Il modello troverà i valori di Ts e Ta che permetteranno alla potenza radiativa in uscita, che esce dalla parte superiore dell’atmosfera, di essere uguale alla potenza radiativa assorbita della luce solare. Quando si applica a un pianeta come la Terra, la radiazione in uscita sarà a onde lunghe e la luce solare sarà a onde corte. Questi due flussi di radiazione avranno caratteristiche di emissione e assorbimento distinte. Nel modello idealizzato, assumiamo che l’atmosfera sia completamente trasparente alla luce solare. L’albedo planetario αP è la frazione del flusso solare in entrata che viene riflessa nello spazio (poiché l’atmosfera è assunta totalmente trasparente alla radiazione solare, non importa se questa albedo è immaginata essere causata dalla riflessione sulla superficie del pianeta o sulla cima dell’atmosfera o da una miscela). La densità di flusso della radiazione solare in entrata è specificata dalla costante solare S0. Per l’applicazione al pianeta Terra, i valori appropriati sono S0=1366 W m-2 e αP=0,30. Tenendo conto del fatto che l’area della superficie di una sfera è 4 volte l’area della sua intercetta (la sua ombra), la radiazione media in entrata è S0/4.
Per la radiazione a onde lunghe, si assume che la superficie della Terra abbia un’emissività di 1 (cioè, la Terra è un corpo nero nell’infrarosso, che è realistico). La superficie emette una densità di flusso radiativo F secondo la legge di Stefan-Boltzmann:
F = σ T 4 {displaystyle F=sigma T^{4}}
dove σ è la costante di Stefan-Boltzmann. Una chiave per comprendere l’effetto serra è la legge di Kirchhoff della radiazione termica. A qualsiasi lunghezza d’onda data, l’assorbibilità dell’atmosfera sarà uguale all’emissività. La radiazione dalla superficie potrebbe essere in una porzione leggermente diversa dello spettro infrarosso rispetto alla radiazione emessa dall’atmosfera. Il modello assume che l’emissività media (assorbibilità) sia identica per entrambi questi flussi di radiazione infrarossa, come interagiscono con l’atmosfera. Così, per la radiazione a onde lunghe, un simbolo ε denota sia l’emissività che l’assorbibilità dell’atmosfera, per qualsiasi flusso di radiazione infrarossa.
La densità di flusso infrarosso fuori dalla cima dell’atmosfera:
F = ϵ σ T a 4 + ( 1 – ϵ ) σ T s 4 {displaystyle F\uparrow = \epsilon \sigma T_{a}^{4}+(1- \epsilon )\sigma T_{s}^{4}}
Nell’ultimo termine, ε rappresenta la frazione di radiazione di onde lunghe verso l’alto dalla superficie che viene assorbita, l’assorbibilità dell’atmosfera. Nel primo termine a destra, ε è l’emissività dell’atmosfera, l’adattamento della legge di Stefan-Boltzmann per tenere conto del fatto che l’atmosfera non è otticamente spessa. Così ε gioca il ruolo di mescolare ordinatamente, o fare la media, i due flussi di radiazione nel calcolo della densità di flusso verso l’esterno.
Zero radiazione netta che lascia la parte superiore dell’atmosfera richiede:
– 1 4 S 0 ( 1 – α p ) + ϵ σ T a 4 + ( 1 – ϵ ) σ T s 4 = 0 {displaystyle -{frac {1}{4}}S_{0}(1-\alpha _{p})+\epsilon \sigma T_{a}^{4}+(1-\epsilon )\sigma T_{s}^{4}=0}
La radiazione netta zero che entra in superficie richiede:
1 4 S 0 ( 1 – α p ) + ϵ σ T a 4 – σ T s 4 = 0 {\displaystyle {\frac {1}{4}}S_{0}(1-\alpha _{p})+\epsilon \sigma T_{a}^{4}-\sigma T_{s}^{4}=0}
L’equilibrio energetico dell’atmosfera può essere sia derivato dalle due condizioni di equilibrio precedenti, sia dedotto indipendentemente:
2 ϵ σ T a 4 – ϵ σ T s 4 = 0 {\displaystyle 2\epsilon \sigma T_{a}^{4}-\epsilon \sigma T_{s}^{4}=0}
Nota l’importante fattore 2, risultante dal fatto che l’atmosfera irradia sia verso l’alto che verso il basso.Quindi il rapporto tra Ta e Ts è indipendente da ε:
T a = T s 2 1 / 4 = T s 1.189 {displaystyle T_{a}={T_{s} ^{1/4}={T_{s} ^{1.189}}
Quindi Ta può essere espresso in termini di Ts, e si ottiene una soluzione perTs in termini di parametri di input del modello:
1 4 S 0 ( 1 – α p ) = ( 1 – ϵ 2 ) σ T s 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}S_{0}(1-\alfa _{p})=\sinistra(1-{frac {\epsilon }{2}}destra)\sigma T_{s}^{4}}
o
T s = 1 / 4 {\displaystyle T_{s}==sinistra^{1/4}}
La soluzione può anche essere espressa in termini della temperatura effettiva di emissione Te, che è la temperatura che caratterizza la densità di flusso infrarosso in uscita F, come se il radiatore fosse un radiatore perfetto che obbedisce a F=σTe4. Questo è facile da concettualizzare nel contesto del modello. Te è anche la soluzione per Ts, per il caso di ε=0, o senza atmosfera:
T e ≡ 1 / 4 {displaystyle T_{e}equiv \left^{1/4}}
Con la definizione di Te:
T s = T e 1 / 4 {displaystyle T_{s}=T_{e} ^{1/4}
Per una serra perfetta, senza radiazioni che sfuggono dalla superficie, o ε=1:
T s = T e 2 1 / 4 = 1.189 T e T a = T e {\displaystyle T_{s}=T_{e}2^{1/4}=1.189T_{e}\qquad T_{a}=T_{e}}
Utilizzando i parametri definiti sopra per essere appropriati alla Terra,
T e = 255 K = – 18 C {displaystyle T_{e}=255~mathrm {K} =-18~mathrm {C} }
Per ε=1:
T s = 303 K = 30 C {\displaystyle T_{s}=303~mathrm {K} =30~mathrm {C} }
Per ε=0,78,
T s = 288,3 K T a = 242,5 K {displaystyle T_{s}=288,3~mathrm {K} \T_a}=242,5~mathrm {K} }
.
Questo valore di Ts è vicino ai 287,2 K pubblicati della “temperatura superficiale” media globale basata su misurazioni. ε=0,78 implica che il 22% della radiazione superficiale sfugge direttamente allo spazio, coerente con l’affermazione che dal 15% al 30% sfugge nell’effetto serra.
Il forcing radiativo per il raddoppio dell’anidride carbonica è 3,71 W m-2, in una parametrizzazione semplice. Questo è anche il valore approvato dall’IPCC.Dall’equazione per F {displaystyle F\uparrow }
, Δ F = Δ ϵ ( σ T a 4 – σ T s 4 ) {displaystyle \Delta F\uparrow = \Delta \epsilon \sinistra(\sigma T_{a}^{4}-\sigma T_{s}^{4}-destra)}
Utilizzando i valori di Ts e Ta per ε=0,78 permette di ottenere Δ F {displaystyle \Delta F\uparrow }
= -3,71 W m-2 con Δε=.019. Così un cambiamento di ε da 0,78 a 0,80 è coerente con il forcing radiativo da un raddoppio dell’anidride carbonica. Per ε=0,80, T s = 289,5 K {displaystyle T_{s}=289,5~mathrm {K} }
Quindi questo modello prevede un riscaldamento globale di ΔTs = 1,2 K per un raddoppio di anidride carbonica. Una previsione tipica di un GCM è di 3 K di riscaldamento superficiale, principalmente perché il GCM permette un feedback positivo, in particolare dall’aumento del vapore acqueo. Un semplice surrogato per includere questo processo di feedback è quello di porre un ulteriore aumento di Δε=.02, per un totale Δε=.04, per approssimare l’effetto dell’aumento del vapore acqueo che sarebbe associato ad un aumento della temperatura. Questo modello idealizzato prevede quindi un riscaldamento globale di ΔTs = 2,4 K per un raddoppio dell’anidride carbonica, approssimativamente coerente con l’IPCC.