La congettura dei primi gemelli, conosciuta anche come congettura di Polignac, nella teoria dei numeri, afferma che ci sono infiniti primi gemelli, o coppie di primi che differiscono di 2. Per esempio, 3 e 5, 5 e 7, 11 e 13, e 17 e 19 sono primi gemelli. Man mano che i numeri diventano più grandi, i primi diventano meno frequenti e i primi gemelli ancora più rari.
La prima affermazione della congettura dei primi gemelli fu data nel 1846 dal matematico francese Alphonse de Polignac, che scrisse che qualsiasi numero pari può essere espresso in infiniti modi come la differenza tra due primi consecutivi. Quando il numero pari è 2, questa è la congettura del primo gemello; cioè, 2 = 5 – 3 = 7 – 5 = 13 – 11 = …. (Anche se la congettura è talvolta chiamata la congettura dei numeri primi gemelli di Euclide, egli diede la più antica prova conosciuta dell’esistenza di un numero infinito di numeri primi, ma non congetturò che ci fosse un numero infinito di numeri primi gemelli). Pochi progressi furono fatti su questa congettura fino al 1919, quando il matematico norvegese Viggo Brun dimostrò che la somma dei reciproci dei primi gemelli converge ad una somma, ora nota come costante di Brun. (Al contrario, la somma dei reciproci dei numeri primi diverge all’infinito). La costante di Brun è stata calcolata nel 1976 come circa 1,90216054 usando i numeri primi gemelli fino a 100 miliardi. Nel 1994 il matematico americano Thomas Nicely stava usando un personal computer dotato dell’allora nuovo chip Pentium della Intel Corporation quando scoprì un difetto nel chip che produceva risultati incoerenti nei suoi calcoli della costante di Brun. La pubblicità negativa da parte della comunità matematica portò Intel ad offrire gratuitamente chip sostitutivi che erano stati modificati per correggere il problema. Nel 2010 Nicely ha dato un valore per la costante di Brun di 1,902160583209 ± 0,000000000781 basato su tutti i primati gemelli inferiori a 2 × 1016.
La successiva grande svolta si è verificata nel 2003, quando il matematico americano Daniel Goldston e il matematico turco Cem Yildirim hanno pubblicato un documento, “Small Gaps Between Primes”, che ha stabilito l’esistenza di un numero infinito di coppie di primi entro una piccola differenza (16, con alcune altre ipotesi, in particolare quella della congettura di Elliott-Halberstam). Anche se la loro prova era imperfetta, l’hanno corretta con il matematico ungherese János Pintz nel 2005. Il matematico americano Yitang Zhang ha costruito sul loro lavoro per dimostrare nel 2013 che, senza alcuna ipotesi, esiste un numero infinito che differisce di 70 milioni. Questo limite è stato migliorato a 246 nel 2014, e assumendo la congettura di Elliott-Halberstam o una forma generalizzata di quella congettura, la differenza era 12 e 6, rispettivamente. Queste tecniche possono consentire progressi sull’ipotesi di Riemann, che è collegata al teorema dei numeri primi (una formula che dà un’approssimazione del numero di primi inferiori a qualsiasi valore dato). Vedi anche Problema del millennio.