Deze Thanksgiving was ik op stap met mijn nichtje, die kaarten deelde uit een standaard spel van 52 kaarten. Ik stelde haar de vraag:
“Hoe vaak kun je het hele kaartspel delen en een unieke volgorde van kaarten zien – anders dan elke andere keer dat je het kaartspel deelde in het verleden?”
Of om het anders te zeggen,
“Hoeveel unieke deals (‘permutaties’) van alle 52 kaarten zijn er?”
Als je aan getaltheorie hebt gedaan (of naar de titel van dit bericht hebt gekeken), weet je het antwoord – 52! (Aka 52 factorial. Ik zou echter net zo opgewonden zijn als 52 het antwoord zou zijn – dat zou heel vreemd en interessant zijn)
Ik heb online gezocht naar manieren om dat getal te doorgronden, en kreeg variaties op hetzelfde antwoord, die voor mijn neef tamelijk onverklaarbaar waren. Dus in plaats daarvan heb ik besloten zelf een poging te wagen.
Stel je voor dat je stopt met alles wat je aan het doen was, en voor de rest van je leven, elke seconde van je leven, dag en nacht, krijg je een nieuwe, magisch geschudde hand van alle 52 kaarten. Deze magie maakt het zo dat je nooit een hand krijgt die je al eerder hebt gezien. Je wilt weten hoeveel unieke deals er zijn, en hebt een diep wantrouwen tegenover wiskundigen – je moet het met je eigen ogen zien.
Je hebt eerst een hand die toevallig begint met de klaveren boer, dan de harten boer, dan de schoppen boer en dan de 49 andere kaarten. “Hmm, interessant!” Denk je… bij jezelf, want je hebt waarschijnlijk niet veel vrienden als dit je hobby is.
De volgende seconde heb je een hand die begint met de Aas van Harten en dan de 51 andere kaarten heeft.
Je gaat maar door, en tegen de volgende week ben je behoorlijk verveeld. Wanneer ben ik nou eens klaar? Die dinsdag zie je een deal die de Harten Boer heeft, dan de Klaveren Boer, dan de Schoppen Boer en al de rest van de kaarten op exact dezelfde positie als je in de eerste deal kreeg.
“Wow, dat is super interessant, en super dicht bij de eerste hand, maar nog steeds een nieuwe hand!” Roep je uit tegen een kamer vol lege pizzadozen, en op dit punt denkbeeldige vrienden, want je hebt al een week niet geslapen.
Je realiseert je dat je wat hulp nodig hebt om dit te blijven doen. Dus overtuig je alle andere mensen op aarde, alle 7 biljoen, om het samen met jou te doen, elke seconde van elke dag. Je moet dit uitvogelen! Om de een of andere reden lukt het je niet de wiskundigen over te halen aan je project mee te werken, maar nogmaals, je bent nooit een grote fan van ze geweest.
Nog steeds gaat het niet snel genoeg. Je besluit een tijdmachine uit te vinden, en een fontein van de jeugd, en iedereen gaat terug naar het begin van het universum, en begint opnieuw met alle 7 Miljard mensen die allemaal een handje kaarten, de hele dag, elke dag, één keer per seconde per persoon. Je denkt dat dit zeker zal werken, en dan krijg je dinosaurussen te zien! Er zijn heel wat seconden tussen nu en het begin van het heelal – je vroeg het aan een Astronoom en die vertelde je dat er sindsdien 4×10^27 seconden waren, of 4 gevolgd door 17 nullen. De wiskundigen gaan met je mee, maar weigeren nog steeds te helpen bij het delen van de kaarten. Ze doen alleen mee om dinosaurussen te zien, zeggen ze. Eentje roept: “
Dit maakt je een beetje ongemakkelijk, maar je hebt geen tijd voor hun capriolen, en je vergeet ze snel als je weer kaarten gaat delen.
De Big Bang vindt plaats, en het heelal dijt uit. De sterrenstelsels worden gevormd en de eerste sterren ontstaan en exploderen, waardoor de kosmos wordt gevoed met ijzer en andere zware elementen. Het zonnestelsel wordt gevormd, en zo langzaamaan de planeten. De aarde koelt af, er vormt zich een oceaan en er ontstaat leven. Ondertussen delen 7 miljard mensen, elke dag, de hele dag, elke seconde, unieke kaarten. Dinosaurussen zwerven over de aarde, en worden dan weggevaagd. Vele eonen geleden ben je de meest gehate persoon in het bestaan geworden voor het creëren van dit project en het overtuigen van iedereen om met je mee te doen. De tijd blijft verstrijken en de mensen blijven kaarten delen totdat we weer op de datum van vandaag zijn.
Je kijkt terug op alle vooruitgang die je hebt geboekt. Wow! We zijn in staat geweest om 3×10^27 combinaties te doen, dat is verbazingwekkend! Dat is een 3 gevolgd door 27 nullen. Zoveel verschillende deals van het kaartspel, allemaal uniek.
“We moeten dichtbij zijn!”, zeg je zelfverzekerd tegen de dichtstbijzijnde uitgeputte kaart-gooiende mensen. Ze kijken je aan met pure haat in hun ogen. Je zou willen dat je misschien gewoon had geprobeerd een wiskundige te vragen of het überhaupt mogelijk is om alle unieke deals te vinden (de wiskundigen noemen dit ‘permutaties’).
De slimste en aardigste wiskundige tikt je op de schouder. Je hebt haar gevraagd in kaart te brengen hoe ver je bent met het verzamelen van alle verschillende mogelijkheden, want ze leek niet zo hard te giechelen als de anderen toen ze langsliep en je kaarten zag delen. Ze overhandigt je een kaart.
“Wat is dit, een of andere zieke grap?” Vraag je, woedend als ze je een grafiek overhandigt van een voortgangsbalk die blanco is.
“We moeten weer tijdreizen naar het begin van het universum… je hebt meer tijd nodig om het af te maken…” Ze suggereert voorzichtig.
“Oké, nou, prima. Hoeveel keer nog?” Je schiet terug, nog steeds woedend.
“10^40 keer…” Er valt een pauze terwijl je haar wezenloos aanstaart.
“Laat me het getal zeggen”, zegt ze, “Ik denk niet dat die wetenschappelijke notatie je echt is bijgebleven… Het is: Drie, nul, nul, nul, nul, nul, nul…”
“Schrijf het nou maar op”, onderbreek je haar, onder je adem mompelend over dat je wiskundigen toch al nooit echt hebt gemogen.
Ze schrijft het op een stuk papier en legt uit: “Je moet dit experiment met alle 7 miljard mensen voortzetten, herhaaldelijk terugkeren naar het begin van het universum om meer seconden te krijgen om kaarten te delen.”
“Zoveel keer moet je terug in de tijd reizen”, herhaalt ze zelfverzekerd, met een noot van medelijden in haar stem.
Op het papiertje staat: “30.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 keer”.
Je knieën begeven het en je zakt op de grond.
In het diepst van je wanhoop kijk je op naar de wiskundige. Ze glimlacht.
“Weet je, je had het ons wiskundigen in het begin ook gewoon kunnen vragen. Het aantal combinaties is 52!, dat is gewoon 52*51*50…*3*2*1. Dat is ongeveer 8×10^67, of 8 met 67 nullen erachter.”
Je knikt, je voelt je opgelucht dat je het antwoord weet. Dan kijk je omhoog. Je ziet 7 miljard mensen, die net allemaal hun werk hebben neergelegd en je vreemd aankijken. Hun blik bevalt je niet. Terwijl ze opstaan en naar je toe bewegen, ren je naar je tijdmachine, die je zo instelt dat alleen jijzelf naar de Jura-periode wordt getransporteerd.
“Ik had de wiskundigen moeten vertrouwen ….! !” Je stem vervaagt als je begint met de tijdreis. Je weet nog steeds niet zeker of je begrijpt hoe grote getallen of waarschijnlijkheid werken, maar je denkt dat het verstandig is om in plaats daarvan je kans te wagen met de verschrikkelijke hagedissen.
Op de achtergrond beginnen de wiskundigen weer te giechelen.
Getallen:
- Leeftijd heelal = 4×10^17
- 7.000.000.000 = 7×10^9
- 52! = 8×10^67
- 52! / 7 Miljard / leeftijd heelal in seconden = 3×10^40