9,8 N/kg) y ρ es la densidad del aire. Por tanto, a medida que y aumenta, la presión disminuye. Nota: Esta relación lineal es sólo aproximadamente cierta. Cuando te alejas mucho de la superficie de la tierra, no funciona. Pero con esto, puedes ver que la fuerza del aire en la parte superior del ladrillo debe ser menor que la fuerza en la parte inferior del ladrillo.

Nota que las fuerzas que empujan en los lados izquierdo y derecho del ladrillo están a la misma altura. Esto significa que la fuerza neta en la dirección horizontal sería cero: se anulan. Pero la fuerza que empuja hacia arriba en el ladrillo (desde la parte inferior) es mayor que la fuerza que empuja hacia abajo, ya que la parte inferior del ladrillo está a una altitud menor, aunque sea un poco. Si el ladrillo tiene una altura h, entonces la fuerza total del aire en la dirección vertical sería:

Nota que me he saltado algunos pasos algebraicos, pero no es muy difícil ver cómo se resuelve. Pero, ¡espera! Si multiplico la altura del ladrillo (h) por el área del fondo (A), obtengo el volumen (V) del ladrillo. Luego, si multiplico el volumen del ladrillo por la densidad del aire (ρ), obtengo una masa: la masa del área con el mismo volumen que el ladrillo. Al multiplicar esa masa y el campo gravitatorio (g), obtengo el peso del aire desplazado por el ladrillo.

Boom. Este es el famoso principio de Arquímedes. Dice que cuando un objeto está en el agua, existe una fuerza de flotación hacia arriba sobre el objeto. El valor de esta fuerza de flotación es igual al peso del agua desplazada. Pero también funciona para el aire desplazado. Sí, existe una fuerza de flotación ascendente sobre el ladrillo. El ladrillo no flota como un globo porque también hay una fuerza gravitacional hacia abajo sobre el ladrillo, y esta fuerza hacia abajo es mucho mayor que la fuerza de flotación hacia arriba.

Oh, aquí está la parte genial. Ni siquiera importa si sustituyes el ladrillo rectangular por un globo esférico. La fuerza de flotación sigue dependiendo de la densidad del aire y del volumen del objeto. Entonces, ¿por qué flota un globo de helio? La única particularidad del gas helio es que tiene una densidad significativamente menor que la del aire (con una densidad de 0,179 kg/m3 para el helio y 1,2 kg/m3 para el aire). Esto significa que la fuerza gravitacional que tira hacia abajo del globo sería menor que la fuerza de flotación hacia arriba, y éste flotaría. Para que quede claro, un globo lleno de agua y un globo de helio del mismo tamaño tienen la misma fuerza de flotación. Lo que ocurre es que el peso del globo lleno de agua es enorme.

¿Cuántos globos necesitas para elevar a una persona?

No estoy diciendo que debas flotar tú mismo en el aire con un montón de globos, pero digamos que quieres calcular el número de globos que necesitarías. No sería muy difícil calcular el volumen de aire que tendría un peso igual al de un ser humano y luego encontrar el volumen de helio que necesitarías, pero eso deja de lado algo muy importante: la goma del globo. Sí, tiene una masa pequeña, pero sigue siendo importante. Digamos que tengo un globo esférico genérico hecho de goma de un grosor arbitrario. Quizá tenga este aspecto.

Este globo tiene un radio R con un espesor de goma t, y está lleno de helio. Necesito encontrar la masa (y por tanto el peso) tanto del gas helio como de la goma. Llamaré a la densidad del helio ρh y a la densidad de la goma ρr. El peso del helio depende del volumen del globo. Como es una esfera, el peso del helio sería:

Sí, ahí he utilizado el volumen de una esfera. Ahora para el peso de la goma. Necesito el volumen de esta cáscara delgada en el exterior del globo. Si el grosor de la goma es pequeño comparado con el radio del globo (lo que es aproximadamente cierto), entonces puedo calcular el volumen de la goma como la superficie de la esfera multiplicada por el grosor. Esto da un peso de la goma de:

Ahí está ese parámetro t en el peso de la goma. Este es el trato, no puedes hacer esto tan delgado como quieras. Hay algún límite, así que digamos que es un valor constante. Eso significa que el peso de la goma es proporcional al cuadrado del radio del globo, pero el peso del helio es proporcional al CUBO del radio. El helio tiene una densidad mucho menor que el caucho, por lo que se desea una gran proporción de helio por caucho, y eso significa que los globos más grandes son mejores.

Si tomas tu globo de fiesta estándar, tiene un radio bastante pequeño (digamos 10 cm) de tal manera que desperdicias mucha masa en el caucho. Sin embargo, si consigues un globo mucho más grande, como en la acrobacia de Blaine en la Ascensión, obtendrás una relación mucho mejor entre el helio y la goma.

Ok, ahora una estimación aproximada. Sólo estoy estimando cosas aquí, porque eso es lo que hago. Empezaré con una densidad del caucho de 1.000 kg/m3 que es la misma que la del agua (lo suficientemente cercana al caucho). Para el radio del globo, utilizaré 0,75 metros y un grosor de 0,2 mm. Eso significa que la fuerza neta de elevación para un globo sería:

Sé que parece una locura, pero no lo es. Es sólo el peso del aire desplazado menos el peso del helio y la goma. Ahora para encontrar el número de globos, simplemente tomo el peso de la persona (usemos a David Blaine más otro equipo con una masa de 100 kg) y lo divido por la fuerza de elevación para un globo. Aquí está el cálculo como un script de python (para que pueda cambiar los valores).

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Oh, eso no es bueno. 256 globos no va a quedar épico para un programa de YouTube. Por supuesto, podría estar totalmente equivocado en mi estimación del grosor de los globos, pero mira lo que pasa si cambio el radio a 1,5 metros. Obtengo unos 11 globos. Eso parece mejor. Nota rápida: Ese cálculo de arriba es código real. Si haces clic en el icono del lápiz, puedes ver mis valores estimados y cambiarlos por los que quieras. Luego haz clic en el botón Play y ejecútalo.

¿Podría el globo seguir subiendo eternamente?

Obviamente nada es eterno. Un globo seguirá aumentando de altura mientras la fuerza de elevación sea mayor o igual que la fuerza gravitatoria global que tira hacia abajo. Lo que va a cambiar es la fuerza de elevación. A mayor altura, la densidad del aire disminuye. Esto significa que, como la fuerza de flotación es igual al peso del aire desplazado, también disminuirá.

Así, el globo acabará alcanzando una altitud que lo ponga en equilibrio, y no subirá más. Por supuesto, esto supone que el volumen del globo también permanece constante, lo cual no es técnicamente cierto. A gran altura, la presión atmosférica disminuye y presiona menos el globo. Esto significa que el helio dentro del globo puede estirar la goma y expandirse y producir más fuerza de flotación. También es que, en algún momento, la goma se estirará demasiado y se romperá. Esto sería malo, ya que todo el helio se escaparía y sólo tendrías un gran trozo de goma. Eso no es muy útil.

¿Cuál es la aceleración en el despegue?

Quiero obtener una estimación de su aceleración vertical al comienzo del ascenso. No hay un ángulo de cámara perfecto, pero puedo estimar aproximadamente su posición en diferentes fotogramas del vídeo (para obtener el tiempo). Con eso, obtengo el siguiente gráfico de la posición vertical en función del tiempo.

Si un objeto tiene una aceleración constante, su posición se puede encontrar con la siguiente ecuación cinemática.

Lo importante aquí es que puedo utilizar esta ecuación para encontrar el valor de la aceleración vertical. Si ajusto una ecuación cuadrática a los datos, el coeficiente delante de t2 debe ser igual al término (½)a en esta ecuación cinemática. Eso significa que puedo usar el ajuste para encontrar la aceleración, y obtengo un valor de aproximadamente 0,05 m/s2. Sí, me he saltado algunos pasos, pero puedes completar las partes que faltan como tarea para casa. Pero, ¿es este valor siquiera tan razonable?

¿Qué tal si abordamos esto con otro método? Digamos que Blaine está en equilibrio con una fuerza neta de cero newtons. Entonces le da un pequeño peso de 1 libra a su hija (4,4 newtons). Ah, también está ese globo extra que su hija añadió. Pero creo que para esta estimación podemos considerar sólo el peso entregado. Eso significa que su peso disminuyó en 4,4 newtons para dar una fuerza neta hacia arriba de 4,4 newtons. Ahora, puedo usar la segunda ley de Newton que dice:

Para la masa, necesito la masa de Blaine Y de los globos. Digamos que esto es 110 kg. Con una fuerza de 4,4 Newtons, la aceleración vertical sería de 0,04 m/s2. OK, eso es realmente más cerca de lo que pensé que sería. Voy a llamarlo una victoria.

David Blaine consiguió con éxito que su globo alcanzara una altitud de más de 24.000 pies Y se lanzó en paracaídas hasta el suelo. Estoy seguro de que todos estamos de acuerdo en que eso también es una victoria.

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