Il mondo della matematica offre numerosi tipi di numeri, ognuno con le sue proprietà particolari. I matematici formulano teorie sulle relazioni tra numeri e gruppi di numeri. Sostengono le loro teorie con assiomi (affermazioni stabilite in precedenza che si presume siano vere) e teoremi (affermazioni basate su altri teoremi o assiomi).
Il primo passo nella costruzione di una nuova e brillante teoria matematica, tuttavia, è porre una domanda teorica sulle relazioni tra numeri. Per esempio, la somma di due cubi può essere un cubo? Ricordate le triple pitagoriche della pagina precedente? Queste terne di tre numeri, come (3, 4, 5), risolvono l’equazione a2 + b2 = c2. Ma che dire di a3 + b3 = c3? Il matematico Pierre de Fermat si pose la stessa domanda sui cubi e, nel 1637, affermò di aver elaborato una prova matematica che, linea dopo linea di logica minuziosa, dimostrava oltre ogni dubbio che no, la somma di due cubi non può essere un cubo. Lo chiamiamo l’ultimo teorema di Fermat. Sfortunatamente, invece di fornire la prova completa nei suoi appunti, Fermat scrisse semplicemente: “Ho una dimostrazione veramente meravigliosa di questa proposizione che questo margine è troppo stretto per contenere”.
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Sono seguiti più di tre secoli e mezzo durante i quali i matematici di tutto il mondo hanno cercato invano di riscoprire la prova di Fermat. Cosa c’era in questa ricerca? Niente, tranne l’orgoglio accademico e l’amore per la matematica pura e astratta. Poi nel 1993, con l’aiuto della matematica computazionale non scoperta ai tempi di Fermat, il matematico inglese Andrew Wiles è riuscito a dimostrare il teorema di 356 anni fa. Gli esperti continuano a discutere se Fermat abbia davvero elaborato una prova così fenomenale nella sua epoca pre-computer, o se si sia sbagliato.
Altre questioni nella teoria dei numeri riguardano vari modelli percepiti o teorici nei numeri o gruppi di numeri. Tutto inizia con l’aspetto più cruciale del pensiero intelligente: il riconoscimento dei modelli. Il professore di matematica della Brown University Joseph H. Silverman descrive cinque passi fondamentali nella teoria dei numeri:
- Accumulare dati matematici o astratti.
- Esaminare i dati e cercare modelli o relazioni.
- Formulare una congettura (tipicamente sotto forma di equazione) per spiegare questi modelli o relazioni.
- Testare la congettura con dati aggiuntivi.
- Elabora una prova che dimostri che la congettura è corretta. La dimostrazione dovrebbe iniziare con fatti noti e finire con il risultato desiderato.
L’ultimo teorema di Fermat, quindi, è stato davvero una congettura per 356 anni ed è diventato un vero teorema solo nel 1993. Altri, come la Prova di Euclide dei numeri primi infiniti (che dimostra che i numeri primi sono illimitati), è rimasta un solido modello di ragionamento matematico dal 300 a.C. Altre congetture sulla teoria dei numeri, vecchie e nuove, rimangono ancora non dimostrate.
I numeri sono infiniti come la comprensione umana è finita, quindi la teoria dei numeri e i suoi vari sottocampi continueranno ad affascinare la mente degli amanti della matematica per secoli. I vecchi problemi possono cadere, ma nuove e più complicate congetture sorgeranno.
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