Bisectie

3.2 Kwalitatieve benadering met boven- en ondermaten en transitieve ononderscheidbaarheid

De psychologische beschouwing van drempels beneden, waarvoor perceptuele of andere vergelijkende oordelen moeilijk, zo niet onmogelijk zijn, werd geïnitieerd door Fechner . Een belangrijke vroege wiskundige analyse werd gegeven door Wiener . Een groot deel van de moderne literatuur begint met Luce’s definitie van een half-orde, die werd axiomatized als een enkele binaire relatie in het eindige geval door Scott en Suppes . Enkele van de belangrijkste bijdragen zijn van Falmagne .

De probabilistische analyse van drempels dateert op zijn minst uit het werk van Thurstone . Falmagne heeft ook een centrale bijdrage geleverd aan deze benadering, met een aantal andere papers geschreven met collega’s: Falmagne en Iverson , Falmagne et al., , en Iverson en Falmagne . Een uitgebreid overzicht van al deze literatuur wordt gegeven in Suppes et al.,

In bijna al het genoemde werk wordt aangenomen dat de ononderscheidbaarheid van gelijksoortige gebeurtenissen, objecten, of stimuli een niet-transitieve relatie is. De impliciete veronderstelling is dat met veel verschillende discriminerende waarnemingen, veel aanvankelijk niet te onderscheiden gebeurtenissen kunnen worden gescheiden. Het tegengestelde is hier het uitgangspunt en de reden voor het gebruik van het woord “transitief” in de titel. Het is een gevolg van de ingevoerde axioma’s dat ononderscheidbaarheid een equivalentierelatie is, en dus transitief. De rest van dit hoofdstuk leunt zwaar op Suppes .

In het vorige hoofdstuk besprak ik kort uitgebreide metingen gericht op de constructie van een eindige standaard verhouding-schaal representatie. De basis voor transitieve ononderscheidbaarheid is nu gemakkelijk uit te leggen. Een gewogen voorwerp wordt toegewezen aan een uniek minimaal interval, bijvoorbeeld een tussen 1,9 g en 2,0 g. De binaire relatie van twee voorwerpen, a en b, die geen deel uitmaken van de standaardreeks, die gelijkwaardig zijn in gewicht, a ≈ b, is dat zij worden toegewezen aan hetzelfde minimale interval in de standaardreeks. Deze relatie is uiteraard een equivalentie-relatie, d.w.z, reflexief, symmetrisch en transitief, maar in het ontwikkelde systeem van benadering zijn deze eigenschappen niet direct toetsbaar, maar eerder gevolgen van wegingen met standaard reeds “geijkte” verzamelingen gewichten.

Dus, in de later gebruikte notatie, is een voorwerp toegewezen aan het minimale interval (1.9 g, 2,0 g) bij benadering de bovenmaat (van gewicht) w* (a) = 2,0 g en de ondermaat w*(a) = 1,9 g. In de praktijk wordt voor alle meetprocedures, behalve de meest verfijnde, geen statistische analyse gegeven van het hebben van gewicht in zo’n minimaal interval. In de gevallen waarin het minimale interval van de standaardreeks juist op de grens van de prestaties van het instrument ligt, kan een statistische analyse worden gegeven voor herhaalde metingen.

De gewone praktijk is niet geheel in overeenstemming met mijn gebruik van een minimaal interval en daarmee de toekenning van een boven- en een ondergrens als de passende benaderende meting. Maar wat wordt gedaan is nauw en eenvoudig verwant. Om een meting uit te drukken als “op 0,1 g nauwkeurig”, bijvoorbeeld, wordt de meting geschreven als 1,9 ± 0,1 g, zoals in de natuurkundecursussen wordt geleerd. In de praktijk wordt gewoonlijk aanbevolen twee aangrenzende minimale intervallen te gebruiken om de onzekerheid te verminderen en de meting zelf uit te drukken als één getal. De in hoofdstuk 3 gegeven axioma’s kunnen gemakkelijk worden gewijzigd om dit gebruik van twee aangrenzende in plaats van één minimaal interval mogelijk te maken.

Dezelfde ±-notatie wordt ook veel gebruikt om de statistische standaardfout van herhaalde metingen uit te drukken. Conceptueel is het hier van belang om zowel boven- als ondermaten te behouden, want de in de axioma’s geformaliseerde grondgedachte is dat onder de gegeven omstandigheden geen fijnere meting dan die van een minimaal interval beschikbaar is. En geen enkele theoretische constructie van een waarschijnlijkheidsverdeling voor de plaats binnen het minimale interval heeft veel wetenschappelijke zin. Het punt dat wordt benadrukt is dat de gegeven formalisering bedoeld is als een stap dichter bij veel, maar zeker niet alle, feitelijke meetpraktijken wanneer een vaste standaardschaalvoorstelling beschikbaar is.

Terminologisch zou wat ik een eindige uitgebreide structuur met gelijke tussenruimten heb genoemd, net zo goed een eindige uitgebreide structuur met standaardreeksen kunnen worden genoemd. De terminologie van standaardreeksen is bekend in de literatuur over de grondslagen van het meten. Deze taal suggereert de nuttige term standaardverzamelingen voor de verzamelingen gewichten die een standaardreeks vormen.

Voor later gebruik is het van belang op te merken dat voor twee verzamelingen standaardgewichten A en B, als zij niet equivalent zijn in gewicht, het minimaal mogelijke verschil tussen hen het gewicht van één atomaire verzameling is. Preciezer gezegd is het geordende paar verzamelingen (A, B) een minimaal paar standaardverzamelingen indien μ(A) – μ(B) = μ(één atoomverzameling), d.w.z. dat hun verschil in feite het minimum is voor niet-gelijkwaardige standaardverzamelingen. Merk op dat als (A, B) een minimaal paar is, A ≥ B. De equivalentie van zulke paren is een nuttig begrip om te definiëren. Twee minimale paren (A, B) en (A′, B′,) zijn equivalent als μ(A) = μ(A′) en μ(B) = μ(B′). Hier volgen drie opmerkingen die voor latere discussies van belang zijn.

Aannemende dat we nu een eindige uitgestrekte structuur met gelijke tussenruimten hebben (ook wel een eindige standaardreeks genoemd), worden aanvullende axioma’s gegeven voor het meten van ongeveer elk fysisch object in het bereik van de standaardreeks. De primitieve begrippen zijn nu

Als (S1, S2) een minimaal paar is en S1 ≥ W1 ≥ S2, dan zegt men dat (S1 S2) een minimaal paar is voor W1, en ook zegt men dat W1 een minimaal paar heeft.

Enig commentaar op deze axioma’s is op zijn plaats. Axioma 1 brengt alleen de structuur van standaardverzamelingen binnen het benaderingskader. Axioma 2 vereist geen overlapping van objecten tussen die in S, geijkt voor standaardverzamelingen, en die in W, objecten die gewogen moeten worden. Axioma 3 is het enige axioma dat zuiver in termen van gewogen objecten wordt uitgedrukt, zonder tests met standaardgewichten. De eis van verbondenheid van ≥ voor W is bekend. De axioma’s 4-11 formuleren dan toetsbare veronderstellingen die voldoende zijn om het bij benadering meten van gewichten binnen het bereik van standaardverzamelingen te rechtvaardigen. Omdat beide verzamelingen S en W eindig zijn, kan elk axioma direct getest worden op een balans met gelijke arm. Axioma 4 geeft de test voor W1 als strikt zwaarder dan W2, namelijk vind een S1 zo dat W1 ≥ S1 en S1 ≥ W2. Axioma 5 stelt als het ware een transitiviteitsvoorwaarde voor de relatie tussen standaardverzamelingen en gewogen verzamelingen of voorwerpen. Als S1 zwaarder is dan W1 en W1 is zwaarder dan S2, dan moet het zo zijn dat S1 zwaarder is dan S2. Axioma 6 sluit uit dat een gewogen voorwerp W1 precies even zwaar is als een standaardverzameling. Zwakkere vormen van dit axioma zijn mogelijk, maar met bijgaande complicaties van de testvoorwaarden. Het axioma is vergelijkbaar met bekende “gedwongen-keus” axioma’s bij het meten van overtuigingen of handelingen. Axioma 7 vereist dat elk gewogen voorwerp W1 zwaarder is dan elke minimale positieve standaardverzameling S1. Dit axioma maakt het mogelijk dat een weegschaal met gelijke arm of een vergelijkbaar apparaat niet gevoelig is voor enig positief gewicht dat kleiner is dan een minimale standaardverzameling. Axioma 8 is uiteraard de veralgemening van het gewone kwalitatieve axioma van optelling, zoals geïllustreerd in axioma 2 van definitie 1, tot metingen bij benadering. Axioma 9 garandeert dat gegeven disjuncte verzamelingen W1 en W2 die gewogen moeten worden, disjuncte standaardverzamelingen gevonden kunnen worden die de kleinste bovengrens hebben, S1 voor W1 en S1 voor W2, en die ook disjunct zijn. Dit volgt niet uit andere axioma’s, want als W1 ∪ W2 = W, dan kan de unie van de disjuncte kleinste bovengrenzen, S1 ∪ S1 één atomaire standaardverzameling groter zijn dan een kleinste bovengrens van W zelf, dus moet S vergroot worden om dit geval te dekken. De mogelijkheden worden expliciet gemaakt in Theorema 12. Axioma 10 is een test voor W1 om strikt zwaarder te zijn dan W2, en de test is, uiteraard, relatief t.o.v. de grofheid van de standaardverzamelingen. Axioma 11 garandeert dat alle te wegen objecten, of verzamelingen van objecten, binnen het bereik van de standaardverzamelingen vallen door een minimaal paar standaardverzamelingen te hebben, d.w.z. een discrete kleinste bovengrens en een discrete grootste ondergrens onder de standaardverzamelingen.

Er wordt eerst een aantal elementaire stellingen gesteld, met de nadruk op de transitiviteit van de relaties ≥ en ≈ tussen verzamelingen te wegen objecten.

THEOREM 10. Als W1 ≈ W2 en W2 ≥ W3 dan is W1 ≥ W3.

De volgende stelling toont aan dat de equivalentierelatie ≈ voor standaardverzamelingen de congruentie-eigenschap heeft voor ≥ op de verzameling S × W.

THEOREM 11. Als S1 ≈ S1 en S1 ≥ W1 dan is S1 ≥ W1.

De volgende stelling stelt het toetsbare criterium voor het niet te onderscheiden zijn van W1 en W2.

THEOREM 12. W1 ≈ W2 als en slechts als W1 en W2 gelijkwaardige minimale paren hebben.

Met soortgelijke methoden kunnen we een nauw verwant resultaat bewijzen.

We zijn nu in staat om de transitiviteit van de ononderscheidbaarheid van gewichten te beweren.

THEOREM 14. Als W1 ≈ W2 en W2 ≈ W3 dan is W1 ≈ W3.

Het belang van de volgende stelling voor het bepalen van de benadering die geldt bij optelling van twee disjuncte verzamelingen W1 en W2 van te wegen voorwerpen komt naar voren in de discussie volgend op de stelling.

Bij het optellen van het geschatte gewicht van twee verzamelingen fysische objecten, uit het afzonderlijk wegen ervan, kan men uit het geschatte resultaat niet afleiden welke van de twee disjuncten geformuleerd in Stelling 15 geldt. Deze twee disjuncten beschrijven twee aangrenzende maar verschillende minimale intervallen. Maar er is een belangrijk kenmerk dat moet worden opgemerkt. Bij optelling wordt het interval van benadering na optelling niet groter. Dus, in Stelling 15, als we W1 en W2 krijgen, weten we zonder verdere informatie niet in welk minimaal interval W1 ∪ W2 ligt, maar, zoals de disjunctieve conclusie van het axioma stelt, het is slechts een van de twee aangrenzende minimale intervallen, en door de vergelijking empirisch te maken, kunnen we bepalen welk.

De disjunctieve bepaling (iii) van Stelling 15 en de aanname van exactheid, d.w.z, geen benadering, in de meting van de standaardreeks zelf, markeren een verschil met de discussies en resultaten over benadering op verschillende plaatsen in Foundations of Measurement . In feite wordt het standaardbegrip van een paar (μ*, μ*) van boven- en ondermaten, bruikbaar als maten van benadering, nergens in de drie delen van Grondslagen van meting geïntroduceerd. De definitie van zo’n paar (μ*, μ*) volgt in de vorm die eerder is gegeven voor een maat μ.

Het begrip van een paar (μ*, μ*) van boven- en ondermaten is niet nieuw. Het gaat ten minste terug tot het gebruik van binnen- en buitenmaten in de analyse in het laatste deel van de negentiende eeuw door Carathedory en anderen. Het gebruik in de kansrekening gaat ten minste terug tot Koopman.

De voorstelling van benaderde meting wordt expliciet gegeven in termen van boven- en ondermaten. Stelling 15, of iets ongeveer gelijkwaardigs, is nodig om de subadditieve en superadditieve eigenschappen van de boven- en ondermaten vast te stellen. Deze eigenschappen worden expliciet geformuleerd in deel (v) van de volgende stelling.

Vergelijking van de ongelijkheden van bepaling (v) van de zojuist bewezen stelling met de twee disjuncte kwalitatieve mogelijkheden in Stelling 15 doet vermoeden dat een strakkere grens bewezen kan worden, en dat is ook zo. De ongelijkheden in stelling (v) kunnen worden aangescherpt tot (v’) door de invoeging van de term μ*(W1) + μ* (W2) die door Stelling 15 wordt gerechtvaardigd.

COROLLARY 1.

(v′) μ*(W1) + μ*(W2) ≤ μ* (W1 ∪ W2) ≤ μ* (W1) + μ* (W2) ≤ μ* (W1 ∪ W2) ≤ μ* (W1) + μ* (W2).

Ik heb geen invariantie-resultaat gesteld voor Stelling 16, want het voor de hand liggende volgt uit dit deel van Stelling 1. Maar er is een andere verwante overweging van groter belang. Het minimale interval van de eindige standaardreeks S = (S, F, ≥) dat deel uitmaakt van elke structuur van benaderde uitgebreide meting, zoals gekarakteriseerd door Definitie 11, bepaalt de kwalitatieve empirische precisie van de empirische metingen. Beschouw nu een tweede eindige standaardreeks T voor het meten van dezelfde eigenschap van de deelverzamelingen van W, en laat (T1, T′1) het minimale interval van T zijn. Dan hebben we, in tegenstelling tot de conventionele aanvaarding van een eenheid van extensieve meting, in het geval van benaderde meting een rechtstreeks kwalitatieve vergelijking van precisie, gegeven door de empirische verhouding van (S1, S′1) tot (T1, T′1). Bijvoorbeeld, de “weegschaal” die ik regelmatig gebruik om mezelf te wegen heeft een minimuminterval van 0,25 lb, maar een andere die ik minder vaak gebruik heeft een minimuminterval van 0,1 kg. Aangezien 1 kg = 2,20 lb, is de verhouding van 0,25 lb tot 0,1 kg .25/.22, dat is, tot twee decimalen, 1,14. De in het metrieke stelsel geijkte standaardreeks is dus iets nauwkeuriger, hoewel beide “schalen” minimumintervallen bieden die verder gaan dan de precisie die gewoonlijk voor de meeste doeleinden wordt waargenomen of geregistreerd. Elke verdere verfijning van een van beide is van weinig of geen belang voor het meten van het lichaamsgewicht.

Gelijkaardige voorbeelden zijn gemakkelijk te geven voor het meten van de lengte met behulp van verschillende eindige standaardreeksen. Bovendien kan de benaderende theorie die hier in termen van boven- en ondermaten is ontwikkeld, met dezelfde methoden gemakkelijk worden uitgebreid tot verschilmaten, bissectiematen en voegmaten, en met iets meer moeite tot meerdere dimensies, b.v. affiene of euclidische meetkunde. Het is niet verrassend dat de toepassingen van boven- en ondermaten het meest zijn toegepast op benaderende metingen van subjectieve waarschijnlijkheid. Een uitvoerig overzicht en analyse wordt gegeven door Walley . Mijn eigen eerdere bijdrage, Suppes , gebruikt hogere en lagere waarschijnlijkheden, maar met niet-transitieve ononderscheidbaarheid.

De nadruk lag hier op benaderende meting, maar een heel andere theorie van hogere en lagere waarschijnlijkheden kan worden afgeleid uit een directe set-theoretische veralgemening van willekeurige variabelen als willekeurige functies naar willekeurige relaties. Een aanwijzing voor het theoretische verschil is dat de door Suppes en Zanotti uit willekeurige relaties afgeleide boven- en ondermaten capaciteiten van oneindige orde zijn in de zin van Choquet . Daarentegen zijn de hier beschouwde boven- en ondermaten voor benaderingsmaten niet eens capaciteiten van orde twee. Het is duidelijk dat de hier en in Suppes geïntroduceerde benaderingsmaatstaf in geen geval de enige mogelijkheid is.