Lad's beregne, hvor mange balloner David Blaine havde brug for at flyde

Så godt som alle elsker balloner – især yngre børn. Børn opbygger langsomt idéer om, hvordan universet fungerer (gennem deres observationer), og de ved allerede, at når man giver slip på noget, falder det ned. Åh, men den heliumfyldte ballon er en regelbryder. Den går op. Den virker bare magisk.

Ældre mennesker har stadig en skjult fascination af disse balloner. Hver af os har på et eller andet tidspunkt overvejet spørgsmålet: Hvor mange af disse skal jeg bruge for at løfte mig fra jorden? Tja, det er præcis, hvad David Blaine gjorde i forbindelse med sit seneste stunt, som han kaldte Ascension. Han brugte en masse store balloner til at løfte ham op til en højde på 24.000 fod. På det tidspunkt løsrev han sig fra ballonerne og brugte en faldskærm til at komme ned igen.

Jeg synes, at den bedste del af stuntet var den første opsendelse. Holdet satte ballonerne op, så der var en næsten perfekt balance mellem opdriftskraften fra ballonerne og tyngdekraften, der trak Blaine nedad, således at han for det meste bare svævede der lige over jorden. (Der var dog nogle mennesker, der holdt fast i ham for at sikre sig, at han ikke drev op og væk i utide). Så, så han kunne begynde sin rejse opad, tilføjede hans datter endnu en ballon, og han gav hende en vægt, som han havde haft i hånden. Det er en ret sej måde at stige op på.

Men nu til spørgsmål og svar.

Hvorfor svæver heliumballoner?

Balloner svæver ikke med magi. I stedet er det et resultat af tyngdekraften og atmosfæren. Ja, det er sandt. En ballon ville ikke flyde uden tyngdekraften.

Lad os forestille os atmosfæren som en masse bolde – bortset fra at disse bolde faktisk er molekyler af mest kvælstof sammen med lidt ilt. Hver af disse kugler bevæger sig rundt med en vis gennemsnitshastighed, og de bliver trukket nedad af gravitationens vekselvirkning med jorden. Så man kan betragte disse gasbolde som en tennisbold, der kastes rundt i rummet, bortset fra at de er meget små. Åh, og der er en masse af disse bolde. Det betyder, at de interagerer med andre gaskugler. Du kan tænke på disse interaktioner som om de var kollisioner. Det er alle disse bold-bold kollisioner, der forhindrer dem i bare at ende på jorden. Det ville også være frygtelig ubehageligt, hvis al luften samlede sig nede på det laveste niveau, for så kunne man ikke trække vejret.

Når to gaskugler støder sammen, bliver den ene af kuglerne nogle gange afbøjet opad, og andre gange bliver den afbøjet sidelæns. Men da der også er en gravitationel vekselvirkning, der trækker kuglerne nedad, er der flere af dem tættere på jorden. Det er derfor, at luftens massefylde aftager, når man bevæger sig lodret opad. Lufttætheden nær jorden er ca. 1,2 kg/m3 og falder til ca. 0,59 kg/m3 i en højde på 7 000 meter (tæt på 24 000 fod). Men selv over en afstand fra bunden af en ballon til toppen ændrer luftens massefylde sig – bare en lille smule.

Lad os nu sætte en genstand op i luften. Jeg vil bruge en mursten. Jeg kan godt lide murstenen, da den tydeligvis ikke svæver i luften, men den har også flade overflader for at gøre min forklaring lettere. Da de små luftkugler bevæger sig rundt, vil nogle af dem kollidere med murstenens overflade. Når en kugle preller af på murstenen, giver den et lillebitte skub på denne mursten. Den samlede kraft på en af murstenens overflader afhænger af murstenens areal og lufttrykket. Til orientering kan forholdet mellem kraft og tryk udtrykkes som følgende ligning, hvor P er trykket, A er arealet, og F er kraften.

Så, hvis man har et stort overfladeareal og et lille tryk, kan man stadig få en stor kraft. I dette udtryk skyldes trykket atmosfæren – det er disse gaskugler, der bevæger sig rundt og støder sammen med ting. Her er det fede ved det. Fordi der er flere gaskugler tættere på jorden, afhænger trykket af luftens massefylde, og husk, at massefylden afhænger af højden. Det betyder, at kraften fra luften, der presser på toppen af murstenen, er anderledes end kraften på bunden af murstenen. Det er bedst at beskrive disse sammenstød i form af tryk og modellere ændringen i trykket med følgende ligning.

I dette udtryk er P0 trykket i et vilkårligt punkt, hvor y = 0 (i lodret retning), g er tyngdefeltet (9,8 N/kg) og ρ er luftens massefylde. Så når y stiger, falder trykket. Bemærk: Denne lineære sammenhæng er kun tilnærmelsesvis sand. Når man kommer rigtig langt op over jordoverfladen, virker den ikke. Men med dette kan du se, at kraften fra luften på toppen af murstenen bør være mindre end kraften på bunden af murstenen.

Bemærk, at de kræfter, der skubber på venstre og højre side af murstenen, er i samme højde. Det betyder, at nettokraften i den vandrette retning ville være nul – de ophæver hinanden. Men den kraft, der skubber opad på murstenen (fra bunden), er større end den kraft, der skubber nedad, da bunden af murstenen befinder sig i en lavere højde – selv med bare en lille smule. Hvis murstenen har en højde h, vil den samlede kraft fra luften i den lodrette retning være:

Bemærk, at jeg har sprunget nogle algebraiske trin over, men det er ikke så svært at se, hvordan det virker. Men vent! Hvis jeg ganger højden af murstenen (h) med arealet af bunden (A), får jeg murstenens volumen (V). Hvis jeg derefter multiplicerer murstenens volumen med luftens massefylde (ρ), får jeg en masse – massen af et areal med samme volumen som murstenen. Når du multiplicerer denne masse med gravitationsfeltet (g), får du vægten af den luft, der fortrænges af murstenen.

Boom. Dette er det berømte Archimedes’ princip. Det siger, at når en genstand befinder sig i vand, er der en opadgående opdriftskraft på genstanden. Værdien af denne opdriftskraft er lig med vægten af det vand, der fortrænges. Men det gælder også for fortrængt luft. Ja, der er en opadgående opdriftskraft på murstenen. Murstenen flyder ikke som en ballon, fordi der også er en nedadgående tyngdekraft på murstenen – og denne nedadgående kraft er meget større end den opadgående opdrift.

Oh, her er den fede del. Det gør ikke engang noget, hvis man erstatter den rektangulære mursten med en kugleformet ballon. Opdriftskraften afhænger stadig bare af luftens massefylde og objektets volumen. Så hvorfor flyder en heliumballon? Det eneste specielle ved en heliumgas er, at den har en betydeligt lavere massefylde end luft (med en massefylde på 0,179 kg/m3 for helium og 1,2 kg/m3 for luft). Det betyder, at den tyngdekraft, der trækker nedad på ballonen, vil være mindre end den opadrettede opdriftskraft, og den vil derfor flyde. For at det skal være helt klart, har en vandfyldt ballon og en heliumballon af samme størrelse den samme opdriftskraft. Det er bare det, at vægten af den vandfyldte ballon er enorm.

Hvor mange balloner skal man bruge for at løfte en person?

Jeg siger ikke, at du skal lade dig flyde op i luften med en masse balloner, men lad os sige, at du vil estimere det antal balloner, du skal bruge. Det ville ikke være så svært at beregne den mængde luft, der ville have en vægt svarende til et menneskes vægt, og derefter finde den mængde helium, du ville have brug for, men det negligerer noget meget vigtigt – gummiet i ballonen. Ja, det har en lille masse, men det betyder stadig noget. Lad os sige, at jeg har en almindelig kugleformet ballon lavet af gummi af en vilkårlig tykkelse. Måske ser den sådan her ud.

Denne ballon har en radius R med en gummitykkelse t, og den er fyldt med helium. Jeg skal finde massen (og dermed vægten) af både heliumgassen og gummiet. Lad mig kalde heliums massefylde ρh og gummiets massefylde ρr. Heliumets vægt afhænger af ballonens volumen. Da det er en kugle, vil vægten af helium være:

Ja, jeg brugte volumenet af en kugle derinde. Nu til vægten af gummiet. Jeg skal bruge volumenet af denne tynde skal på ydersiden af ballonen. Hvis tykkelsen af gummiet er lille i forhold til ballonens radius (hvilket er nogenlunde rigtigt), så kan jeg beregne gummiets volumen som kuglens overfladeareal ganget med tykkelsen. Dette giver en gummivægt på:

Der er denne parameter t i gummivægten. Her er det sådan, at du ikke kan gøre det så tyndt, som du vil. Der er en vis grænse – så lad os bare sige, at det er en konstant værdi. Det betyder, at gummivægten er proportional med kvadratet på ballonens radius, men heliumets vægt er proportional med KUBE af radius. Helium har en meget lavere massefylde end gummi, så man ønsker et stort forhold mellem helium og gummi, og det betyder, at større balloner er bedre.

Hvis man tager en standard festballon, har den en ret lille radius (lad os sige 10 cm), så man spilder meget masse på gummiet. Men hvis du tager en meget større ballon som i Blaines Ascension-stunt, vil du få et meget bedre helium-gummi-forhold.

OK, nu til et groft skøn. Jeg estimerer bare ting her – fordi det er det, jeg gør. Jeg starter med en gummidensitet på 1.000 kg/m3, hvilket er det samme som vand (tæt nok på gummi). For ballonens radius vil jeg bruge 0,75 meter og en tykkelse på 0,2 mm. Det betyder, at nettoløftekraften for en ballon vil være:

Jeg ved godt, at det ser skørt ud, men det er det ikke. Det er bare vægten af den fortrængte luft minus vægten af helium og gummi. For at finde antallet af balloner tager jeg nu bare personens vægt (lad os bruge David Blaine plus andet udstyr med en masse på 100 kg) og dividerer med løftekraften for en ballon. Her er beregningen som et python-script (så du kan ændre værdierne).

Se mere

Oh, det er ikke godt. 256 balloner kommer ikke til at se episk ud til et YouTube-show. Jeg kan selvfølgelig være helt galt på den med min vurdering af ballontykkelsen – men se, hvad der sker, hvis jeg ændrer radius til 1,5 meter. Jeg får ca. 11 balloner. Det virker bedre. Hurtig bemærkning: Denne beregning ovenfor er faktisk kode. Hvis du klikker på blyantsikonet, kan du se mine estimerede værdier og ændre dem til hvad du vil. Klik derefter på knappen Afspil og kør den.

Vil ballonen blive ved med at stige for evigt?

Oplagtvis er der intet, der fortsætter for evigt. En ballon vil blive ved med at stige i højde, så længe løftekraften er større end eller lig med den samlede tyngdekraft, der trækker nedad. Det, der vil ændre sig, er løftekraften. I større højder mindskes luftens massefylde. Det betyder, at da opdriftskraften er lig med vægten af den fortrængte luft, vil den også falde.

Så ballonen vil til sidst nå en højde, der bringer den i ligevægt, og den vil ikke stige højere. Dette forudsætter naturligvis, at ballonens volumen også forbliver konstant – hvilket teknisk set ikke er sandt. I stor højde falder det atmosfæriske tryk og presser mindre på ballonen. Det betyder, at heliumet inde i ballonen kan strække gummiet og udvide sig og producere en større opdriftskraft. Det er også sådan, at gummiet på et tidspunkt vil strække sig for meget og derefter gå i stykker. Det ville være skidt, da al heliumet ville slippe ud, og man ville bare have et stort stykke gummi. Det er ikke særlig nyttigt.

Hvad er accelerationen ved start?

Jeg vil gerne have et skøn over hans vertikale acceleration i begyndelsen af opstigningen. Der er ikke en perfekt kameravinkel, men jeg kan nogenlunde estimere hans position i forskellige frames i videoen (for at få tiden). Med det får jeg følgende plot af den vertikale position som funktion af tiden.

Hvis et objekt har en konstant acceleration, kan dets position findes med følgende kinematiske ligning.

Det vigtige her er, at jeg kan bruge denne ligning til at finde værdien af den lodrette acceleration. Hvis jeg tilpasser en kvadratisk ligning til dataene, skal koefficienten foran t2 være lig med (½)a-termen i denne kinematiske ligning. Det betyder, at jeg kan bruge tilpasningen til at finde accelerationen, og jeg får en værdi på ca. 0,05 m/s2. Ja, jeg har sprunget nogle trin over her, men du kan udfylde de manglende dele som en hjemmeopgave. Men er denne værdi overhovedet så fornuftig?

Hvad siger du til, at vi nærmer os dette med en anden metode? Lad os sige, at Blaine er i ligevægt med en nettokraft på nul newton. Han overdrager så en lille vægt på 1 pund til sin datter (4,4 newton). Åh, der er også den ekstra ballon, som hans datter har tilføjet. Men jeg tror, at vi i denne vurdering kan nøjes med at betragte den overdragne vægt. Det betyder, at hans vægt er faldet med 4,4 newton for at give en netto opadgående kraft på 4,4 newton. Nu kan jeg bruge Newtons anden lov, der siger:

For massen skal jeg bruge massen af både Blaine OG ballonerne. Lad os sige, at den er 110 kg. Med en kraft på 4,4 newton ville den lodrette acceleration være 0,04 m/s2. OK, det er faktisk tættere på, end jeg troede, det ville være. Jeg vil kalde det en sejr.

David Blaine fik med succes sin ballonrigg op til en højde på over 24.000 fod OG han sprang med faldskærm tilbage til jorden. Jeg er sikker på, at vi alle kan blive enige om, at det også er en sejr.

Mere fantastiske WIRED-historier

• 📩 Vil du have det nyeste om teknologi, videnskab og meget mere? Tilmeld dig vores nyhedsbreve!
• Prinsen af Georgien er stor på Instagram
• San Francisco var unikt forberedt på Covid-19
• Hvordan en mand brød igennem Googles valgannonceforsvar
• Retrospils misogyni bringes frem i lyset efter en voldsom tragedie
• The YOLOers vs. Distancers fejde river os fra hinanden
• 📱 Splittet mellem de nyeste telefoner? Frygt ikke – se vores købsguide til iPhone og vores foretrukne Android-telefoner