Beweging van de MaanEdit
Hipparchus bestudeerde ook de beweging van de Maan en bevestigde de nauwkeurige waarden voor twee perioden van haar beweging die Chaldeeuwse astronomen vóór hem alom verondersteld worden te hebben bezeten, ongeacht hun uiteindelijke oorsprong. De traditionele waarde (uit het Babylonische Systeem B) voor de gemiddelde synodische maand is 29 dagen; 31,50,8,20 (sexagesimaal) = 29,5305941… dagen. Uitgedrukt als 29 dagen + 12 uren + 793/1080 uren is deze waarde later in de Hebreeuwse kalender gebruikt. De Chaldeeën wisten ook dat 251 synodische maanden ≈ 269 anomalistische maanden. Hipparchus gebruikte het veelvoud van deze periode met een factor 17, omdat dat interval ook een verduisteringsperiode is, en ook dicht bij een geheel aantal jaren ligt (4267 manen : 4573 anomalistische perioden : 4630,53 knooppuntperioden : 4611,98 maanbanen : 344,996 jaar : 344,982 zonnebanen : 126.007,003 dagen : 126.351,985 omwentelingen). Wat zo uitzonderlijk en nuttig was aan de cyclus was dat alle eclips-paren met een interval van 345 jaar iets meer dan 126.007 dagen uit elkaar voorkomen binnen een nauwe marge van slechts ongeveer ±1⁄2 uur, waardoor (na deling door 4267) een schatting van de synodische maand gegarandeerd correct is tot op één deel van de orde van grootte 10 miljoen. De 345-jarige periodiciteit is de reden waarom de ouden een gemiddelde maand konden bedenken en zo nauwkeurig konden kwantificeren dat deze zelfs vandaag de dag nog tot op een fractie van een seconde nauwkeurig is.
Hipparchus kon zijn berekeningen bevestigen door verduisteringen uit zijn eigen tijd (vermoedelijk 27 januari 141 v.Chr. en 26 november 139 v.Chr. volgens ), te vergelijken met verduisteringen uit Babylonische verslagen van 345 jaar eerder (Almagest IV.2; ). Al-Biruni (Qanun VII.2.II) en Copernicus (de revolutionibus IV.4) merkten op dat de periode van 4.267 manen in feite ongeveer 5 minuten langer is dan de waarde voor de verduisteringsperiode die Ptolemaeus aan Hipparchus toeschrijft. De tijdmethodes van de Babyloniërs hadden echter een fout van niet minder dan 8 minuten. Moderne geleerden zijn het erover eens dat Hipparchus de eclipsperiode afrondde op het dichtstbijzijnde uur, en het gebruikte om de geldigheid van de traditionele waarden te bevestigen, in plaats van te proberen een verbeterde waarde af te leiden uit zijn eigen waarnemingen. Op grond van moderne efemeriden en rekening houdend met de verandering in de lengte van de dag (zie ΔT) schatten we dat de fout in de veronderstelde lengte van de synodische maand minder dan 0,2 seconden bedroeg in de 4e eeuw v. Chr. en minder dan 0,1 seconden in Hipparchus’ tijd.
Omloop van de MaanEdit
Het was al lang bekend dat de beweging van de Maan niet uniform is: haar snelheid varieert. Dit wordt haar anomalie genoemd, en zij herhaalt zich met haar eigen periode; de anomalistische maand. De Chaldeeën hielden hier rekenkundig rekening mee, en gebruikten een tabel die de dagelijkse beweging van de Maan aangaf volgens de datum binnen een lange periode. De Grieken dachten echter liever in geometrische modellen van de hemel. Apollonius van Perga had aan het einde van de 3e eeuw v. Chr. twee modellen voor maan- en planeetbeweging voorgesteld:
- In het eerste zou de Maan gelijkmatig langs een cirkel bewegen, maar de Aarde zou excentrisch zijn, d.w.z. op enige afstand van het middelpunt van de cirkel. Dus de schijnbare hoeksnelheid van de Maan (en haar afstand) zou variëren.
- De Maan zelf zou uniform bewegen (met enige gemiddelde beweging in anomalie) op een secundaire cirkelbaan, een epicyclus genoemd, die zelf uniform zou bewegen (met enige gemiddelde beweging in lengtegraad) over de hoofdcirkelbaan rond de Aarde, deferent genoemd; zie deferent en epicyclus. Apollonius toonde aan dat deze twee modellen in feite mathematisch equivalent waren. Dit alles was echter theorie en was nog niet in praktijk gebracht. Hipparchus was de eerste ons bekende astronoom die een poging deed om de relatieve verhoudingen en de werkelijke afmetingen van deze banen te bepalen.
Hipparchus bedacht een meetkundige methode om de parameters te vinden uit drie posities van de Maan, in bepaalde fasen van haar anomalie. In feite deed hij dit afzonderlijk voor het excentrische en het epicyclische model. Ptolemaeus beschrijft de details in de Almagest IV.11. Hipparchus gebruikte twee sets van drie maansverduisteringswaarnemingen, die hij zorgvuldig selecteerde om aan de eisen te voldoen. Het excentrische model paste hij toe op deze verduisteringen uit zijn Babylonische verduisteringslijst: 22/23 december 383 v.Chr., 18/19 juni 382 v.Chr. en 12/13 december 382 v.Chr. Het epicyclische model paste hij toe op maansverduisteringswaarnemingen in Alexandrië op 22 september 201 v.Chr., 19 maart 200 v.Chr. en 11 september 200 v.Chr.
- Voor het excentrische model vond Hipparchus voor de verhouding tussen de straal van het excentrisch middelpunt en de afstand tussen het middelpunt van het excentrisch middelpunt en het middelpunt van de ecliptica (d.w.z, de waarnemer op aarde): 3144 : 327 2⁄3 ;
- en voor het epicyclusmodel, de verhouding tussen de straal van het deferente en de epicyclus: 3122 1⁄2 : 247 1⁄2 .
De wat vreemde getallen zijn te wijten aan de omslachtige eenheid die hij gebruikte in zijn koordentabel volgens één groep historici, die het onvermogen van hun reconstructie om met deze vier getallen overeen te komen deels verklaren als het gevolg van wat slordige afrondings- en rekenfouten van Hipparchus, waarvoor Ptolemaeus hem bekritiseerde (hij maakte zelf ook afrondingsfouten). Een eenvoudiger alternatieve reconstructie komt met alle vier de getallen overeen. Hoe dan ook, Hipparchus vond inconsistente resultaten; hij gebruikte later de verhouding van het epicycle model (3122 1⁄2 : 247 1⁄2), die te klein is (60 : 4;45 sexagesimaal). Ptolemaeus stelde een verhouding vast van 60 : 5 1⁄4. (De maximale hoekafwijking die met deze meetkunde kan worden verkregen is de boogsin van 5 1⁄4 gedeeld door 60, ofwel ongeveer 5° 1′, een getal dat daarom soms wordt aangehaald als het equivalent van de vergelijking van de maan met het middelpunt in het Hipparchische model.)
Schijnbare beweging van de ZonEdit
Voordat Hipparchus, Meton, Euctemon, en hun leerlingen te Athene een zonnewende-waarneming hadden gedaan (d.w.z, het moment van de zomerzonnewende getimed) op 27 juni 432 v.Chr. (proleptische Juliaanse kalender). Aristarchus van Samos zou dit gedaan hebben in 280 v. Chr., en Hipparchus had ook een waarneming van Archimedes. Zoals blijkt uit een artikel uit 1991 berekende Hipparchus in 158 v.Chr. een zeer foutieve zomerzonnewende aan de hand van de kalender van Callippus. Hij nam de zomerzonnewende waar in 146 en 135 v. Chr. beide op een paar uur nauwkeurig, maar waarnemingen van het moment van de equinox waren eenvoudiger, en hij deed er twintig tijdens zijn leven. Ptolemaeus geeft een uitgebreide bespreking van Hipparchus’ werk over de lengte van het jaar in de Almagest III.1, en citeert vele waarnemingen die Hipparchus deed of gebruikte, tussen 162-128 v.Chr. Analyse van Hipparchus’ zeventien equinox waarnemingen op Rhodos laat zien dat de gemiddelde fout in declinatie zeven boogminuten positief is, bijna overeenkomend met de som van de breking door de lucht en Swerdlow’s parallax. De toevallige ruis is twee boogminuten of bijna één boogminuut als rekening wordt gehouden met afronding, wat ongeveer overeenkomt met de scherpte van het oog. Ptolemaeus citeert een equinox-tijdstip door Hipparchus (op 24 maart 146 v.Chr. bij zonsopgang) dat 5 uur verschilt van de waarneming die diezelfde dag werd gedaan op de grote openbare equatoriale ring van Alexandrië (om 1 uur voor het middaguur): Hipparchus kan Alexandrië hebben bezocht maar hij deed zijn equinox-waarnemingen daar niet; vermoedelijk was hij op Rhodos (op bijna dezelfde geografische lengtegraad). Ptolemaeus beweert dat zijn zonnewaarnemingen werden gedaan op een transit-instrument dat in de meridiaan was ingesteld.
Recente deskundige vertaling en analyse door Anne Tihon van papyrus P. Fouad 267 A heeft de hierboven geciteerde bevinding uit 1991 bevestigd dat Hipparchus een zomerzonnewende had in 158 v. Chr. Maar de papyrus maakt de datum 26 juni, meer dan een dag eerder dan de conclusie van het artikel uit 1991 voor 28 juni. De §M van de eerdere studie vond dat Hipparchus pas in 146 v. Chr. de zonnewende van 26 juni vaststelde, toen hij de baan van de zon vaststelde die Ptolemaeus later overnam. Het combineren van deze gegevens suggereert dat Hipparchus de zonnewende van 26 juni van 158 v.Chr. extrapoleerde vanuit zijn zonnewende van 145 v.Chr. 12 jaar later, een procedure die slechts een minuscule fout zou veroorzaken. De papyrus bevestigde ook dat Hipparchus in 158 v. Chr. de Callippische zonnewende had gebruikt, een nieuwe ontdekking in 1991 maar niet rechtstreeks bevestigd tot P. Fouad 267 A. Een andere tabel op de papyrus is misschien voor de siderische zonnewende en een derde tabel is voor de Metonische tropische zonnewende, met gebruikmaking van een tot dan toe onbekend jaar van 365 1⁄4 – 1⁄309 dagen. Dit werd vermoedelijk gevonden door de 274 jaar van 432 tot 158 v. Chr. te verdelen in het overeenkomstige interval van 100077 dagen en 14 3⁄4 uur tussen de zonsopgang van Meton en de zonsondergang van Hipparchus.
Aan het eind van zijn loopbaan schreef Hipparchus een boek genaamd Peri eniausíou megéthous (“Over de lengte van het jaar”) over zijn resultaten. De vastgestelde waarde voor het tropische jaar, ingevoerd door Callippus in of voor 330 v. Chr. was 365 1⁄4 dagen. Een Babylonische oorsprong voor het Callippische jaar is moeilijk te verdedigen, omdat Babylon geen zonnewendes waarnam en de enige nog bestaande systeem B jaarlengte dus gebaseerd was op Griekse zonnewendes (zie onder). Hipparchus’ waarnemingen van de nachteveningen gaven wisselende resultaten, maar hij wijst er zelf op (geciteerd in Almagest III.1(H195)) dat de waarnemingsfouten van hemzelf en zijn voorgangers wel 1⁄4 dag kunnen zijn geweest. Hij gebruikte oude zonnewende-waarnemingen, en stelde een verschil vast van ongeveer één dag in ongeveer 300 jaar. Dus stelde hij de lengte van het tropische jaar vast op 365 1⁄4 – 1⁄300 dagen (= 365,24666… dagen = 365 dagen 5 uur 55 min, hetgeen verschilt van de werkelijke waarde (moderne schatting, inclusief de versnelling van de aardrotatie) in zijn tijd van ongeveer 365,2425 dagen, een fout van ongeveer 6 min per jaar, een uur per decennium, 10 uur per eeuw.
Tussen de zonnewende-waarneming van Meton en die van hemzelf zaten 297 jaren die 108.478 dagen omspannen. D. Rawlins merkte op dat dit een tropisch jaar impliceert van 365,24579… dagen = 365 dagen;14,44,51 (sexagesimaal; = 365 dagen + 14/60 + 44/602 + 51/603) en dat deze exacte jaarlengte is aangetroffen op een van de weinige Babylonische kleitabletten waarop expliciet de systeem B maand is vermeld. Dit is een aanwijzing dat het werk van Hipparchus bekend was bij de Chaldeeën.
Een andere waarde voor het jaar die aan Hipparchus wordt toegeschreven (door de astroloog Vettius Valens in de 1e eeuw) is 365 + 1/4 + 1/288 dagen (= 365,25347… dagen = 365 dagen 6 uur 5 min), maar dit kan een verbastering zijn van een andere waarde die aan een Babylonische bron wordt toegeschreven: 365 + 1/4 + 1/144 dagen (= 365.25694… dagen = 365 dagen 6 uur 10 min). Het is niet duidelijk of dit een waarde zou zijn voor het siderische jaar (werkelijke waarde in zijn tijd (moderne schatting) ongeveer 365,2565 dagen), maar het verschil met Hipparchus’ waarde voor het tropische jaar is consistent met zijn precessiesnelheid (zie hieronder).
Omloopbaan van de ZonEdit
Vóór Hipparchus wisten astronomen dat de lengtes van de seizoenen niet gelijk zijn. Hipparchus deed waarnemingen van equinox en zonnewende, en bepaalde volgens Ptolemaeus (Almagest III.4) dat de lente (van lente-equinox tot zomer-zonnewende) 94½ dag duurde, en de zomer (van zomer-zonnewende tot herfst-equinox) 92 1⁄2 dagen. Dit is niet in overeenstemming met de veronderstelling dat de zon met gelijke snelheid in een cirkel om de aarde draait. De oplossing van Hipparchus was om de Aarde niet in het centrum van de beweging van de Zon te plaatsen, maar op enige afstand van het centrum. Dit model beschreef de schijnbare beweging van de zon redelijk goed. Het is nu bekend dat de planeten, inclusief de Aarde, bij benadering in ellipsen rond de Zon bewegen, maar dit werd pas ontdekt toen Johannes Kepler in 1609 zijn eerste twee wetten van de beweging van de planeten publiceerde. De waarde voor de excentriciteit die door Ptolemeus aan Hipparchus wordt toegeschreven is dat de excentriciteit 1⁄24 van de straal van de baan is (wat iets te groot is), en de richting van het hoogste punt zou op 65,5° lengtegraad van het lentepunt liggen. Hipparchus kan ook andere reeksen waarnemingen hebben gebruikt, die tot andere waarden zouden leiden. Een van zijn twee eclips-drietallen met zonnelengtes komt overeen met het feit dat hij aanvankelijk voor de lente en de zomer onnauwkeurige lengtes aannam van 95 3⁄4 en 91 1⁄4 dagen. Zijn andere triplet van zonneposities komt overeen met 94 1⁄4 en 92 1⁄2 dagen, een verbetering ten opzichte van de resultaten (94 1⁄2 en 92 1⁄2 dagen) die Ptolemeus aan Hipparchus toeschreef, waarvan enkele geleerden nog steeds het auteurschap in twijfel trekken. Ptolemaeus bracht drie eeuwen later geen verandering aan, en drukte voor het herfst- en winterseizoen lengtes uit die al impliciet waren (zoals bijvoorbeeld A. Aaboe aantoont).
Afstand, parallax, grootte van de Maan en de ZonEdit
Hipparchus ondernam ook pogingen om de afstanden en de afmetingen van de Zon en de Maan te bepalen. Zijn resultaten staan in twee werken: Perí megethōn kaí apostēmátōn (“Over maten en afstanden”) van Pappus en in Pappus’ commentaar op de Almagest V.11; Theon van Smyrna (2e eeuw) vermeldt het werk met de toevoeging “van de Zon en de Maan”.
Hipparchus mat de schijnbare diameters van de Zon en de Maan met zijn dioptrie. Net als anderen voor en na hem ontdekte hij dat de grootte van de Maan varieert naarmate zij zich in haar (excentrische) baan voortbeweegt, maar hij vond geen waarneembare variatie in de schijnbare diameter van de Zon. Hij vond dat op de gemiddelde afstand van de Maan, de Zon en de Maan dezelfde schijnbare diameter hadden; op die afstand past de diameter van de Maan 650 keer in de cirkel, d.w.z, de gemiddelde schijnbare diameters zijn 360⁄650 = 0°33′14″.
Net als anderen voor en na hem merkte hij ook op dat de Maan een merkbare parallax heeft, d.w.z. dat zij verschoven lijkt ten opzichte van haar berekende positie (in vergelijking met de Zon of de sterren), en het verschil is groter als zij dichter bij de horizon staat. Hij wist dat dit kwam doordat in de toenmalige modellen de Maan om het middelpunt van de Aarde cirkelt, maar de waarnemer aan het oppervlak staat – Maan, Aarde en waarnemer vormen een driehoek met een scherpe hoek die steeds verandert. Uit de grootte van deze parallax kan de afstand van de Maan, gemeten in aardstralen, worden bepaald. Voor de Zon echter was er geen waarneembare parallax (wij weten nu dat deze ongeveer 8,8″ is, enkele malen kleiner dan de resolutie van het oog zonder hulpmiddelen).
In het eerste boek gaat Hipparchus ervan uit dat de parallax van de Zon 0 is, alsof deze zich op oneindige afstand bevindt. Vervolgens analyseert hij een zonsverduistering, waarvan Toomer (tegen de mening van meer dan een eeuw astronomen in) aanneemt dat het de verduistering van 14 maart 190 v. Chr. is. Deze was totaal in de streek van de Hellespont (en in zijn geboorteplaats, Nicaea); Volgens Toomer bereidden de Romeinen zich in die tijd voor op een oorlog met Antiochus III in het gebied, en Livy vermeldt de verduistering in zijn Ab Urbe Condita Libri VIII.2. De verduistering werd ook waargenomen in Alexandrië, waar de zon voor 4/5e deel door de maan zou zijn verduisterd. Alexandrië en Nicaea liggen op dezelfde meridiaan. Alexandrië ligt op ongeveer 31° noorderbreedte, en het gebied van de Hellespont op ongeveer 40° noorderbreedte. (Er is wel beweerd dat auteurs als Strabo en Ptolemaeus vrij behoorlijke waarden hadden voor deze geografische posities, dus Hipparchus moet ze ook hebben gekend. De van Hipparchus afhankelijke breedtegraden van Strabo voor deze regio zijn echter minstens 1° te hoog, en Ptolemaeus lijkt ze te kopiëren door Byzantium 2° hoog in breedtegraden te plaatsen). Hipparchus kon een driehoek tekenen die gevormd werd door de twee plaatsen en de Maan, en kon uit eenvoudige meetkunde de afstand van de Maan bepalen, uitgedrukt in Aardstralen. Omdat de verduistering ’s morgens plaatsvond, stond de Maan niet in de meridiaan, en er is wel beweerd dat de door Hipparchus gevonden afstand daarom een ondergrens was. Hoe dan ook, volgens Pappus vond Hipparchus dat de kleinste afstand 71 is (van deze verduistering), en de grootste 81 aardstralen.
In het tweede boek gaat Hipparchus uit van de tegenovergestelde extreme veronderstelling: hij geeft een (minimum) afstand tot de Zon van 490 aardstralen. Dit zou overeenkomen met een parallax van 7′, wat blijkbaar de grootste parallax is waarvan Hipparchus dacht dat die niet zou worden opgemerkt (ter vergelijking: de typische resolutie van het menselijk oog is ongeveer 2′; Tycho Brahe deed waarnemingen met het blote oog met een nauwkeurigheid tot op 1′). In dit geval is de schaduw van de Aarde een kegel in plaats van een cilinder zoals in de eerste veronderstelling. Hipparchus nam waar (bij maansverduisteringen) dat op de gemiddelde afstand van de Maan, de diameter van de schaduwkegel 2 1⁄2 maansdiameters is. Die schijnbare diameter is, zoals hij had waargenomen, 360⁄650 graden. Met deze waarden en eenvoudige meetkunde kon Hipparchus de gemiddelde afstand bepalen; omdat deze berekend werd voor een minimale afstand van de Zon, is het de maximale gemiddelde afstand die mogelijk is voor de Maan. Met zijn waarde voor de excentriciteit van de baan, kon hij ook de kleinste en grootste afstand van de Maan berekenen. Volgens Pappus vond hij een kleinste afstand van 62, een gemiddelde van 67 1⁄3, en dus een grootste afstand van 72 2⁄3 aardstralen. Met deze methode is, als de parallax van de zon afneemt (dus de afstand toeneemt), de ondergrens voor de gemiddelde afstand 59 aardstralen – precies de gemiddelde afstand die Ptolemaeus later afleidde.
Hipparchus had dus het problematische resultaat dat zijn minimale afstand (uit boek 1) groter was dan zijn maximale gemiddelde afstand (uit boek 2). Hij was intellectueel eerlijk over deze discrepantie, en realiseerde zich waarschijnlijk dat vooral de eerste methode zeer gevoelig is voor de nauwkeurigheid van de waarnemingen en parameters. (Moderne berekeningen tonen aan dat de grootte van de zonsverduistering in Alexandrië in 189 v. Chr. dichter bij 9/10 moet hebben gelegen en niet bij de gerapporteerde 4/5, een fractie die beter overeenkomt met de totaliteit in Alexandrië van de verduisteringen in 310 en 129 v. Chr. die ook bijna totaal waren in de Hellespont en door velen worden beschouwd als meer waarschijnlijke mogelijkheden voor de verduistering die Hipparchus gebruikte voor zijn berekeningen.)
Ptolemaeus mat later de parallax van de maan rechtstreeks (Almagest V.13), en gebruikte de tweede methode van Hipparchus met maansverduisteringen om de afstand van de Zon te berekenen (Almagest V.15). Hij bekritiseert Hipparchus voor het maken van tegenstrijdige veronderstellingen, en het verkrijgen van tegenstrijdige resultaten (Almagest V.11): maar blijkbaar begreep hij Hipparchus’ strategie niet om grenzen vast te stellen die consistent zijn met de waarnemingen, in plaats van een enkele waarde voor de afstand. Zijn resultaten waren de beste tot nu toe: de werkelijke gemiddelde afstand van de Maan is 60,3 Aardstralen, binnen zijn grenzen uit Hipparchus’ tweede boek.
Theon van Smyrna schreef dat volgens Hipparchus de Zon 1.880 maal zo groot is als de Aarde, en de Aarde zevenentwintig maal zo groot als de Maan; kennelijk heeft dit betrekking op volumes, niet op diameters. Uit de meetkunde van boek 2 volgt dat de Zon op 2.550 aardstralen staat, en de gemiddelde afstand van de Maan 60 1⁄2 radii is. Evenzo citeert Cleomedes Hipparchus voor de grootte van de Zon en de Aarde 1050:1; dit leidt tot een gemiddelde maanafstand van 61 stralen. Blijkbaar heeft Hipparchus later zijn berekeningen verfijnd, en nauwkeurige enkele waarden afgeleid die hij kon gebruiken voor voorspellingen van zonsverduisteringen.
Zie voor een meer gedetailleerde bespreking.
VerduisteringenEdit
Pliny (Naturalis Historia II.X) vertelt ons dat Hipparchus aantoonde dat maansverduisteringen vijf maanden na elkaar kunnen plaatsvinden, en zonsverduisteringen zeven maanden (in plaats van de gebruikelijke zes maanden); en dat de Zon twee keer in dertig dagen kan worden verborgen, maar door verschillende naties gezien. Ptolemaeus besprak dit een eeuw later uitvoerig in Almagest VI.6. De geometrie, en de grenzen van de posities van Zon en Maan wanneer een zons- of maansverduistering mogelijk is, worden uitgelegd in Almagest VI.5. Hipparchus heeft blijkbaar soortgelijke berekeningen gemaakt. Het resultaat dat twee zonsverduisteringen een maand na elkaar kunnen plaatsvinden is belangrijk, omdat dit niet op waarnemingen kan worden gebaseerd: de ene is zichtbaar op het noordelijk en de andere op het zuidelijk halfrond – zoals Plinius aangeeft – en dit laatste was ontoegankelijk voor de Grieken.
Voorspelling van een zonsverduistering, d.w.z. precies wanneer en waar deze zichtbaar zal zijn, vereist een gedegen maantheorie en een juiste behandeling van de maanparallax. Hipparchus moet de eerste zijn geweest die dit kon doen. Een rigoureuze behandeling vereist sferische trigonometrie, dus degenen die er zeker van blijven dat Hipparchus die niet had, moeten speculeren dat hij zich misschien tevreden heeft gesteld met vlakke benaderingen. Hij kan deze dingen besproken hebben in Perí tēs katá plátos mēniaías tēs selēnēs kinēseōs (“Over de maandelijkse beweging van de maan in de breedtegraad”), een werk dat in de Suda genoemd wordt.
Pliny merkt ook op dat “hij ook ontdekte om welke precieze reden, hoewel de schaduw die de verduistering veroorzaakt vanaf zonsopgang onder de aarde moet zijn, het in het verleden een keer gebeurde dat de Maan in het westen werd verduisterd terwijl beide grootheden boven de aarde zichtbaar waren” (vertaling H. Rackham (1938), Loeb Classical Library 330 p. 207). Toomer (1980) stelde dat dit moet verwijzen naar de grote totale maansverduistering van 26 november 139 v.Chr., toen boven een heldere zeehorizon, gezien vanaf Rhodos, de Maan in het noordwesten werd verduisterd net nadat de Zon in het zuidoosten was opgekomen. Dit zou de tweede verduistering zijn van het interval van 345 jaar dat Hipparchus gebruikte om de traditionele Babylonische perioden te verifiëren: dit plaatst de ontwikkeling van Hipparchus’ maantheorie op een late datum. Wij weten niet welke “precieze reden” Hipparchus had om de Maan verduisterd te zien terwijl zij blijkbaar niet in oppositie met de Zon stond. Parallax verlaagt de hoogte van de hemellichamen; refractie verhoogt ze, en vanuit een hoog gezichtspunt wordt de horizon verlaagd.