Joseph-Louis Lagrange è un gigante della storia della matematica. Ha dato importanti contributi allo sviluppo della fisica, della meccanica celeste, del calcolo, dell’algebra, della teoria dei numeri e della teoria dei gruppi. Fu in gran parte autodidatta e non ottenne una laurea.
Fascinato dai massimi e minimi delle funzioni, Lagrange fu il principale fondatore del calcolo delle variazioni.
In una profonda riformulazione delle leggi di Isaac Newton, Lagrange creò una nuova brillante visione della meccanica. Lo fece usando il calcolo delle variazioni per rivelare le ampie implicazioni di un singolo principio fisico, il lavoro virtuale. Uno dei risultati fu la funzione lagrangiana, indispensabile nella fisica avanzata, calcolata sottraendo l’energia potenziale dall’energia cinetica.
La visione di Lagrange era basata interamente sull’algebra e sul calcolo. Credeva che questo fosse più matematicamente rigoroso delle idee intuitive generate dalla geometria. Riteneva che i suoi metodi posizionassero la meccanica nel regno della matematica pura.
Nella meccanica celeste Lagrange scoprì i punti lagrangiani, amati sia dagli scrittori di fantascienza che dai progettisti di osservatori e stazioni spaziali.
Lagrange ci ha dato la notazione familiare f′(x) per rappresentare la derivata di una funzione, f′′(x) una derivata seconda, ecc, e infatti è stato lui a darci la parola derivata.
Risultati e punti chiave
Joseph-Louis Lagrange era un prolifico matematico e fisico autodidatta. Alcuni dei suoi principali risultati sono:
Lagrange:
- Si basò sul lavoro precedente di Leonhard Euler per creare il calcolo delle variazioni – lo chiamò il suo “metodo delle variazioni”
- Introdusse la notazione ∂ e creò le prime equazioni differenziali parziali.
- Fece la dichiarazione più generalizzata del principio di minima azione della sua epoca.
- Creò un campo completamente nuovo della meccanica, la meccanica lagrangiana, sia per i solidi che per i fluidi, basata sul concetto di lavoro virtuale e utilizzando la funzione lagrangiana.
- Introdusse il concetto di coordinate generalizzate. La meccanica lagrangiana può essere usata in qualsiasi sistema di coordinate – i problemi vengono semplificati scegliendone uno appropriato.
- Ha creato il concetto di potenziale: il campo gravitazionale, per esempio, è un campo potenziale.
- Ha scoperto le orbite lagrangiane.
- Ha risolto problemi secolari nella teoria dei numeri posti da Fermat che avevano sconfitto altri matematici.
- Fondatore della teoria dei gruppi.
- Giocò un ruolo chiave nella creazione del sistema metrico di pesi e misure.
Elementi
Joseph-Louis Lagrange nacque in una famiglia benestante (i suoi padrini erano aristocratici) nella città italiana di Torino, Piemonte, il 25 gennaio 1736.
Alla nascita il suo nome era Giuseppe Lodovico Lagrangia. La forma francese del suo nome è di solito usata perché scrisse molti dei suoi articoli in francese e, nell’ultima parte della sua vita, si stabilì a Parigi.
Quando era adolescente in Italia, Giuseppe cominciò a chiamarsi Lagrange. Aveva antenati francesi da entrambi i lati della sua famiglia, cosa di cui sembra essere stato orgoglioso, anche se si è sempre considerato piemontese piuttosto che francese. Dopo molti anni a Parigi mantenne il suo forte accento italiano.
Giuseppe prese il nome di suo padre, Giuseppe Francesco Lodovico Lagrangia, tesoriere del re, responsabile delle fortificazioni e delle infrastrutture di Torino. La madre di Giuseppe era Maria Teresa Grosso, figlia di un eminente medico. Giuseppe era il maggiore dei loro 11 figli, solo due dei quali sopravvissero all’infanzia.
Educazione
Nel 1750, all’età di 14 anni, Giuseppe divenne studente all’Università di Torino. Annoiato dalla geometria di Euclide e Archimede, non aveva alcun interesse nello studio della matematica.
Prevedeva di seguire le orme del padre e studiare legge. Suo padre, tuttavia, aveva avuto problemi finanziari per aver speculato incautamente.
L’interesse di Giuseppe per la matematica si accese quando lesse un articolo scritto nel secolo precedente da Edmund Halley in cui Halley usava equazioni algebriche per descrivere le prestazioni ottiche delle lenti. In contrasto con la geometria, qualcosa dell’algebra di Halley lo affascinò.
Si allontanò dal diritto e cominciò a frequentare lezioni di matematica e fisica. Anche se gli piacevano, furono i libri all’avanguardia di matematici come Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, Colin Maclaurin e Jean d’Alembert che lo catapultarono in avanti ad un ritmo quasi miracoloso.
Lagrange non dormì molto. Prese l’abitudine di tenersi sveglio per lunghe ore di lavoro con l’aiuto di tè e caffè.
Il concetto di matematica di Lagrange
René Descartes e Pierre de Fermat avevano dimostrato che la geometria e l’algebra sono intercambiabili. Il legame era stato a lungo sospettato. Nell’undicesimo secolo, Omar Khayyam aveva scritto:
“Chiunque pensi che l’algebra sia un trucco per ottenere incognite ha pensato invano. Non si deve prestare attenzione al fatto che l’algebra e la geometria sono diverse in apparenza. Le algebre sono fatti geometrici che sono dimostrati dalle proposizioni 5 e 6 del libro 2 degli Elementi di Euclide.”
Isaac Newton aveva prodotto il suo famoso sistema del mondo nei Principia basandosi su idee geometriche.
Lagrange crebbe sempre più nella convinzione che ulteriori progressi nella meccanica sarebbero stati inibiti dalla geometria. Favorì l’analisi – un approccio interamente algebrico al calcolo.
“I grandi maestri dell’analisi moderna sono Lagrange, Laplace e Gauss, che erano contemporanei… Lagrange è perfetto sia nella forma che nella materia, è attento a spiegare la sua procedura, e sebbene i suoi argomenti siano generali sono facili da seguire. Laplace invece non spiega nulla… Gauss è esatto ed elegante come Lagrange, ma ancora più difficile da seguire di Laplace…”
Matematico principiante
Nel 1754, a 18 anni, Joseph Lagrange pubblicò la sua prima opera matematica: Lettera a Giulio Carlo da Fagnano. In essa descrive la sua scoperta che l’espansione binomiale e la formula del differenziale di un prodotto hanno coefficienti identici.
Questo non era un nuovo risultato, anche se all’inizio lui pensava che lo fosse.
La vita di Lagrange nel contesto
La vita di Joseph Lagrange e le vite di matematici collegati.
L’opera di Joseph-Louis Lagrange
Calcolo delle variazioni
Nell’agosto del 1755, all’età di 19 anni, Lagrange inviò un documento al più grande matematico vivente del mondo, Leonhard Euler. Descriveva il suo nuovo metodo per trovare i massimi e i minimi delle funzioni, un brillante balzo in avanti nel calcolo. Nel settembre 1755, Euler rispose esprimendo la sua grande ammirazione per il lavoro di Lagrange.
Pochi giorni dopo, a Lagrange fu offerto e accettato un lavoro come assistente professore di matematica in una scuola di artiglieria a Torino – la Reale Accademia Militare. Lasciò l’Università di Torino senza una laurea e cominciò a insegnare calcolo &meccanico. I suoi studenti erano tutti più grandi di lui e lui non era il migliore degli insegnanti – era piuttosto timido e le sue lezioni erano troppo avanzate per i suoi studenti.
La successiva corrispondenza tra Lagrange ed Euler portò ad una nuova branca della matematica – il calcolo delle variazioni.
Euler fu così colpito dall’importanza del lavoro di Lagrange che propose al giovane torinese di essere eletto come membro straniero dell’Accademia di Berlino. Lagrange fu debitamente eletto il 2 settembre 1756, all’età di 20 anni.
Lagrange ha sempre creduto che la fondazione del calcolo delle variazioni fosse il suo lavoro più grande. Lo consacrò, ancora adolescente, come uno dei più grandi matematici del XVIII secolo.
Hilbert e il calcolo delle variazioni
David Hilbert
Nel 1900, 145 anni dopo che Lagrange aveva creato il calcolo delle variazioni, esso rimaneva uno dei campi più importanti della matematica. Quando David Hilbert pose i suoi famosi 23 problemi ai matematici del mondo, tre di essi riguardavano il calcolo delle variazioni:
- Problema 19: Le soluzioni dei problemi regolari nel calcolo delle variazioni sono sempre necessariamente analitiche? Questo è stato risolto da Ennio de Giorgi e John F. Nash. La risposta è sì.
- Problema 20: Tutti i problemi variazionali con certe condizioni al contorno hanno soluzioni? Questo ha generato un’enorme quantità di lavoro svolto da un gran numero di matematici. La risposta è sì.
- Problema 23: È necessario un ulteriore sviluppo del calcolo delle variazioni. Questo è un problema che, come riconosceva Hilbert, non ha una soluzione definitiva. Tuttavia, egli considerò il campo così vitale per il futuro della matematica che fu felice di farne il suo ultimo problema.
Una visione
Lagrange aveva grandi idee. All’età di 20 anni, la sua visione era di unire tutta la meccanica usando un solo principio fondamentale:
“Dedurrò la meccanica completa dei corpi solidi e fluidi usando il principio della minima azione”.
Lagrange raggiunse finalmente il suo obiettivo negli anni 1780, descrivendo il suo successo nella Meccanica Analitica nel 1788. Il singolo principio unificante si rivelò essere il lavoro virtuale piuttosto che la minima azione. Usò per la prima volta il lavoro virtuale nel 1763 in un articolo che discuteva la librazione della luna.
Fondazione dell’Accademia delle Scienze di Torino
Lagrange era stufo degli atteggiamenti scientifici soffocanti a Torino. Nel 1757, si riunì con altri due ex studenti per formare la Società Privata di Torino. Lo scopo della Società era quello di coltivare la ricerca scientifica alla maniera delle Accademie delle Scienze francesi e di Berlino.
Nel 1759, la nuova società iniziò a pubblicare una propria rivista in francese e latino: Mélanges de Philosophie et de Mathématique – Miscellanea di Filosofia e Matematica.
Nel 1783, con l’appoggio del Re, la società divenne la Reale Accademia delle Scienze di Torino.
Muoversi oltre Newton
Lagrange iniziò a pubblicare i suoi articoli nella rivista della società. In molti applicò il suo nuovo calcolo delle variazioni al mondo fisico per scoprire nuovi risultati e gettare nuova luce sui fenomeni. I suoi articoli di questo periodo appaiono in tre volumi storici, tutti contenenti una varietà di articoli innovativi, tra cui:
- La teoria della propagazione del suono, compresa la prima descrizione matematica completa di una corda che vibra come un’onda trasversale. Inoltre, il primo uso del calcolo differenziale nella teoria della probabilità.
- La teoria e la notazione del calcolo delle variazioni, soluzioni a problemi di dinamica, e deduzione del principio di minima azione.
- Soluzioni a più problemi di dinamica, il primo uso della funzione lagrangiana, equazioni differenziali generali che descrivono tre corpi reciprocamente attratti dalla gravità, l’integrazione di equazioni differenziali, e la soluzione di un problema vecchio di secoli che Pierre de Fermat aveva posto nella teoria dei numeri.
Blocco di marea &Librazione della Luna
Nel 1764, Lagrange vinse il premio dell’Accademia Francese delle Scienze per il suo studio che descriveva perché vediamo solo una faccia della luna e perché osserviamo la librazione. La librazione è un’apparente oscillazione e dondolio della luna causato da effetti orbitali che ci permette di vedere più della sua superficie di quanto ci si potrebbe aspettare. Come risultato della librazione della luna, quando la osserviamo per un periodo di tempo, possiamo effettivamente vedere circa il 59% della sua superficie piuttosto che il 50% che potremmo inizialmente aspettarci.
Lagrange vinse il premio anche perché usò per la prima volta il principio del lavoro virtuale: più tardi usò questo principio come fondamento della meccanica lagrangiana.
Le lune di Giove
Nel 1766, Lagrange vinse nuovamente il premio dell’Accademia Francese delle Scienze, questa volta per la sua spiegazione delle orbite delle lune di Giove.
Gli anni di Berlino: 1766-1786
A 30 anni, Lagrange si trasferì a Berlino, sostituendo Eulero come direttore di matematica all’Accademia Prussiana delle Scienze. L’Accademia aveva cercato di attirarlo da quando aveva 19 anni, ma lui aveva rifiutato perché sentiva che sarebbe stato all’ombra di Eulero.
I 20 anni che Lagrange trascorse a Berlino furono i suoi più produttivi. Anche se a volte dovette interrompere il lavoro a causa della malattia, quando la sua salute era buona, pubblicò articoli originali e di valore al ritmo di circa uno al mese. La maggior parte fu pubblicata dall’Accademia di Berlino, mentre altri apparvero in altri due volumi di Mélanges de Philosophie et de Mathématique.
Equazioni differenziali parziali
Negli anni 1770 e nella prima metà degli anni 1780, la produzione di Lagrange sulle equazioni differenziali fu prodigiosa e portò alla creazione della matematica delle equazioni differenziali parziali. Descrivono la relazione tra una quantità fisica, come la velocità, e il suo tasso di cambiamento.
Le equazioni differenziali ordinarie descrivono una singola quantità che cambia, come la velocità.
Un grafico di densità di probabilità per un elettrone nell’orbitale elettronico 2p di un atomo di idrogeno. Il grafico è costruito dalla soluzione dell’equazione di Schrödinger – un’equazione differenziale parziale.
Lagrange ha creato equazioni differenziali parziali per descrivere situazioni più complicate in cui più di una quantità sta cambiando – in gergo matematico, le equazioni differenziali parziali descrivono una funzione di più variabili che cambiano.
Per esempio, l’equazione di Schrödinger è una ben nota equazione differenziale parziale in meccanica quantistica la cui soluzione permette di dedurre orbitali di elettroni. Questi orbitali descrivono il volume entro il quale ci aspettiamo di trovare un elettrone in un atomo.
Teoria dei gruppi &Simmetria
Il teorema di Langrange, che risale al 1771, è che l’ordine di un sottogruppo deve sempre dividere esattamente l’ordine del gruppo. Questo fu uno dei primi passi nella teoria dei gruppi.
Punti lagrangiani
Nel 1772, Lagrange tornò su un problema che lo aveva incuriosito: il problema dei tre corpi nella gravità. Il suo trattato sull’argomento, Essai sur le Problème des Trois Corps, lo portò a vincere nuovamente il premio dell’Accademia Francese delle Scienze.
Ha considerato una situazione in cui ci sono due oggetti di massa relativamente alta, come la terra e il sole, che orbitano intorno a un reciproco centro di gravità. Ha calcolato il potenziale gravitazionale per questo tipo di situazione, riassunto nella mappa di contorno qui sotto.
Mappa di contorno del potenziale gravitazionale per il sistema terra-sole, che mostra i cinque punti lagrangiani: L1, L2, L3, L4, L5.
Dove le linee di contorno sono vicine, il potenziale gravitazionale è alto. Allo stesso modo, dove le linee sono più lontane, il potenziale gravitazionale è più basso.
Lagrange ha identificato cinque punti di equilibrio, i punti lagrangiani L1, L2, L3, L4 e L5. Gli oggetti in questi punti mantengono la loro posizione rispetto alle due masse più grandi. (Eulero identificò i punti L1, L2 e L3, qualche anno prima, in un’analisi meno approfondita.)
Oggi il satellite della NASA Solar and Heliospheric Observatory si trova nel punto L1 terra-sole, permettendo di osservare il sole senza interruzioni da una piattaforma stabile.
Il telescopio spaziale James Webb, successore del telescopio spaziale Hubble, dovrebbe essere posizionato nel punto terra-sole L2 nel 2020.
Meccanica Lagrangiana
Lagrange completò il suo capolavoro, la Meccanica Analitica, a Berlino nei primi anni 1780. Ci vorranno diversi anni prima che trovi un editore.
“Ho quasi completato un libro sulla meccanica analitica fondato unicamente sul principio . Ma poiché non ho ancora idea di dove e quando potrà essere pubblicato, non ho fretta di finirlo”.
Lagrange era orgoglioso che il suo libro non contenesse diagrammi: considerava la meccanica una branca della matematica pura – una geometria di quattro dimensioni – tre di spazio, una di tempo. Credeva che si sarebbero trovate maggiori verità nel rigore dell’algebra e del calcolo fusi nell’analisi piuttosto che in quello che vedeva come un pensiero intuitivo rappresentato in diagrammi. Era orgoglioso di aver rimosso la meccanica dalla provincia della geometria e di averla posta saldamente nel dominio dell’analisi.
Lagrange elaborò tutto a partire da un unico principio fondamentale: il lavoro virtuale. Partendo da questo principio, al quale applicò il calcolo delle variazioni, produsse la funzione lagrangiana in coordinate generalizzate, permettendo di affrontare un gran numero di problemi della meccanica da una nuova direzione e di risolvere problemi precedentemente insolubili.
La meccanica lagrangiana portò a una comprensione più profonda del mondo fisico. Per esempio, più di 150 anni dopo che Lagrange scrisse la Meccanica Analitica, l’articolo di Paul Dirac La Lagrangiana nella Meccanica Quantistica portò Richard Feynman a una formulazione completamente nuova della meccanica quantistica, poi agli integrali di percorso, e infine alla soluzione completa dell’elettrodinamica quantistica che descrisse come “il gioiello della fisica”.
Gli anni di Parigi: 1786-1813
Anche se Lagrange scrisse il suo capolavoro Meccanica Analitica, a Berlino, non fu pubblicato fino al 1788, dopo che si era trasferito a Parigi su invito dell’Accademia Francese delle Scienze.
Nei suoi primi anni a Parigi, Lagrange fu sopraffatto dalla depressione e da una mancanza di energia – trovò che nulla poteva tenere il suo interesse. Due cose lo aiutarono ad uscire dal suo letargo: il suo matrimonio del 1792 con una giovane moglie comprensiva e la nomina a presidente della commissione pesi e misure nel 1793.
Sopravvivere al Terrore
Il Regno del Terrore della Rivoluzione Francese iniziò nel 1793. Lagrange è sopravvissuto. Il fatto che fosse straniero lo aiutò. Inoltre, era mite e faceva sempre del suo meglio per evitare discussioni e politica.
Antoine Lavoisier, membro della commissione pesi e misure e fondatore della chimica moderna, non fu così fortunato: perse la testa nel 1794. Lagrange rimase sconvolto dal destino di Lavoisier, commentando:
“È bastato un attimo perché la sua testa cadesse, eppure non basterebbero cento anni per riprodurne l’eguale”.
Il sistema metrico
Lagrange sostenne fortemente l’adozione del chilogrammo e del metro. Questi furono accettati dalla commissione nel 1799.
Ècole Polytechnique
Nel 1794, la Ècole Polytechnique aprì a Parigi, con Lagrange, ormai 58enne, nominato professore di matematica. Le sue lezioni furono apprezzate dagli altri professori. Tutti, tranne gli studenti più abili, però, le trovavano troppo difficili. Questa situazione era simile a quella di molti anni prima quando, da adolescente, teneva lezioni a Torino.
Sophie Germain, esclusa dal Polytechnique perché donna, ottenne gli appunti delle lezioni di Analisi di Lagrange e ne fu entusiasta: erano i migliori appunti di matematica che avesse visto. Lagrange venne a conoscenza del talento matematico di Germain, le fece visita e diffuse la notizia della sua genialità.
La famiglia e la fine
Nel 1767, a 31 anni, Lagrange sposò sua cugina Vittoria Conti. Non voleva figli e i due erano comodi compagni – si conoscevano da tempo. Nessuno dei due godeva di buona salute e Vittoria era spesso malata. Morì nel 1783 dopo 16 anni di matrimonio. Lagrange si addolorò profondamente per lei e divenne depresso.
A Parigi, nel 1792, il 24enne Renée-Françoise-Adélaide Le Monnier si dedicò a Lagrange, che aveva 56 anni. Lo conobbe attraverso suo padre, l’astronomo Pierre Charles Le Monnier. Renée era dispiaciuta per Lagrange – era un uomo brillante che sembrava aver perso il suo appetito per la vita; sembrava essere insolitamente triste e stanco del mondo. Renée decise di sposarlo e si oppose fermamente a tutte le obiezioni. I due si sposarono e fu un’unione felice per entrambi. Non ebbero figli.
Nel 1802, Lagrange divenne cittadino francese.
Lagrange frequentava regolarmente la messa cattolica romana, anche se per il resto sembra aver detto poco della sua religione.
Joseph-Louis Lagrange morì, a 77 anni, il 10 aprile 1813 a Parigi. Sopravvissuto alla moglie Renée, fu sepolto nel Panthéon, l’ultima dimora di molte persone eminenti tra cui Voltaire, Victor Hugo, Lazare Carnot, Marcellin Berthelot, Paul Langevin e Pierre & Marie Curie.
Quando la Torre Eiffel fu inaugurata nel 1889, Lagrange fu uno dei 72 scienziati, ingegneri e matematici francesi i cui nomi furono incisi sulle targhe della torre.
“Tutte le sue composizioni matematiche sono notevoli per una singolare eleganza, per la simmetria delle forme e la generalità dei metodi, e se si può parlare così, per la perfezione dello stile analitico.”
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Altre letture
W. W. Rouse Ball
A Short Account of The History of Mathematics
MacMillan and Co. Limited, London, 1940
Craig Fraser
J. L. Lagrange’s Early Contributions to the Principles and Methods of Mechanics
Archivio di Storia delle Scienze Esatte, Vol. 28, pp. 197-241, 1983
Judith V. Grabiner
Una storica guarda indietro: The Calculus as Algebra and Selected Writings
The Mathematical Association of America, Oct 2010
J.L. Lagrange
Meccanica analitica: Tradotto e curato da Auguste Boissonnade e Victor N. Vagliente
Springer Science & Business Media, Apr 2013