De wereld van de wiskunde kent vele soorten getallen, elk met zijn eigen bijzondere eigenschappen. Wiskundigen formuleren theorieën over de relaties tussen getallen en getallengroepen. Zij onderbouwen hun theorieën met axioma’s (eerder vastgestelde stellingen die voor waar worden aangenomen) en stellingen (stellingen die gebaseerd zijn op andere stellingen of axioma’s).
De eerste stap in het opbouwen van een glanzende, nieuwe, wiskundige theorie is echter het stellen van een theoretische vraag over getalrelaties. Bijvoorbeeld, kan de som van twee kubussen een kubus zijn? Herinner je je de Pythagoras-driehoeken van de vorige pagina? Deze driehoeken van drie getallen, zoals (3, 4, 5), lossen de vergelijking a2 + b2 = c2 op. Maar hoe zit het met a3 + b3 = c3? De wiskundige Pierre de Fermat stelde dezelfde vraag over kubussen en in 1637 beweerde hij een wiskundig bewijs te hebben uitgewerkt dat, via regel na regel van nauwgezette logica, onomstotelijk aantoonde dat nee, de som van twee kubussen geen kubus kan zijn. We noemen dit de Laatste Stelling van Fermat. In plaats van het volledige bewijs in zijn aantekeningen te vermelden, schreef Fermat helaas slechts: “Ik heb een werkelijk wonderbaarlijke demonstratie van deze stelling die deze marge te smal is om te bevatten”.
Ontdekking
Meer dan drie en een halve eeuw volgden waarin wiskundigen over de hele wereld tevergeefs probeerden het bewijs van Fermat te herontdekken. Wat was de inzet van deze zoektocht? Niets, behalve academische trots en de liefde voor zuivere, abstracte wiskunde. In 1993 slaagde de Engelse wiskundige Andrew Wiles erin om met behulp van computationele wiskunde, die in de tijd van Fermat nog niet ontdekt was, de 356 jaar oude stelling te bewijzen. Experts blijven betwisten of Fermat werkelijk zo’n fenomenaal bewijs heeft uitgewerkt in zijn precomputertijd, of dat hij zich vergist heeft.
Andere vragen in de getaltheorie hadden betrekking op verschillende waargenomen of theoretische patronen in getallen of getallengroepen. Het begint allemaal met dat meest cruciale aspect van intelligent denken: patroonherkenning. Brown University wiskundeprofessor Joseph H. Silverman zet vijf basisstappen in de getaltheorie uiteen:
- Verzamel wiskundige of abstracte gegevens.
- Bekijk de gegevens en zoek naar patronen of verbanden.
- Entwikkel een vermoeden (meestal in de vorm van een vergelijking) om deze patronen of verbanden te verklaren.
- Toets het vermoeden met aanvullende gegevens.
- Ontwikkel een bewijs waaruit blijkt dat het vermoeden juist is. Het bewijs moet beginnen met bekende feiten en eindigen met het gewenste resultaat.
De laatste stelling van Fermat was dus eigenlijk 356 jaar lang een gissing en werd pas in 1993 een echte stelling. Andere, zoals Euclides’ Bewijs van Oneindige Priemgetallen (dat bewijst dat priemgetallen oneindig zijn), is sinds 300 v. Chr. een solide model van wiskundig redeneren gebleven. Nog andere getaltheoretische vermoedens, zowel oude als nieuwe, blijven onbewijsbaar.
Getallen zijn even oneindig als het menselijk begrip eindig is, dus getaltheorie en de verschillende deelgebieden ervan zullen de geesten van wiskundeliefhebbers eeuwenlang blijven boeien. Oude problemen kunnen vallen, maar nieuwe en meer ingewikkelde gissingen zullen rijzen.
Verken de links op de volgende pagina voor meer informatie over wiskunde.
Advertentie