Ho cercato di trovare qualche bel film sulla matematica recentemente e ho trovato “Good Will Hunting”. È un vecchio film (1997), ma anche se ne ho sentito parlare molto non l’ho mai visto. Così, ho pensato che è il momento di fare un tentativo. Il film segue un operaio ventenne Will Hunting, un genio non riconosciuto che, come parte di un accordo di rinvio dell’azione penale dopo aver aggredito un agente di polizia, diventa cliente di un terapista e studia matematica avanzata con un rinomato professore.
Il film è incredibile e l’ho amato. Si può vedere come Will rivaluta le sue relazioni con le persone intorno a lui e come affronta il suo passato e decide del suo futuro. Raccomando assolutamente questo film. In questo post non voglio parlare della parte sentimentale, ma voglio menzionare alcune interessanti matematiche che vi appaiono.
Il problema di cui parlo è quello che appare all’inizio del film, quando il professore dà ai suoi studenti un compito difficile:
Il problema non è estremamente facile da capire perché coinvolge un bel po’ di matematica di livello universitario: algebra lineare (teoria elementare delle matrici, potenze di matrici, forma normale di Jordan), analisi (convergenza in spazi vettoriali normati, serie di potenza, convergenza di serie di potenza), combinatoria (funzione generatrice, conteggio, formule di ricorrenza) e teoria dei grafi (matrice di adiacenza, percorsi, potenze della matrice di adiacenza).
Il problema proviene principalmente dal campo della matematica chiamato Teoria dei Grafi. Questo è lo studio dei grafi – strutture matematiche che modellano relazioni a coppie tra oggetti. Un grafo in questo contesto è composto da vertici, nodi, o punti che sono collegati da bordi, archi, o linee. Possiamo dire che i grafi possono essere indiretti (non c’è distinzione tra i 2 vertici associati ad ogni bordo) e diretti (i suoi bordi sono diretti da un vertice all’altro).
Si scopre che alla fine il problema è legato alla formula di Cayley che afferma che il numero di alberi etichettati su n nodi è nn-2. Poi elenca 8 diversi alberi non etichettati con 10 nodi. Per fare più luce su questo, dovete capire che un albero è un grafo non diretto in cui ogni due vertici sono collegati esattamente da un percorso. Nel caso te lo stessi chiedendo, la matematica ha anche la nozione di foresta in questo caso: un’unione disgiunta di alberi.
Per una spiegazione più matematica, ti consiglio di leggere Mathematics in Good Will Hunting II: Problems from the Students Perspective. Inoltre, Numberphile ha un bel filmato su questo problema:
Totalmente ti consiglio di leggere di più su questo e forse (perché no?!) iniziare a leggere sulla teoria dei grafi (clicca sull’immagine per maggiori informazioni):
Ti auguro una buona settimana. Potete trovarmi su Facebook, Tumblr, Google+, Twitter e Instagram. Cercherò di postarvi il più spesso possibile.
Non dimenticate che la matematica è ovunque! Buon divertimento!
