Ik ben de laatste tijd op zoek naar een paar goede films over wiskunde en ik heb “Good Will Hunting” gevonden. Het is een oude film (1997), maar ook al heb ik er veel over gehoord, ik heb hem nooit gezien. Dus ik dacht dat het tijd was om hem eens te proberen. De film volgt een 20-jarige arbeider Will Hunting, een niet-erkende genie die, als onderdeel van een uitgestelde vervolging overeenkomst na het aanvallen van een politieagent, wordt een cliënt van een therapeut en studeert geavanceerde wiskunde met een gerenommeerde professor.
De film is ongelooflijk en ik vond het geweldig. Je krijgt te zien hoe Will zijn relaties met de mensen om hem heen her-evalueert en hoe hij de confrontatie met zijn verleden aangaat en beslissingen neemt over zijn toekomst. Deze film is een echte aanrader. Ik wil het in dit bericht niet hebben over het sentimentele gedeelte, maar ik wil wel enkele interessante wiskunde noemen die erin voorkomt.
Het probleem waar ik het over heb is dat aan het begin van de film, wanneer de professor zijn studenten een lastige opdracht geeft:
Het probleem is niet erg gemakkelijk te begrijpen, want er komt nogal wat wiskunde van universitair niveau bij kijken: lineaire algebra (elementaire theorie van matrices, machten van matrices, Jordaanse normaalvorm), analyse (convergentie in genormeerde vectorruimten, machtsreeksen, convergentie van machtsreeksen), combinatoriek (genererende functie, tellen, recurrentieformules) en grafentheorie (adjacency matrix, paden, machten van de adjacency matrix).
Het probleem komt meestal uit het wiskundegebied dat Grafentheorie heet. Dit is de studie van grafieken – wiskundige structuren die paarsgewijze relaties tussen objecten modelleren. Een grafiek in deze context bestaat uit hoekpunten, knopen of punten, die met elkaar verbonden zijn door randen, bogen of lijnen. We kunnen zeggen dat grafieken ongericht (er is geen onderscheid tussen de 2 hoekpunten die bij elke rand horen) en gericht (de randen zijn gericht van het ene hoekpunt naar het andere) kunnen zijn.
Het blijkt dat het probleem uiteindelijk te maken heeft met de formule van Cayley die stelt dat het aantal gelabelde bomen op n knooppunten nn-2 is. Vervolgens somt hij 8 verschillende ongelabelde bomen op met 10 knopen. Om hier meer licht op te werpen, moet je begrijpen dat een boom een ongerichte grafiek is waarin elke twee hoekpunten verbonden zijn door precies één pad. Voor het geval je het je afvraagt, de wiskunde kent in dit geval ook het begrip bos: een disjuncte unie van bomen.
Voor een meer wiskundige uitleg raad ik je aan Wiskunde in de Goede Wil II te lezen: Problemen vanuit het perspectief van de student. Ook Numberphile heeft een geweldig filmpje over dit probleem:
Totally advice you to read more about this and maybe (why not?!) start reading about graph theory (click the image for more information):
Have a great week. Je kunt me vinden op Facebook, Tumblr, Google+, Twitter en Instagram. Ik zal proberen om daar zo vaak mogelijk te posten.
Vergeet niet dat wiskunde overal is! Veel plezier!
