Questo giorno del Ringraziamento ero in giro con la mia cuginetta, che stava dando le carte da un mazzo standard di 52 carte. Le ho fatto la domanda:
“Quante volte potresti distribuire l’intero mazzo e vedere un ordine unico di carte – diverso da ogni altra volta che hai distribuito il mazzo in passato?”
O per metterla in un altro modo,
“Quante mani uniche (‘permutazioni’) di tutte le 52 carte ci sono?”
Se hai fatto qualche teoria dei numeri (o hai guardato il titolo del post), sai la risposta – 52! (Aka 52 fattoriale. Sarei ugualmente eccitato se 52 fosse la risposta, tuttavia – sarebbe molto strano e interessante)
Ho cercato modi per cercare di capire quel numero online, e ho ottenuto variazioni della stessa risposta, che erano abbastanza inspiegabili per mio cugino. Così invece ho deciso di fare un tentativo io stesso.
Immaginate di fermare tutto quello che stavate facendo, e per il resto della vostra vita, ogni secondo della vostra vita, notte e giorno, vi viene distribuita una nuova mano magicamente mescolata di tutte le 52 carte. Questa magia fa sì che non avrai mai una mano che hai già visto prima. Vuoi sapere quanti accordi unici ci sono, e hai una profonda sfiducia nei matematici – hai bisogno di vederlo con i tuoi occhi.
Prima hai una mano che per caso inizia con il Jack di Fiori, poi il Jack di Cuori, poi il Jack di Picche e poi le altre 49 carte. “Hmm, interessante!” Pensi… a te stesso, visto che probabilmente non hai molti amici se questo è il tuo hobby.
Il secondo successivo, hai una mano che inizia con l’Asso di cuori, poi ha le altre 51 carte.
Continui, e dalla settimana successiva sei abbastanza annoiato. Quando finirò? Quel martedì vedi una mano che ha il Fante di cuori, poi il Fante di fiori, poi il Fante di picche e tutto il resto delle carte nella stessa esatta posizione che hai avuto nella prima mano.
“Wow, questo è super interessante, e super vicino alla prima mano, ma ancora una nuova mano!” Esclami in una stanza piena di scatole di pizza vuote, e a questo punto amici immaginari, visto che non dormi da una settimana.
Ti rendi conto che avrai bisogno di aiuto per continuare a fare questo. Così riesci a convincere ogni altra persona sulla terra, tutti i 7 miliardi, a farlo con te, ogni secondo di ogni giorno. Devi capire questo! Per qualche motivo non sei in grado di convincere i matematici a lavorare al tuo progetto, ma ancora una volta non sei mai stato un loro grande ammiratore.
Ancora, le cose non procedono abbastanza velocemente. Decidi di inventare una macchina del tempo, e una Fontana della Giovinezza, e tutti tornano all’inizio dell’universo, ricominciando da capo con tutti i 7 miliardi di persone che giocano a carte, tutto il giorno, ogni giorno, una volta al secondo per persona. Pensate che questo funzionerà sicuramente, e poi si potranno vedere i dinosauri! Ci sono un sacco di secondi tra ora e l’inizio dell’universo – hai chiesto a un astronomo e ti hanno detto che ci sono stati 4×10^27 secondi da allora, o 4 seguito da 17 zeri. I matematici vengono con te, ma si rifiutano comunque di aiutarti a dare le carte. Sono qui solo per vedere i dinosauri, dicono. Uno grida: “
Questo ti mette un po’ a disagio, ma non hai tempo per le loro buffonate, e le dimentichi rapidamente mentre torni a dare le carte.
Il Big Bang avviene, e l’universo si espande. Le galassie si formano e le prime stelle vengono create ed esplodono, seminando il cosmo con ferro e altri elementi pesanti. Si forma il sistema solare, e sempre più lentamente i pianeti. La Terra si raffredda, si forma un oceano e si accende la vita. Nel frattempo, 7 miliardi di persone, ogni giorno, tutto il giorno, ogni secondo, distribuiscono mani di carte uniche. I dinosauri vagano sulla terra, poi vengono spazzati via. Molti eoni fa sei diventato la persona più odiata dell’esistenza per aver creato questo progetto e aver convinto tutti ad unirsi a te. Il tempo continua a passare e la gente continua a distribuire le carte fino ad arrivare alla data di oggi.
Tu guardi indietro a tutti i progressi che hai fatto. Wow! Siamo stati in grado di fare 3×10^27° combinazioni, è incredibile! Questo è un 3 seguito da 27 zeri. Così tanti diversi accordi del mazzo, tutti unici.
“Dobbiamo essere vicini!”, dici fiducioso ai più vicini umani esausti che girano le carte. Loro ti guardano con puro odio negli occhi. Vorresti aver provato a chiedere ad un matematico di capire se è possibile trovare tutti gli accordi unici (i matematici li chiamano ‘permutazioni’).
La matematica più intelligente e gentile ti batte sulla spalla. Le hai chiesto di tracciare un grafico dei progressi che hai fatto per raccogliere tutte le diverse possibilità, dato che non sembrava ridacchiare così forte come gli altri quando passava e ti vedeva dare le carte. Ti porge un grafico.
“Cos’è questo, una specie di scherzo malato? Esigi, infuriato perché ti ha consegnato un grafico di una barra di progresso che è vuoto.
“Dobbiamo viaggiare di nuovo nel tempo fino all’inizio dell’universo… hai bisogno di più tempo per finire…” Suggerisce cautamente.
“Ok, bene, d’accordo. Quante volte ancora?” Tu ribatti, ancora furioso.
“10^40 volte…” C’è una pausa mentre la fissi con aria assente.
“Lasciami dire il numero”, dice lei, “Non credo che la notazione scientifica ti abbia davvero colpito… È: Tre, zero, zero, zero, zero, zero, zero, zero…”
“Scrivilo e basta”, la interrompi, borbottando sottovoce su come non ti siano mai piaciuti i matematici, comunque.
Lo scrive su un pezzo di carta, spiegando: “Dovrai continuare questo esperimento con tutti i 7 miliardi di persone, tornando ripetutamente all’inizio dell’universo per avere più secondi per distribuire le carte.”
“Dovrai viaggiare indietro nel tempo così tante volte”, ripete sicura, con una nota di pietà nella voce.
Il foglio di carta dice: “30.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 volte”.
Le tue ginocchia cedono e tu crolli a terra.
Nel profondo della disperazione, guardi la matematica. Lei sorride.
“Sai, avresti potuto chiedere a noi matematici all’inizio. Il numero di combinazioni è 52!, che è solo 52*51*50…*3*2*1. Questo equivale a circa 8×10^67, o 8 con 67 zeri dopo.”
Si annuisce, sentendosi sollevato di sapere la risposta. Poi guardi in alto. Vedi 7 miliardi di persone, che hanno appena abbandonato il loro lavoro e ti guardano in modo strano. Non ti piace il loro sguardo. Mentre loro iniziano ad alzarsi e a muoversi verso di te, tu corri verso la tua macchina del tempo, impostandola per trasportare solo te stesso nel periodo giurassico.
“Avrei dovuto fidarmi dei matematici …. !” La tua voce si affievolisce mentre inizi il viaggio nel tempo. Non sei ancora sicuro di capire come funzionano i grandi numeri o le probabilità, ma pensi che invece sia saggio correre il rischio con le terribili lucertole.
In sottofondo, i matematici ricominciano a ridacchiare.
Numeri:
- Età dell’universo = 4×10^17
- 7.000.000.000 = 7×10^9
- 52! = 8×10^67
- 52! / 7 miliardi / età dell’universo in secondi = 3×10^40