Let's Calculate How Many Balloons David Blaine Needed to Float

Pretty much much everyone loves balloons-especially younger children. Dzieci powoli budują swoje wyobrażenia o tym, jak działa wszechświat (poprzez swoje obserwacje) i już wiedzą, że kiedy coś puszczasz, to spada. Ale balon wypełniony helem łamie zasady. Wznosi się do góry. To po prostu wydaje się magiczne.

Starsi ludzie wciąż mają ukrytą fascynację tymi balonami. Każdy z nas w pewnym momencie rozważał pytanie: Ile z nich potrzebowałbym, aby unieść się z ziemi? Cóż, to jest dokładnie to, co David Blaine zrobił dla swojego ostatniego wyczynu, który nazwał Wniebowstąpieniem. Wykorzystał on kilka dużych balonów, które uniosły go na wysokość 24 000 stóp. W tym momencie odłączył się od balonów i użył spadochronu, aby dostać się z powrotem na dół.

Myślę, że najlepszą częścią tego wyczynu było początkowe uruchomienie. Zespół ustawił balony w taki sposób, że istniała niemal idealna równowaga między siłą wyporu balonów a siłą grawitacji ciągnącą Blaine’a w dół, dzięki czemu w większości przypadków unosił się on tuż nad ziemią. (Kilka osób trzymało się go, aby upewnić się, że nie odpłynie przedwcześnie w górę). Następnie, aby mógł rozpocząć swoją podróż w górę, jego córka dodała jeszcze jeden balon, a on wręczył jej ciężar, który trzymał w ręku. To całkiem fajny sposób na wznoszenie się.

A teraz pytania i odpowiedzi.

Dlaczego balony z helem unoszą się w powietrzu?

Balony nie unoszą się dzięki magii. Zamiast tego, jest to wynik grawitacji i atmosfery. Tak, to prawda. Balon nie unosiłby się bez grawitacji.

Wyobraźmy sobie atmosferę jako zbiór kulek – z tym, że te kulki są w rzeczywistości cząsteczkami głównie azotu wraz z odrobiną tlenu. Każda z tych kulek porusza się z pewną średnią prędkością i jest ciągnięta w dół przez grawitacyjne oddziaływanie z Ziemią. Można więc myśleć o tych gazowych kulkach jak o piłce tenisowej rzucanej po pokoju, z tą różnicą, że są one bardzo malutkie. Aha, i tych piłeczek jest cała masa. Oznacza to, że oddziałują one z innymi kulkami gazowymi. Można myśleć o tych interakcjach jak o zderzeniach. To właśnie te wszystkie zderzenia kulek z kulkami sprawiają, że nie kończą one po prostu na ziemi. Poza tym byłoby strasznie niezręcznie, gdyby całe powietrze zebrało się na najniższym poziomie, bo wtedy nie można by było oddychać.

Gdy dwie kulki gazu zderzają się ze sobą, czasem jedna z kulek zostaje odchylona w górę, a czasem w bok. Ponieważ jednak istnieje również oddziaływanie grawitacyjne ściągające kulki w dół, jest ich więcej bliżej ziemi. To dlatego gęstość powietrza maleje, gdy poruszamy się pionowo w górę. Gęstość powietrza przy ziemi wynosi około 1,2 kg/m3 i spada do około 0,59 kg/m3 na wysokości 7000 metrów (blisko 24000 stóp). Ale nawet na dystansie od dołu balonu do góry, gęstość powietrza zmienia się – tylko trochę.

Teraz umieśćmy w powietrzu jakiś obiekt. Użyję do tego celu cegły. Lubię cegłę, ponieważ wyraźnie nie unosi się w powietrzu, ale ma też płaskie powierzchnie, co ułatwi mi wyjaśnienie. Ponieważ małe kulki powietrza poruszają się w powietrzu, niektóre z nich zderzą się z powierzchnią cegły. Gdy kulka odbije się od cegły, powoduje to maleńkie pchnięcie na tę cegłę. Całkowita siła działająca na jedną powierzchnię cegły zależy od powierzchni tej cegły i ciśnienia powietrza. Dla przypomnienia, związek między siłą a ciśnieniem można wyrazić następującym równaniem, gdzie P to ciśnienie, A to powierzchnia, a F to siła.

Więc, jeśli masz dużą powierzchnię i małe ciśnienie, nadal możesz uzyskać dużą siłę. W tym wyrażeniu ciśnienie jest spowodowane atmosferą – to te kule gazu poruszające się i zderzające się z rzeczami. I tu jest fajna część. Ponieważ bliżej ziemi znajduje się więcej kulek gazu, ciśnienie zależy od gęstości powietrza, a pamiętajmy, że gęstość zależy od wysokości nad poziomem morza. Oznacza to, że siła pochodząca od powietrza napierającego na górną część cegły jest inna niż siła na dolną część cegły. Najlepiej opisać te zderzenia w kategoriach ciśnienia i modelować zmianę ciśnienia za pomocą następującego równania.

W tym wyrażeniu P0 to ciśnienie w jakimś arbitralnym punkcie, gdzie y = 0 (w kierunku pionowym), g to pole grawitacyjne (9,8 N/kg), a ρ to gęstość powietrza. Zatem wraz ze wzrostem y ciśnienie maleje. Uwaga: Ta liniowa zależność jest prawdziwa tylko w przybliżeniu. Kiedy znajdziesz się naprawdę daleko nad powierzchnią ziemi, nie działa. Ale dzięki temu można zauważyć, że siła pochodząca od powietrza na górze cegły powinna być mniejsza niż siła na dole cegły.

Zauważ, że siły napierające na lewą i prawą stronę cegły znajdują się na tej samej wysokości. Oznacza to, że siła netto w kierunku poziomym wynosi zero – siły te się znoszą. Jednak siła naciskająca na cegłę w górę (od dołu) jest większa niż siła naciskająca w dół, ponieważ spód cegły znajduje się na niższej wysokości – nawet tylko o odrobinę. Jeśli cegła ma wysokość h, to całkowita siła pochodząca od powietrza w kierunku pionowym wyniosłaby:

Zauważ, że pominąłem pewne kroki algebraiczne, ale nie jest zbyt trudno zobaczyć, jak to działa. Ale czekaj! Jeśli pomnożę wysokość cegły (h) przez pole powierzchni spodu (A), otrzymam objętość (V) cegły. Następnie, jeśli pomnożę objętość cegły przez gęstość powietrza (ρ), otrzymam masę – masę powierzchni o tej samej objętości co cegła. Gdy pomnożymy tę masę i pole grawitacyjne (g), otrzymamy ciężar powietrza wypartego przez cegłę.

Boom. To jest słynna zasada Archimedesa. Mówi ona, że gdy obiekt znajduje się w wodzie, działa na niego siła wyporu skierowana ku górze. Wartość tej siły wyporu jest równa ciężarowi wypartej wody. Ale zasada ta działa również w przypadku wypartego powietrza. Tak, na cegłę działa siła wyporu skierowana ku górze. Cegła nie unosi się jak balon, ponieważ na cegłę działa również siła grawitacji skierowana w dół – a ta siła skierowana w dół jest znacznie większa niż siła wyporu skierowana w górę.

Och, tu jest fajna część. Nie ma nawet znaczenia, czy prostokątną cegłę zastąpimy kulistym balonem. Siła wyporu nadal zależy tylko od gęstości powietrza i objętości obiektu. Dlaczego więc balon z helem unosi się na wodzie? Jedyną szczególną cechą gazu helowego jest to, że ma on znacznie mniejszą gęstość niż powietrze (gęstość helu wynosi 0,179 kg/m3, a powietrza 1,2 kg/m3). Oznacza to, że siła grawitacji przyciągająca balon w dół byłaby mniejsza niż siła wyporu w górę, a balon unosiłby się na wodzie. Dla jasności, balon wypełniony wodą i balon z helem tej samej wielkości mają taką samą siłę wyporu. Po prostu waga balonu wypełnionego wodą jest ogromna.

Ile balonów potrzeba, aby unieść osobę?

Nie twierdzę, że powinieneś unieść się w powietrze za pomocą pęku balonów, ale powiedzmy, że chcesz oszacować liczbę balonów, których byś potrzebował. Nie byłoby zbyt trudno obliczyć objętość powietrza, która miałaby masę równą masie człowieka, a następnie znaleźć potrzebną objętość helu, ale to nie uwzględnia czegoś bardzo ważnego – gumy w balonie. Tak, ma ona niewielką masę, ale nadal ma znaczenie. Załóżmy, że mam jakiś ogólny kulisty balon wykonany z gumy o dowolnej grubości. Może wygląda on tak.

Ten balon ma promień R przy grubości gumy t, i jest wypełniony helem. Muszę znaleźć masę (a więc i ciężar) zarówno gazu helowego, jak i gumy. Gęstość helu nazwijmy ρh, a gęstość gumy ρr. Ciężar helu zależy od objętości balonu. Ponieważ jest to kula, ciężar helu wynosiłby:

Tak, użyłem tam objętości kuli. Teraz waga gumy. Potrzebuję objętości tej cienkiej powłoki na zewnątrz balonu. Jeśli grubość gumy jest mała w porównaniu z promieniem balonu (co jest w przybliżeniu prawdą), to mogę obliczyć objętość gumy jako pole powierzchni kuli pomnożone przez grubość. Daje to masę gumy wynoszącą:

Tutaj jest ten parametr t w wadze gumy. Sprawa wygląda tak, że nie da się jej zrobić tak cienkiej, jak byśmy chcieli. Jest pewna granica – powiedzmy, że jest to wartość stała. Oznacza to, że waga gumy jest proporcjonalna do kwadratu promienia balonu, ale waga helu jest proporcjonalna do sześcianu tego promienia. Hel ma znacznie mniejszą gęstość niż guma, więc chcesz mieć duży stosunek helu do gumy, a to oznacza, że większe balony są lepsze.

Jeśli weźmiesz swój standardowy balon imprezowy, ma on dość mały promień (powiedzmy 10 cm) taki, że marnujesz dużo masy na gumę. Jeśli jednak kupisz znacznie większy balon, jak w przypadku wyczynu Blaine’a, uzyskasz znacznie lepszy stosunek helu do gumy.

OK, teraz dla przybliżonego oszacowania. Ja tu tylko szacuję – bo tak właśnie robię. Zacznę od gęstości gumy wynoszącej 1000 kg/m3, która jest taka sama jak woda (wystarczająco zbliżona do gumy). Dla promienia balonu użyję 0,75 metra i grubości 0,2 mm. Oznacza to, że siła nośna netto dla jednego balonu wyniosłaby:

Wiem, że wygląda to szalenie, ale tak nie jest. To tylko ciężar wypartego powietrza minus ciężar helu i gumy. Teraz, aby znaleźć liczbę balonów, po prostu biorę wagę osoby (użyjmy Davida Blaine’a plus innego sprzętu o masie 100 kg) i dzielę przez siłę nośną dla jednego balonu. Oto obliczenia jako skrypt pythona (więc możesz zmienić wartości).

Zobacz więcej

Oh, to nie jest dobre. 256 balonów to nie będzie wyglądało epicko jak na pokaz na YouTube. Oczywiście, mogę się całkowicie mylić w szacowaniu grubości balonów – ale sprawdź, co się stanie, jeśli zmienię promień na 1,5 metra. Otrzymam około 11 balonów. To wydaje się lepsze. Szybka uwaga: Powyższe obliczenia to rzeczywisty kod. Jeśli klikniesz na ikonę ołówka, możesz zobaczyć moje szacunkowe wartości i zmienić je na takie, jakie chcesz. Następnie kliknij przycisk Odtwórz i uruchom go.

Czy balon będzie się wznosił wiecznie?

Oczywiście nic nie trwa wiecznie. Balon będzie zwiększał swoją wysokość tak długo, jak długo siła nośna będzie większa lub równa ogólnej sile grawitacyjnej ciągnącej w dół. Rzeczą, która będzie się zmieniać, jest siła nośna. Na większych wysokościach gęstość powietrza maleje. Oznacza to, że skoro siła wyporu jest równa masie wypartego powietrza, to również będzie maleć.

Więc balon w końcu osiągnie wysokość, która postawi go w równowadze i nie wzniesie się wyżej. Oczywiście zakłada to, że objętość balonu również pozostaje stała – co nie jest techniczną prawdą. Na dużych wysokościach ciśnienie atmosferyczne spada i mniej napiera na balon. Oznacza to, że hel znajdujący się wewnątrz balonu może rozciągać gumę, rozszerzać się i wytwarzać większą siłę wyporu. Jest też tak, że w pewnym momencie guma rozciągnie się za bardzo i pęknie. Byłoby to złe, ponieważ cały hel by się ulotnił i mielibyśmy po prostu wielki kawałek gumy. To nie jest zbyt pomocne.

Jakie jest przyspieszenie podczas startu?

Chcę uzyskać oszacowanie jego przyspieszenia pionowego na początku wznoszenia. Nie ma idealnego kąta kamery, ale mogę z grubsza oszacować jego pozycję w różnych klatkach filmu (aby uzyskać czas). Dzięki temu otrzymuję następujący wykres pozycji pionowej jako funkcji czasu.

Jeśli obiekt ma stałe przyspieszenie, jego pozycję można znaleźć za pomocą następującego równania kinematycznego.

Ważną rzeczą jest tutaj to, że mogę użyć tego równania do znalezienia wartości przyspieszenia pionowego. Jeśli dopasuję równanie kwadratowe do danych, to współczynnik przed t2 musi być równy składnikowi (½)a w tym równaniu kinematycznym. Oznacza to, że mogę użyć tego dopasowania do znalezienia przyspieszenia i otrzymam wartość około 0.05 m/s2. Tak, pominąłem tu kilka kroków, ale możesz uzupełnić brakujące części jako zadanie domowe. Ale czy ta wartość jest w ogóle taka rozsądna?

A może podejdziemy do tego inną metodą? Załóżmy, że Blaine jest w równowadze z siłą netto równą zero niutonów. Następnie wręcza córce mały odważnik o masie 1 funta (4,4 niutony). Aha, jest jeszcze ten dodatkowy balonik, który dodała jego córka. Ale myślę, że w tym oszacowaniu możemy wziąć pod uwagę tylko przekazany ciężar. Oznacza to, że jego waga zmniejszyła się o 4,4 niutona, co daje siłę netto 4,4 niutona w górę. Teraz mogę użyć drugiego prawa Newtona, które mówi:

Do wyznaczenia masy potrzebuję masy zarówno Blaine’a, jak i balonów. Załóżmy, że jest to 110 kg. Przy sile 4,4 Newtona przyspieszenie pionowe wyniosłoby 0,04 m/s2. OK, to jest bliższe niż myślałem. Nazwę to wygraną.

David Blaine z powodzeniem wzniósł swój balon na wysokość ponad 24 000 stóp I zeskoczył na spadochronie z powrotem na ziemię. Jestem pewien, że wszyscy możemy się zgodzić, że to również jest zwycięstwo.

Więcej wspaniałych historii WIRED

• 📩 Chcesz najnowszych informacji na temat technologii, nauki i nie tylko? Zapisz się do naszego newslettera!
• Książę Gruzji jest wielki na Instagramie
• San Francisco było wyjątkowo przygotowane na Covid-19
• Jak jeden człowiek przebił się przez obronę reklam wyborczych Google’a
• Mizoginia w grach retro wychodzi na jaw po brutalnej tragedii
• Kłótnia YOLOers vs. Distancers rozdziera skórę. Dystansowcy rozdzierają nas na strzępy
• 📱 Jesteś rozdarty między najnowszymi telefonami? Nie bój się- sprawdź nasz przewodnik zakupu iPhone i ulubione telefony z Androidem

.