Joseph-Louis Lagrange is een reus in de geschiedenis van de wiskunde. Hij heeft belangrijke bijdragen geleverd aan de ontwikkeling van de natuurkunde, de hemelmechanica, de calculus, de algebra, de getaltheorie en de groepentheorie. Hij was grotendeels autodidact en behaalde geen universitair diploma.
Gefascineerd door maxima en minima van functies, was Lagrange de belangrijkste grondlegger van de calculus van variaties.
In een verregaande herformulering van de wetten van Isaac Newton, schiep Lagrange een briljante nieuwe visie op de mechanica. Hij deed dit met behulp van de calculus van variaties om de brede implicaties van een enkel fysisch principe, virtueel werk, te onthullen. Een resultaat hiervan was de Lagrangiaanse functie, onmisbaar in de geavanceerde natuurkunde, berekend door de potentiële energie af te trekken van de kinetische energie.
Lagrange’s visie was geheel gebaseerd op algebra en calculus. Hij geloofde dat dit wiskundig rigoureuzer was dan de intuïtieve ideeën die uit de meetkunde voortkwamen. Hij was van mening dat zijn methoden de mechanica binnen het domein van de zuivere wiskunde plaatsten.
In de hemelmechanica ontdekte Lagrange de Lagrangiaanse punten, geliefd zowel bij science-fiction schrijvers als bij ontwerpers van ruimteobservatoria en -stations.
Lagrange gaf ons de bekende notatie f′(x) om de afgeleide van een functie weer te geven, f′(x) de tweede afgeleide, enz., en hij was het inderdaad die ons het woord afgeleide gaf.
Werkzaamheden en hoofdpunten
Joseph-Louis Lagrange was een productief autodidactisch wis- en natuurkundige. Enkele van zijn belangrijkste prestaties zijn:
Lagrange:
- Bouwde voort op eerder werk van Leonhard Euler om de calculus van variaties te creëren – hij noemde het zijn ‘methode van variaties.’
- Introduceerde de ∂-notatie en creëerde de eerste partiële differentiaalvergelijkingen.
- Gaf de meest algemene verklaring van het principe van de minste actie van zijn tijd.
- Creëerde een geheel nieuw gebied van mechanica, Lagrangiaanse mechanica, voor zowel vaste stoffen als vloeistoffen, gebaseerd op het concept van virtueel werk en gebruikmakend van de Lagrangiaanse functie.
- Introduceerde het concept van veralgemeende coördinaten. Lagrangiaanse mechanica kan in elk coördinatensysteem worden gebruikt – problemen worden vereenvoudigd door een geschikt systeem te kiezen.
- Ontdekte het begrip potentiaal: het gravitatieveld, bijvoorbeeld, is een potentiaalveld.
- Ontdekte Lagrangiaanse banen.
- Loste eeuwenoude problemen in de getaltheorie op, gesteld door Fermat, die andere wiskundigen hadden verslagen.
- Was een grondlegger van de groepentheorie.
- Speelde een sleutelrol bij de totstandkoming van het metrieke stelsel van maten en gewichten.
Begin
Joseph-Louis Lagrange werd op 25 januari 1736 geboren in een welvarende familie (zijn peetouders waren aristocraten) in de Italiaanse stad Turijn, Piëmonte.
Bij zijn geboorte heette hij Giuseppe Lodovico Lagrangia. De Franse vorm van zijn naam wordt meestal gebruikt omdat hij veel van zijn verhandelingen in het Frans schreef en zich, in het laatste deel van zijn leven, in Parijs vestigde.
Als tiener in Italië begon Joseph zichzelf Lagrange te noemen. Hij had Franse voorouders aan beide kanten van zijn familie, waar hij trots op schijnt te zijn geweest, hoewel hij zichzelf altijd meer als Piemontese dan als Franse beschouwde. Na vele jaren in Parijs behield hij zijn sterk Italiaans accent.
Joseph werd genoemd naar zijn vader, Giuseppe Francesco Lodovico Lagrangia, de schatbewaarder van de koning, verantwoordelijk voor de vestingwerken en infrastructuur van Turijn. Joseph’s moeder was Maria Teresa Grosso, dochter van een eminent arts. Jozef was de oudste van hun 11 kinderen, van wie er slechts twee hun kindertijd overleefden.
Onderwijs
In 1750, 14 jaar oud, werd Joseph student aan de Universiteit van Turijn. Verveeld door de geometrie van Euclides en Archimedes, had hij geen interesse in het studeren van wiskunde.
Hij was van plan in de voetsporen van zijn vader te treden en rechten te gaan studeren. Zijn vader was echter in financiële problemen geraakt door onverstandig te speculeren.
Josephs belangstelling voor wiskunde werd aangewakkerd toen hij een in de vorige eeuw door Edmund Halley geschreven artikel las waarin Halley algebraïsche vergelijkingen gebruikte om de optische prestaties van lenzen te beschrijven. In tegenstelling tot de meetkunde boeide de algebra van Halley hem.
Hij week af van de rechten en begon colleges wiskunde en natuurkunde bij te wonen. Hij genoot ervan, maar het waren de boeken van wiskundigen als Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, Colin Maclaurin en Jean d’Alembert die hem in een bijna wonderbaarlijk tempo vooruit hielpen.
Lagrange sliep niet veel. Hij maakte er een levenslange gewoonte van zichzelf wakker te houden voor lange werkuren met behulp van thee en koffie.
Lagrange’s Concept van Wiskunde
René Descartes en Pierre de Fermat hadden aangetoond dat meetkunde en algebra onderling verwisselbaar zijn. Het verband werd al lang vermoed. In de elfde eeuw had Omar Khayyam geschreven:
“Wie denkt dat algebra een truc is om onbekenden te verkrijgen, heeft het tevergeefs gedacht. Men moet geen aandacht schenken aan het feit dat algebra en meetkunde in uiterlijk verschillen. Algebra’s zijn meetkundige feiten die bewezen worden door Stellingen 5 en 6 van Boek 2 van Euclides’ Elementen.”
Isaac Newton had zijn beroemde systeem van de wereld in Principia gemaakt, steunend op meetkundige ideeën.
Lagrange begon steeds meer te geloven dat verdere vooruitgang in de mechanica zou worden afgeremd door de meetkunde. Hij gaf de voorkeur aan analyse – een volledig algebraïsche benadering van calculus.
“De grote meesters van de moderne analyse zijn Lagrange, Laplace en Gauss, die tijdgenoten waren… Lagrange is perfect zowel in vorm als in materie, hij legt zijn procedure zorgvuldig uit, en hoewel zijn argumenten algemeen zijn, zijn ze gemakkelijk te volgen. Laplace daarentegen legt niets uit… Gauss is even precies en elegant als Lagrange, maar nog moeilijker te volgen dan Laplace…”
Novice Mathematician
In 1754, op 18 jarige leeftijd, publiceerde Joseph Lagrange zijn eerste wiskundige werk: Brief aan Giulio Carlo da Fagnano. Daarin beschrijft hij zijn ontdekking dat de binomiale uitbreiding en de formule voor het differentiaal van een product identieke coëfficiënten hebben.
Dit was geen nieuw resultaat, al dacht hij aanvankelijk van wel.
Lagrange’s Leven in Context
Joseph Lagrange’s leven en de levens van verwante wiskundigen.
Joseph-Louis Lagrange’s Works
Calculus of Variations
In augustus 1755, 19 jaar oud, stuurde Lagrange een paper naar ’s werelds grootste levende wiskundige, Leonhard Euler. Hij beschreef zijn nieuwe methode voor het vinden van maxima en minima van functies, een briljante sprong voorwaarts in de calculus. In september 1755 schreef Euler terug dat hij grote bewondering had voor het werk van Lagrange.
Enkele dagen later werd Lagrange een baan aangeboden en aanvaard als assistent-professor in de wiskunde aan een artillerieschool in Turijn – de Koninklijke Militaire Academie. Hij verliet de universiteit van Turijn zonder diploma en begon les te geven & in de mechanica van de calculus. Zijn studenten waren allemaal ouder dan hij en hij was niet de beste leraar – hij was nogal timide en zijn colleges waren te gevorderd voor zijn studenten.
De daaropvolgende correspondentie tussen Lagrange en Euler leidde tot een nieuwe tak van de wiskunde – de calculus van variaties.
Euler was zo overweldigd door het belang van Lagrange’s werk dat hij voorstelde de jonge man uit Turijn te kiezen als buitenlands lid van de Berlijnse Academie. Lagrange werd gekozen op 2 september 1756, 20 jaar oud.
Lagrange heeft altijd geloofd dat het stichten van de calculus der variaties zijn grootste werk was. Het vestigde hem, terwijl hij nog een tiener was, als een van de grootste wiskundigen van de achttiende eeuw.
Hilbert en de calculus van variaties
David Hilbert
In 1900, 145 jaar nadat Lagrange de calculus van variaties opstelde, was het nog steeds een van de belangrijkste gebieden in de wiskunde. Toen David Hilbert zijn beroemde 23 problemen voorlegde aan de wiskundigen van de wereld, hadden drie daarvan betrekking op de variatierekening:
- Probleem 19: Zijn de oplossingen van regelmatige problemen in de variatierekening altijd noodzakelijk analytisch? Dit werd opgelost door Ennio de Giorgi en John F. Nash. Het antwoord is ja.
- Probleem 20: Hebben alle variatieproblemen met bepaalde randvoorwaarden oplossingen? Dit heeft een enorme hoeveelheid werk opgeleverd, uitgevoerd door een groot aantal wiskundigen. Het antwoord is ja.
- Probleem 23: Verdere ontwikkeling van de calculus van variaties is nodig. Dit is een probleem dat, zoals Hilbert erkende, geen definitieve oplossing heeft. Hij vond het echter zo belangrijk voor de toekomst van de wiskunde dat hij er graag zijn laatste probleem van maakte.
Een visie
Lagrange had grote ideeën. Op 20-jarige leeftijd was het zijn visie om de hele mechanica te verenigen met slechts één fundamenteel principe:
“Ik zal de volledige mechanica van vaste en vloeibare lichamen afleiden met behulp van het principe van de minste actie.”
Lagrange bereikte zijn doel uiteindelijk in de jaren 1780, en beschreef zijn succes in de Analytische Mechanica in 1788. Het enige verbindende principe bleek virtueel werk te zijn in plaats van de minste actie. Hij gebruikte virtueel werk voor het eerst in 1763 in een artikel over de libratie van de maan.
Oprichting van de Turijnse Academie van Wetenschappen
Lagrange kreeg genoeg van de stoffige wetenschappelijke opvattingen in Turijn. In 1757 richtte hij samen met twee andere oud-studenten de Turijnse Particuliere Vereniging op. Het doel van het genootschap was het wetenschappelijk onderzoek te cultiveren naar het voorbeeld van de Franse en Berlijnse Academies van Wetenschappen.
In 1759 begon het nieuwe genootschap met het uitgeven van een eigen tijdschrift in het Frans en Latijn: Mélanges de Philosophie et de Mathématique – Miscellany of Philosophy and Mathematics.
In 1783 werd het genootschap, met steun van de koning, de Koninklijke Academie van Wetenschappen van Turijn.
Moving Beyond Newton
Lagrange begon met het publiceren van zijn verhandelingen in het tijdschrift van zijn genootschap. In vele daarvan paste hij zijn nieuwe calculus van variaties toe op de fysische wereld om nieuwe resultaten te ontdekken en een nieuw licht te werpen op verschijnselen. Zijn verhandelingen uit deze periode zijn opgenomen in drie historische delen, die alle een verscheidenheid aan baanbrekende verhandelingen bevatten, waaronder:
- De theorie van de voortplanting van geluid, met inbegrip van de eerste volledige wiskundige beschrijving van een snaar die trilt als een transversale golf. Ook het eerste gebruik van differentiaalrekening in de waarschijnlijkheidsrekening.
- De theorie en notatie van de variatierekening, oplossingen voor dynamica-problemen, en deductie van het principe van de kleinste actie.
- Oplossingen voor meer dynamica-problemen, het eerste gebruik van de Lagrangiaanse functie, algemene differentiaalvergelijkingen die drie lichamen beschrijven die wederzijds worden aangetrokken door de zwaartekracht, de integratie van differentiaalvergelijkingen, en de oplossing van een eeuwenoud probleem dat Pierre de Fermat in de getaltheorie had gesteld.
Tidal Locking & Libratie van de maan
In 1764 won Lagrange de prijs van de Franse Academie van Wetenschappen voor zijn studie waarin hij beschreef waarom we maar één gezicht van de maan zien en waarom we libratie waarnemen. Libratie is een schijnbaar wiebelen en schommelen van de maan veroorzaakt door baaneffecten, waardoor we meer van haar oppervlak zien dan we zouden verwachten. Als gevolg van de libratie van de maan kunnen we, wanneer we haar over een bepaalde periode waarnemen, in feite ongeveer 59 procent van haar oppervlak zien in plaats van de 50 procent die we aanvankelijk zouden verwachten.
Lagrange’s prijswinnende inzending was ook belangrijk omdat hij voor het eerst het principe van de virtuele arbeid gebruikte: later gebruikte hij dit principe als de basis van de Lagrangiaanse mechanica.
De manen van Jupiter
In 1766 won Lagrange opnieuw de prijs van de Franse Academie van Wetenschappen, ditmaal voor zijn verklaring van de banen van de manen van Jupiter.
De Berlijnse Jaren: 1766-1786
Op 30-jarige leeftijd verhuisde Lagrange naar Berlijn, waar hij Euler verving als directeur wiskunde aan de Pruisische Academie van Wetenschappen. De Academie had geprobeerd hem aan te trekken sinds hij 19 was, maar hij had geweigerd omdat hij voelde dat hij in de schaduw van Euler zou staan.
De 20 jaar die Lagrange in Berlijn doorbracht waren zijn meest produktieve. Hoewel hij soms zijn werk moest onderbreken wegens slechte gezondheid, publiceerde hij, wanneer zijn gezondheidstoestand goed was, originele en waardevolle verhandelingen met een snelheid van ongeveer één per maand. De meeste werden gepubliceerd door de Berlijnse Academie, terwijl andere verschenen in twee andere delen van Mélanges de Philosophie et de Mathématique.
Partiële differentiaalvergelijkingen
In de jaren 1770 en de eerste helft van de jaren 1780 was Lagrange’s output over differentiaalvergelijkingen enorm, wat resulteerde in het ontstaan van de wiskunde van de partiële differentiaalvergelijkingen.
Partiële differentiaalvergelijkingen
Differentiaalvergelijkingen kunnen worden gebruikt om veranderingen in de echte wereld te beschrijven. Ze beschrijven het verband tussen een fysische grootheid, zoals snelheid, en de snelheid waarmee die verandert.
Ordinaire differentiaalvergelijkingen beschrijven een enkele veranderende grootheid, zoals snelheid.
Een kansdichtheidsgrafiek voor een elektron in de 2p elektronenbaan van een waterstofatoom. De grafiek is opgebouwd uit de oplossing van de Schrödingervergelijking – een partiële differentiaalvergelijking.
Lagrange creëerde partiële differentiaalvergelijkingen om ingewikkelder situaties te beschrijven waarin meer dan één grootheid verandert – in wiskundig jargon beschrijven partiële differentiaalvergelijkingen een functie van meerdere veranderende variabelen.
Zo is de Schrödingervergelijking een bekende partiële differentiaalvergelijking in de kwantummechanica waarvan de oplossing het mogelijk maakt om elektronenbanen af te leiden. Deze orbitalen beschrijven het volume waarbinnen we een elektron in een atoom verwachten aan te treffen.
Groeptheorie & Symmetrie
Langrange’s stelling, daterend uit 1771, houdt in dat de orde van een subgroep altijd precies de orde van de groep moet delen. Dit was een van de vroegste stappen in de groepentheorie.
Lagrangiaanse Punten
In 1772 keerde Lagrange terug naar een probleem dat hem intrigeerde – het drielichamenprobleem in de zwaartekracht. Zijn verhandeling over dit onderwerp, Essai sur le Problème des Trois Corps, leidde ertoe dat hij opnieuw de prijs van de Franse Academie van Wetenschappen won.
Hij beschouwde een situatie waarin twee objecten met een relatief grote massa, zoals de aarde en de zon, om een wederzijds zwaartepunt draaien. Hij berekende de zwaartekrachtpotentiaal voor dit soort situaties, samengevat in onderstaande isolijnenkaart.
Gravitatiepotentiaal-contourenkaart voor het aarde-zon-systeem, met de vijf Lagrangiaanse punten: L1, L2, L3, L4, L5.
Waar de contourlijnen dicht bij elkaar liggen, is de gravitatiepotentiaal hoog. Evenzo waar de lijnen verder uit elkaar liggen, is de gravitatiepotentiaal lager.
Lagrange identificeerde vijf evenwichtspunten, de Lagrangiaanse punten L1, L2, L3, L4, en L5. Objecten op deze punten houden hun positie ten opzichte van de twee grotere massa’s. (Euler identificeerde de punten L1, L2, en L3, een paar jaar eerder in een minder grondige analyse.)
Heden ten dage bevindt NASA’s Solar and Heliospheric Observatory Satellite zich op het aarde-zon L1 punt, waardoor de zon zonder onderbreking kan worden bekeken vanaf een stabiel platform.
De James Webb-ruimtetelescoop, opvolger van de Hubble-ruimtetelescoop, zal volgens de planning in 2020 op het L2-punt van de aarde-zon worden geplaatst.
Lagrangiaanse Mechanica
Lagrange voltooide zijn meesterwerk, Analytische Mechanica, in Berlijn in het begin van de jaren 1780. Het zou nog verscheidene jaren duren voordat hij een uitgever vond.
“Ik heb bijna een boek voltooid over analytische mechanica, dat alleen gebaseerd is op het principe . Maar omdat ik nog geen idee heb waar en wanneer het gepubliceerd kan worden, heb ik geen haast om het af te maken.”
Lagrange was er trots op dat zijn boek geen diagrammen bevatte: hij beschouwde de mechanica als een tak van de zuivere wiskunde – een meetkunde van vier dimensies – drie van ruimte, één van tijd. Hij geloofde dat grotere waarheden zouden worden gevonden in de strengheid van algebra en calculus, samengevoegd in analyse, dan in wat hij zag als intuïtief denken, weergegeven in diagrammen. Hij was er trots op dat hij de mechanica uit de meetkunde had gehaald en stevig in het domein van de analyse had geplaatst.
Lagrange werkte alles uit vanuit één enkel fundamenteel principe: virtuele arbeid. Uitgaande van dit principe, waarop hij de variatierekening toepaste, produceerde hij de Lagrangiaanse functie in veralgemeende coördinaten, waardoor een groot aantal problemen in de mechanica vanuit een nieuwe richting konden worden benaderd, en voorheen onoplosbare problemen konden worden opgelost.
Lagrangiaanse mechanica leidde tot een diepgaander begrip van de fysieke wereld. Bijvoorbeeld, meer dan 150 jaar nadat Lagrange Analytische Mechanica schreef, leidde Paul Dirac’s artikel The Lagrangian in Quantum Mechanics Richard Feynman naar een geheel nieuwe formulering van quantummechanica, vervolgens padintegralen, en uiteindelijk de volledige oplossing van quantum elektrodynamica die hij beschreef als “het juweel van de natuurkunde.”
De Parijse Jaren: 1786-1813
Hoewel Lagrange zijn meesterwerk Analytische Mechanica in Berlijn schreef, werd het pas in 1788 gepubliceerd, nadat hij op uitnodiging van de Franse Academie van Wetenschappen naar Parijs was verhuisd.
In zijn eerste jaren in Parijs werd Lagrange overweldigd door depressies en een gebrek aan energie – hij vond dat niets zijn belangstelling kon vasthouden. Twee dingen hielpen hem uit zijn lethargie: zijn huwelijk in 1792 met een jonge, sympathieke vrouw; en zijn benoeming tot voorzitter van de commissie voor maten en gewichten in 1793.
De Terreur overleven
Het Terreurbewind van de Franse Revolutie begon in 1793. Lagrange overleefde het. Het hielp dat hij een buitenlander was. Ook was hij zachtaardig en deed altijd zijn best om ruzie en politiek te vermijden.
Antoine Lavoisier, een eerder lid van de commissie voor maten en gewichten, en een grondlegger van de moderne scheikunde, had niet zoveel geluk: hij verloor zijn hoofd in 1794. Lagrange was ontzet over het lot van Lavoisier en merkte op:
“Het duurde maar een ogenblik voor zijn hoofd viel, maar honderd jaar zouden niet volstaan om zijn gelijke te reproduceren.”
Het metrieke stelsel
Lagrange pleitte sterk voor de invoering van de kilogram en de meter. Deze werden in 1799 door de commissie aanvaard.
Ècole Polytechnique
In 1794 werd in Parijs de Ècole Polytechnique geopend, waar Lagrange, nu 58 jaar oud, tot hoogleraar in de wiskunde werd benoemd. Zijn lezingen werden gesmaakt door andere professoren. Alle studenten, behalve de meest bekwame, vonden ze echter te moeilijk. Dit was vergelijkbaar met de situatie vele jaren eerder, toen hij als tiener colleges gaf in Turijn.
Sophie Germain, uitgesloten van de Polytechnique omdat zij een vrouw was, kreeg Lagrange’s Analyse collegestukken in handen en was er verrukt over: het waren de beste wiskunde aantekeningen die zij had gezien. Lagrange hoorde van Germain’s wiskundig talent, bezocht haar, en verspreidde het woord over haar genialiteit.
Familie en het einde
In 1767, 31 jaar oud, trouwde Lagrange met zijn nicht Vittoria Conti. Hij wilde geen kinderen en de twee waren aangename gezellen – ze kenden elkaar al lang. Geen van beiden had een goede gezondheid, en Vittoria was vaak ziek. Zij stierf in 1783 na 16 jaar huwelijk. Lagrange treurde diep om haar en werd depressief.
In Parijs, in 1792, werd de 24-jarige Renée-Françoise-Adélaide Le Monnier verknocht aan Lagrange, die 56 jaar oud was. Zij leerde hem kennen via haar vader, de astronoom Pierre Charles Le Monnier. Renée had medelijden met Lagrange – hij was een briljant man die geen zin meer leek te hebben in het leven; hij leek ongewoon droevig en de wereld moe te zijn. Renée besloot met hem te trouwen, en weerstond alle bezwaren. De twee trouwden en het werd een gelukkige verbintenis voor beiden. Zij kregen geen kinderen.
In 1802 werd Lagrange Frans staatsburger.
Lagrange woonde regelmatig de rooms-katholieke mis bij, hoewel hij verder weinig over zijn geloof schijnt te hebben gezegd.
Joseph-Louis Lagrange overleed, 77 jaar oud, op 10 april 1813 in Parijs. Hij overleefde zijn vrouw Renée en werd begraven in het Panthéon, de laatste rustplaats van vele eminente mensen, waaronder Voltaire, Victor Hugo, Lazare Carnot, Marcellin Berthelot, Paul Langevin, en Pierre & Marie Curie.
Toen de Eiffeltoren in 1889 werd geopend, was Lagrange een van de 72 Franse wetenschappers, ingenieurs en wiskundigen wier namen werden gegraveerd op plaquettes op de toren.
“Al zijn wiskundige composities zijn opmerkelijk door een bijzondere elegantie, door de symmetrie van de vormen en de algemeenheid van de methoden, en als men zo mag spreken, door de perfectie van de analytische stijl.”
Auteur van deze pagina: The Doc
© Alle rechten voorbehouden.
Citeer deze pagina
Gebruik de volgende MLA-conforme citatie:
Gepubliceerd door FamousScientists.org
Verder lezen
W. W. Rouse Ball
A Short Account of The History of Mathematics
MacMillan and Co. Limited, London, 1940
Craig Fraser
J. L. Lagrange’s Early Contributions to the Principles and Methods of Mechanics
Archief voor de Geschiedenis van de Exacte Wetenschappen, Vol. 28, pp. 197-241, 1983
Judith V. Grabiner
A Historian Looks Back: The Calculus as Algebra and Selected Writings
The Mathematical Association of America, Oct 2010
J.L. Lagrange
Analytical Mechanics: Vertaald en bewerkt door Auguste Boissonnade en Victor N. Vagliente
Springer Science & Business Media, Apr 2013