Bisection

3.2 Approssimazione qualitativa con misure superiori e inferiori e indistinguibilità transitiva

La considerazione psicologica delle soglie inferiori, per le quali i giudizi percettivi o altri giudizi comparativi sono difficili, se non impossibili, fu iniziata da Fechner . Un’importante analisi matematica iniziale fu data da Wiener. Gran parte della letteratura moderna inizia con la definizione di Luce di un semi-ordine, che è stato assiomatizzato come una singola relazione binaria nel caso finito da Scott e Suppes. Alcuni dei contributi più significativi sono stati di Falmagne.

L’analisi probabilistica delle soglie risale almeno ai lavori di Thurstone. Falmagne è stato anche un contributo centrale a questo approccio, con una serie di altri articoli scritti con i colleghi: Falmagne e Iverson , Falmagne et al. e Iverson e Falmagne . Un’ampia rassegna di tutta questa letteratura è data in Suppes et al., .

Pressoché tutto il lavoro a cui si fa riferimento assume che l’indistinguibilità di eventi, oggetti o stimoli simili sia una relazione non transitiva. L’assunzione implicita è che con molte osservazioni discriminanti diverse, molti eventi inizialmente indistinguibili possono essere separati. Qui il contrario è il punto di partenza e la ragione per l’uso della parola “transitivo” nel titolo. È una conseguenza degli assiomi introdotti che l’indistinguibilità è una relazione di equivalenza, e quindi, transitiva. Il resto di questa sezione attinge a piene mani da Suppes .

Nella sezione precedente ho esaminato brevemente un’ampia misurazione incentrata sulla costruzione di una rappresentazione standard finita della scala dei rapporti. La base dell’indistinguibilità transitiva è ora facile da spiegare. Un oggetto pesato è assegnato a un unico intervallo minimo, per esempio, uno tra 1,9 g e 2,0 g. La relazione binaria di due oggetti, a e b, che non fanno parte della sequenza standard, essendo equivalenti nel peso, a ≈ b, è che siano assegnati allo stesso intervallo minimo nella sequenza standard. Questa relazione è ovviamente una relazione di equivalenza, cioè riflessiva, simmetrica e transitiva, ma nel sistema di approssimazione sviluppato, queste proprietà non sono direttamente testabili, ma piuttosto conseguenze di operazioni di pesatura con insiemi di pesi standard già “calibrati”.

Quindi, nella notazione usata in seguito, un oggetto assegnato all’intervallo minimo (1.9 g, 2,0 g) si dice che ha, per approssimazione, la misura superiore (di peso) w* (a) = 2,0 g e la misura inferiore w*(a) = 1,9 g. In pratica, per tutte le procedure di misurazione tranne le più raffinate, non si fa alcuna analisi statistica dell’avere peso in un tale intervallo minimo. Nei casi in cui l’intervallo minimo della sequenza standard è appena al limite delle prestazioni dello strumento, può essere data un’analisi statistica per misure ripetute.

La pratica ordinaria non è completamente in accordo con il mio uso di un intervallo minimo e quindi l’assegnazione di un limite superiore e uno inferiore come la misura approssimativa appropriata. Ma ciò che viene fatto è strettamente e semplicemente correlato. Come insegnato nei corsi di fisica elementare, per esprimere una misura come “accurata a 0,1 g”, per esempio, la misura è scritta come 1,9 ± 0,1 g. Ciò che viene solitamente raccomandato nella pratica è di usare due intervalli minimi adiacenti per ridurre l’incertezza e di esprimere la misura stessa come un singolo numero. Gli assiomi dati nella sezione 3 potrebbero essere facilmente modificati per accogliere questo uso di due intervalli minimi adiacenti piuttosto che uno solo.

Questa stessa notazione ± è anche ampiamente utilizzata per esprimere l’errore standard statistico di misure ripetute. È concettualmente importante qui mantenere entrambe le misure superiori e inferiori, perché la visione fondamentale formalizzata negli assiomi è che nessuna misura più fine di quella di un intervallo minimo è disponibile nelle circostanze date. E nessuna costruzione teorica di una distribuzione di probabilità per la posizione all’interno dell’intervallo minimo ha molto senso scientifico. Il punto che viene sottolineato è che la formalizzazione data è intesa come un passo più vicino a molta, ma certamente non tutta, la pratica reale della misurazione quando è disponibile una rappresentazione fissa su scala standard.

Per una questione di terminologia, ciò che ho chiamato una struttura estesa finita equidistante, potrebbe anche essere chiamata una struttura estesa finita a sequenza standard. La terminologia delle sequenze standard è familiare nella letteratura sui fondamenti della misurazione. Questo linguaggio suggerisce il termine utile di insiemi standard per gli insiemi di pesi che formano una sequenza standard.

Per l’uso successivo è importante notare che per due insiemi di pesi standard A e B, se non sono equivalenti in peso allora la minima differenza possibile tra loro è il peso di un insieme atomico. Più esattamente, la coppia ordinata di insiemi (A, B) è una coppia minima di insiemi standard se μ(A) – μ(B) = μ(un insieme atomico), cioè la loro differenza è effettivamente la minima per insiemi standard non equivalenti. Si noti che se (A, B) è una coppia minima, A ≥ B. L’equivalenza di tali coppie è una nozione utile da definire. Due coppie minime (A, B) e (A′, B′,) sono equivalenti se μ(A) = μ(A′) e μ(B) = μ(B′). Ecco tre osservazioni che sono pertinenti alle discussioni successive.

Assumendo ora una struttura estesa finita equidistante (detta anche sequenza standard finita), si danno assiomi aggiuntivi per misurare approssimativamente qualsiasi oggetto fisico nell’intervallo della sequenza standard. I concetti primitivi sono ora

Se (S1, S2) è una coppia minima e S1 ≥ W1 ≥ S2, allora (S1 S2) si dice che è una coppia minima per W1, e anche W1 si dice che ha una coppia minima.

Sono opportune alcune osservazioni su questi assiomi. L’assioma 1 porta solo la struttura degli insiemi standard nel quadro dell’approssimazione. L’assioma 2 non richiede alcuna sovrapposizione di oggetti tra quelli in S, tarati per gli insiemi standard, e quelli in W, gli oggetti da pesare. L’assioma 3 è l’unico assioma espresso puramente in termini di oggetti pesati, senza test utilizzando pesi standard. Il suo requisito di connessione di ≥ per W è familiare. Gli assiomi 4-11 formulano poi delle ipotesi testabili che sono sufficienti a giustificare la misura approssimativa dei pesi che rientrano nella gamma degli insiemi standard. Poiché entrambi gli insiemi S e W sono finiti, ogni assioma può essere testato direttamente su una bilancia a bracci uguali. L’assioma 4 fornisce la prova che W1 è strettamente più pesante di W2, cioè trovare un S1 tale che W1 ≥ S1 e S1 ≥ W2. L’assioma 5 stabilisce una condizione di transitività, per così dire, sulla relazione tra insiemi standard e insiemi o oggetti pesati. Se S1 è più pesante di W1 e W1 è più pesante di S2, allora deve essere il caso che S1 sia più pesante di S2. L’assioma 6 esclude che qualsiasi oggetto pesato W1 abbia esattamente lo stesso peso di qualsiasi insieme standard. Sono possibili forme più deboli di questo assioma, ma con la presenza di complicazioni nelle condizioni di prova. L’assioma è simile ai familiari assiomi di “scelta forzata” nella misurazione di credenze o azioni. L’assioma 7 richiede che qualsiasi oggetto pesato W1 sia più pesante di qualsiasi set minimo standard positivo S1. Questo assioma permette che una bilancia a braccia uguali o un dispositivo simile non sia sensibile a qualsiasi peso positivo più piccolo di un insieme standard minimo. L’assioma 8 è ovviamente la generalizzazione alla misurazione approssimata del solito assioma qualitativo dell’addizione esemplificato nell’assioma 2 della definizione 1. L’assioma 9 garantisce che, dati degli insiemi disgiunti W1 e W2 da pesare, si possono trovare degli insiemi standard disgiunti che sono minimi superiori, S1 per W1 e S1 per W2, che sono anche disgiunti. Questo non segue da altri assiomi, perché se W1 ∪ W2 = W, l’unione dei limiti minimi superiori disgiunti, S1 ∪ S1 può essere un insieme atomico standard più grande di un limite minimo superiore di W stesso, quindi S deve essere ampliato per coprire questo caso. Le possibilità sono esplicitate nel Teorema 12. L’assioma 10 è un test affinché W1 sia strettamente più pesante di W2, e il test è, ovviamente, relativo alla grossolanità degli insiemi standard. L’assioma 11 garantisce che ogni oggetto, o insieme di oggetti, da pesare rientri nell’intervallo degli insiemi standard avendo una coppia minima di insiemi standard, cioè un limite superiore minimo discreto e un limite inferiore massimo discreto tra gli insiemi standard.

Prima si enuncia un campione di teoremi elementari, con particolare attenzione alla transitività delle relazioni ≥ e ≈ tra insiemi di oggetti da pesare.

THEOREM 10. Se W1 ≈ W2 e W2 ≥ W3 allora W1 ≥ W3.

Il prossimo teorema mostra che la relazione di equivalenza ≈ per gli insiemi standard ha la proprietà di congruenza per ≥ sull’insieme S × W.

THEOREM 11. Se S1 ≈ S1 e S1 ≥ W1 allora S1 ≥ W1.

Il prossimo teorema afferma il criterio testabile per cui W1 e W2 sono indistinguibili.

TEOREMA 12. W1 ≈ W2 se e solo se W1 e W2 hanno coppie minime equivalenti.

Con metodi simili, possiamo dimostrare un risultato strettamente correlato.

Siamo ora in grado di affermare la transitività dell’indistinguibilità dei pesi.

THEOREM 14. Se W1 ≈ W2 e W2 ≈ W3 allora W1 ≈ W3.

L’importanza del prossimo teorema per determinare l’approssimazione che vale sotto l’addizione di due insiemi disgiunti W1 e W2 di oggetti da pesare è messa in evidenza nella discussione che segue il teorema.

Nel sommare il peso approssimativo di due collezioni di oggetti fisici, dal pesarli individualmente, il risultato approssimativo non ci permette di dedurre quale dei due disgiunti formulati nel Teorema 15 tiene. Questi due disgiunti descrivono due intervalli minimi adiacenti ma diversi. Ma c’è una caratteristica importante da notare. L’addizione non aumenta l’intervallo di approssimazione dopo l’aggiunta. Così, nel Teorema 15, quando ci vengono dati W1 e W2, senza ulteriori informazioni non sappiamo in quale intervallo minimo W1 ∪ W2 si trova, ma, come afferma la conclusione disgiuntiva dell’assioma, è solo uno dei due intervalli minimi adiacenti, e facendo il confronto empiricamente, possiamo determinare quale.

La clausola disgiuntiva (iii) del Teorema 15 e l’assunzione di esattezza, cioè, nessuna approssimazione, nella misurazione della sequenza standard stessa, segnano una differenza rispetto alle discussioni e ai risultati sull’approssimazione in diversi punti di Foundations of Measurement . Infatti, il concetto standard di una coppia (μ*, μ*) di misure superiori e inferiori, utili come misure di approssimazione, non è introdotto da nessuna parte nei tre volumi di Foundations of Measurement. La definizione di una tale coppia (μ*, μ*) segue nella forma quella data prima per una misura μ.

Il concetto di una coppia (μ*, μ*) di misure superiori e inferiori non è nuovo. Risale almeno all’uso delle misure interne ed esterne nell’analisi nella seconda parte del diciannovesimo secolo da Carathedory e altri. L’uso nella probabilità risale almeno a Koopman.

La rappresentazione della misura approssimativa è data esplicitamente in termini di misure superiori e inferiori. Il teorema 15, o qualcosa di approssimativamente equivalente, è necessario per stabilire le proprietà subadditive e superadditive delle misure superiori e inferiori. Queste proprietà sono formulate esplicitamente nella parte (v) del prossimo teorema.

Il confronto delle disuguaglianze della clausola (v) del teorema appena dimostrato con le due possibilità qualitative disgiuntive espresse nel teorema 15 suggerisce che si può dimostrare un limite più stretto, e questo è il caso. La disuguaglianza nella clausola (v) può essere ristretta a (v’) inserendo il termine μ*(W1) + μ* (W2) che è giustificato dal Teorema 15.

COROLLARIO 1.

(v′) μ*(W1) + μ*(W2) ≤ μ* (W1 ∪ W2) ≤ μ* (W1) + μ* (W2) ≤ μ* (W1 ∪ W2) ≤ μ* (W1) + μ* (W2).

Non ho dichiarato un risultato di invarianza per il Teorema 16, perché quello ovvio segue da questa parte del Teorema 1. Ma c’è un’altra considerazione correlata di maggiore interesse. L’intervallo minimo della sequenza standard finita S = (S, F, ≥) che fa parte di qualsiasi struttura di misura estensiva approssimata, come caratterizzata dalla definizione 11, fissa la precisione empirica qualitativa delle misure empiriche. Consideriamo ora una seconda sequenza standard finita T per misurare la stessa proprietà dei sottoinsiemi di W, e sia (T1, T′1) l’intervallo minimo di T. Allora, a differenza dell’accettazione convenzionale di un’unità di misura estensiva, nel caso della misura approssimata, abbiamo un confronto direttamente qualitativo della precisione dato dal rapporto empirico di (S1, S′1) con (T1, T′1). Per esempio, la “bilancia” che uso regolarmente per pesarmi ha un intervallo minimo di 0,25 lb, ma un’altra che uso meno spesso ha un intervallo minimo di 0,1 kg. Poiché 1 kg = 2,20 lb, il rapporto tra 0,25 lb e 0,1 kg è di .25/.22, cioè, con due decimali, 1,14. Quindi la sequenza standard calibrata nel sistema metrico è leggermente più precisa, anche se entrambe le “scale” forniscono intervalli minimi oltre la precisione ordinariamente osservata o registrata per la maggior parte degli scopi. Qualsiasi ulteriore perfezionamento dell’una o dell’altra è di scarso o nessun interesse per lo scopo di misurare il peso corporeo.

Esempi simili sono facilmente forniti per la misurazione della lunghezza usando diverse sequenze standard finite. Inoltre, la teoria approssimativa qui sviluppata in termini di misure superiori e inferiori può essere facilmente estesa con gli stessi metodi alla misura della differenza, alla misura della bisezione e alla misura congiunta, e con un po’ più di difficoltà a diverse dimensioni, per esempio, alla geometria affine o euclidea. Non sorprende che le applicazioni delle misure superiori e inferiori siano state maggiormente applicate alla misurazione approssimativa della probabilità soggettiva. Una revisione e un’analisi completa è data da Walley . Il mio contributo precedente, Suppes , usa le probabilità superiori e inferiori, ma con indistinguibilità non transitiva.

L’attenzione qui è stata posta sulla misurazione approssimativa, ma una teoria molto diversa delle probabilità superiori e inferiori può essere derivata da una generalizzazione diretta della teoria degli insiemi dalle variabili casuali come funzioni casuali alle relazioni casuali. Un’indicazione della differenza teorica è che le misure superiori e inferiori derivate dalle relazioni casuali da Suppes e Zanotti sono capacità di ordine infinito nel senso di Choquet. Al contrario, le misure superiori e inferiori qui considerate per la misurazione approssimata non sono nemmeno capacità di ordine due. Chiaramente, il senso di approssimazione introdotto qui e in Suppes non è in alcun senso l’unica possibilità.