Het model zal de waarden van Ts en Ta vinden die het mogelijk maken dat het uitgaande stralingsvermogen, dat aan de bovenkant van de atmosfeer ontsnapt, gelijk is aan het geabsorbeerde stralingsvermogen van het zonlicht. Toegepast op een planeet als de aarde, zal de uitgaande straling langgolvig zijn en het zonlicht kortgolvig. Deze twee stralingsstromen zullen verschillende emissie- en absorptiekenmerken hebben. In het geïdealiseerde model nemen wij aan dat de atmosfeer volledig transparant is voor zonlicht. Het planetaire albedo αP is de fractie van de inkomende zonneflux die naar de ruimte wordt teruggekaatst (aangezien wordt aangenomen dat de atmosfeer volledig transparant is voor zonnestraling, doet het er niet toe of dit albedo wordt verondersteld te worden veroorzaakt door reflectie aan het oppervlak van de planeet of aan de top van de atmosfeer of door een mengsel). De fluxdichtheid van de inkomende zonnestraling wordt bepaald door de zonneconstante S0. Voor toepassing op de planeet Aarde zijn de geschikte waarden S0=1366 W m-2 en αP=0,30. Rekening houdend met het feit dat de oppervlakte van een bol vier maal zo groot is als de oppervlakte van zijn intercept (zijn schaduw), is de gemiddelde inkomende straling S0/4.
Voor de langegolfstraling wordt aangenomen dat het aardoppervlak een emissiviteit van 1 heeft (d.w.z. dat de aarde een zwart lichaam is in het infrarood, hetgeen realistisch is). Het oppervlak zendt een stralingsfluxdichtheid F uit volgens de wet van Stefan-Boltzmann:
F = σ T 4 {\displaystyle F=Sigma T^{4}}
waarbij σ de constante van Stefan-Boltzmann is. Een sleutel tot het begrip van het broeikaseffect is de wet van Kirchhoff inzake thermische straling. Bij elke golflengte is de absorptiecapaciteit van de atmosfeer gelijk aan de emissiviteit. De straling van het oppervlak kan zich in een iets ander deel van het infraroodspectrum bevinden dan de straling die door de atmosfeer wordt uitgezonden. Het model gaat ervan uit dat de gemiddelde emissiviteit (absorptievermogen) identiek is voor elk van deze stromen van infrarode straling, aangezien zij in wisselwerking staan met de atmosfeer. Voor de langegolfstraling geeft ε dus zowel de emissiviteit als de absorptie van de atmosfeer aan, voor elke infrarode stralingsstroom.
De infrarode fluxdichtheid uit de top van de atmosfeer:
F = ϵ σ T a 4 + ( 1 – ϵ ) σ T s 4 {\displaystyle Fuparrow = \sigma T_{a}^{4}+(1-\epsilon )\sigma T_{s}^{4}}
In de laatste term staat ε voor het deel van de opwaartse langgolvige straling van het oppervlak dat wordt geabsorbeerd, het absorptievermogen van de atmosfeer. In de eerste term rechts is ε de emissiviteit van de atmosfeer, de aanpassing van de wet van Stefan-Boltzmann om rekening te houden met het feit dat de atmosfeer niet optisch dik is. ε speelt dus de rol van een nette vermenging, of middeling, van de twee stralingsstromen bij de berekening van de buitenwaartse fluxdichtheid.
Nul netto straling die de top van de atmosfeer verlaat, vereist:
– 1 4 S 0 ( 1 – α p ) + ϵ σ T a 4 + ( 1 – ϵ ) σ T s 4 = 0 {\displaystyle -{\frac {1}{4}}S_{0}(1-alfa _{p})+\epsilon \sigma T_{a}^{4}+(1-\epsilon )\sigma T_{s}^{4}=0}
Nul netto straling aan het oppervlak vereist:
1 4 S 0 ( 1 – α p ) + ϵ σ T a 4 – σ T s 4 = 0 {\displaystyle {\frac {1}{4}}S_{0}(1-alfa _{p})+ \epsilon \sigma T_{a}^{4}-igma T_{s}^{4}=0}
Energie-evenwicht van de atmosfeer kan ofwel worden afgeleid uit de twee bovenstaande evenwichtsvoorwaarden, ofwel onafhankelijk worden afgeleid:
2 ϵ σ T a 4 – ϵ σ T s 4 = 0 {\displaystyle 2 \epsilon \sigma T_{a}^{4}-\epsilon \sigma T_{s}^{4}=0}
Noteer de belangrijke factor 2, die het gevolg is van het feit dat de atmosfeer zowel naar boven als naar beneden straalt.De verhouding tussen Ta en Ts is dus onafhankelijk van ε:
T a = T s 2 1 / 4 = T s 1,189 {\displaystyle T_{a}={T_{s} \over 2^{1/4}}={T_{s} \over 1,189}}
Thus Ta kan worden uitgedrukt in termen van Ts, en er wordt een oplossing verkregen voorTs in termen van de invoerparameters van het model:
1 4 S 0 ( 1 – α p ) = ( 1 – ϵ 2 ) σ T s 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}S_{0}(1-{alpha _{p})=-links(1-{\frac {\epsilon }{2}}rechts)\sigma T_{s}^{4}}
of
T s = 1 / 4 {\displaystyle T_{s}=left^{1/4}}
De oplossing kan ook worden uitgedrukt in termen van de effectieve emissietemperatuur Te, d.w.z. de temperatuur die de uitgaande infrarode fluxdichtheid F karakteriseert, alsof de straler een perfecte straler zou zijn die gehoorzaamt aan F=σTe4. Dit is gemakkelijk te conceptualiseren in de context van het model. Te is ook de oplossing voor Ts, voor het geval van ε=0, of geen atmosfeer:
T e ≡ 1 / 4 {\displaystyle T_{e}}
Met de definitie van Te:
T s = T e 1 / 4 {{displaystyle T_{s}=T_{e}left^{1/4}}
Voor een perfecte broeikas, waarbij geen straling aan het oppervlak ontsnapt, of ε=1:
T s = T e 2 1 / 4 = 1,189 T e T a = T e {{displaystyle T_{s}=T_{e}2^{1/4}=1,189T_{e}qquad T_{a}=T_{e}}
Uitgaande van de hierboven gedefinieerde parameters die geschikt zijn voor de aarde,
T e = 255 K = – 18 C {\displaystyle T_{e}=255~\mathrm {K} =-18~\mathrm {C} }
Voor ε=1:
T s = 303 K = 30 C {\displaystyle T_{s}=303~\mathrm {K} =30~\mathrm {C}} }
Voor ε=0,78,
T s = 288,3 K T a = 242,5 K {\displaystyle T_{s}=288,3~\mathrm {K} \quad T_{a}=242.5~mathrm {K} }
.
Deze waarde van Ts ligt toevallig dicht bij de gepubliceerde 287,2 K van de gemiddelde mondiale “oppervlaktetemperatuur” op basis van metingen. ε=0,78 impliceert dat 22% van de straling van het aardoppervlak rechtstreeks naar de ruimte ontsnapt, hetgeen in overeenstemming is met de bewering dat 15% tot 30% ontsnapt in het broeikaseffect.
De stralingsforcering voor een verdubbeling van de kooldioxide-uitstoot bedraagt 3,71 W m-2, in een eenvoudige parametrisering. Dit is ook de waarde die het IPCC onderschrijft. Uit de vergelijking voor F {\displaystyle F}
, Δ F = Δ ϵ ( σ T a 4 – σ T s 4 ) {\displaystyle \Delta F\uparrow =\Delta \epsilon \left(\sigma T_{a}^{4}-\sigma T_{s}^{4}right)}
Met behulp van de waarden van Ts en Ta voor ε=0,78 kan Δ F {\displaystyle \Delta F\uparrow }
= -3,71 W m-2 met Δε=,019. Een verandering van ε van 0,78 naar 0,80 komt dus overeen met de stralingsforcering bij een verdubbeling van de kooldioxide-uitstoot. Voor ε=0,80 is T s = 289,5 K {Displaystyle T_{s}=289,5~mathrm {K} }
Dus voorspelt dit model een opwarming van de aarde met ΔTs = 1,2 K voor een verdubbeling van de kooldioxide-uitstoot. Een typische voorspelling van een GCM is 3 K opwarming van het aardoppervlak, voornamelijk omdat het GCM rekening houdt met positieve terugkoppeling, met name door de toename van waterdamp. Een eenvoudig surrogaat om dit terugkoppelingsproces op te nemen is een extra toename van Δε=,02, voor een totaal Δε=,04, om het effect te benaderen van de toename van de waterdamp die met een temperatuurstijging gepaard zou gaan. Dit geïdealiseerde model voorspelt dan een opwarming van de aarde van ΔTs = 2,4 K voor een verdubbeling van de kooldioxide-uitstoot, hetgeen ruwweg overeenkomt met het IPCC.