Laissons's calculer le nombre de ballons dont David Blaine avait besoin pour flotter

Pratiquement tout le monde aime les ballons – surtout les plus jeunes enfants. Les enfants se forgent lentement des idées sur la façon dont l’univers fonctionne (par leurs observations), et ils savent déjà que lorsque vous lâchez quelque chose, il tombe. Oh, mais le ballon gonflé à l’hélium ne respecte pas les règles. Il monte. Cela semble juste magique.

Les personnes âgées ont toujours une fascination cachée pour ces ballons. Chacun d’entre nous, à un moment donné, s’est posé la question : Combien m’en faudrait-il pour me faire décoller du sol ? Eh bien, c’est exactement ce que David Blaine a fait pour sa dernière cascade, qu’il a appelée Ascension. Il a utilisé plusieurs gros ballons pour s’élever jusqu’à une altitude de 24 000 pieds. A ce moment-là, il s’est détaché des ballons et a utilisé un parachute pour redescendre.

Je pense que la meilleure partie de la cascade était le lancement initial. L’équipe a mis en place les ballons de sorte qu’il y avait un équilibre presque parfait entre la force de flottaison des ballons et la force gravitationnelle tirant Blaine vers le bas, de sorte qu’il a surtout flotté là juste au-dessus du sol. (Il y avait bien quelques personnes qui s’accrochaient à lui pour s’assurer qu’il ne dérivait pas vers le haut et s’éloignait prématurément). Ensuite, pour qu’il puisse commencer son voyage vers le haut, sa fille a ajouté un ballon supplémentaire, et il lui a tendu un poids qu’il tenait. C’est une façon plutôt cool de s’élever.

Mais maintenant, les questions et les réponses.

Pourquoi les ballons à l’hélium flottent-ils ?

Les ballons ne flottent pas par magie. Au contraire, c’est le résultat de la gravité et de l’atmosphère. Oui, c’est vrai. Un ballon ne flotterait pas sans gravité.

Imaginons l’atmosphère comme un tas de ballons – sauf que ces ballons sont en fait des molécules composées principalement d’azote avec un peu d’oxygène. Chacune de ces boules se déplace avec une certaine vitesse moyenne, et elles sont tirées vers le bas par l’interaction gravitationnelle avec la terre. On peut donc considérer ces balles de gaz comme une balle de tennis lancée à travers la pièce, sauf qu’elles sont super petites. Oh, et il y a un tas de ces balles. Cela signifie qu’elles interagissent avec d’autres boules de gaz. Vous pouvez penser à ces interactions comme à des collisions. Ce sont toutes ces collisions entre boules qui les empêchent de finir sur le sol. De plus, ce serait terriblement gênant si tout l’air s’accumulait au niveau le plus bas, car on ne pourrait alors plus respirer.

Lorsque deux boules de gaz entrent en collision, parfois une des boules est déviée vers le haut, et parfois elle est déviée latéralement. Cependant, comme il y a aussi une interaction gravitationnelle qui tire les boules vers le bas, il y en a plus près du sol. C’est pourquoi la densité de l’air diminue lorsque vous vous déplacez verticalement vers le haut. La densité de l’air près du sol est d’environ 1,2 kg/m3 et diminue à environ 0,59 kg/m3 à une altitude de 7 000 mètres (près de 24 000 pieds). Mais même sur une distance allant du bas d’un ballon au sommet, la densité de l’air change – juste un peu.

Maintenant, mettons un objet dans l’air. Je vais utiliser une brique. J’aime la brique car elle ne flotte clairement pas dans l’air, mais aussi elle a des surfaces plates pour faciliter mon explication. Puisque les petites boules d’air se déplacent, certaines d’entre elles vont entrer en collision avec la surface de la brique. Lorsqu’une balle rebondit sur la brique, elle exerce une toute petite poussée sur cette dernière. La force totale sur une surface de la brique dépend de la surface de cette brique et de la pression de l’air. Pour rappel, la relation entre la force et la pression peut être exprimée par l’équation suivante, où P est la pression, A est la surface, et F est la force.

Donc, si vous avez une grande surface et une petite pression, vous pouvez quand même obtenir une grande force. Dans cette expression, la pression est due à l’atmosphère – ce sont ces boules de gaz qui se déplacent et entrent en collision avec des objets. Voici la partie la plus intéressante. Comme il y a plus de boules de gaz près du sol, la pression dépend de la densité de l’air et, rappelons-le, la densité dépend de l’altitude. Cela signifie que la force de l’air poussant sur le haut de la brique est différente de la force sur le bas de la brique. Il est préférable de décrire ces collisions en termes de pression et de modéliser le changement de pression avec l’équation suivante.

Dans cette expression, P0 est la pression en un point arbitraire où y = 0 (dans la direction verticale), g est le champ gravitationnel (9,8 N/kg) et ρ est la densité de l’air. Ainsi, lorsque y augmente, la pression diminue. Remarque : cette relation linéaire n’est qu’approximativement vraie. Lorsque vous vous trouvez vraiment loin au-dessus de la surface de la terre, elle ne fonctionne pas. Mais avec cela, vous pouvez voir que la force de l’air sur le haut de la brique devrait être inférieure à la force sur le bas de la brique.

Notez que les forces qui poussent sur les côtés gauche et droit de la brique sont à la même hauteur. Cela signifie que la force nette dans la direction horizontale serait nulle – elles s’annulent. Mais la force qui pousse la brique vers le HAUT (depuis le bas) est supérieure à la force qui pousse vers le BAS, car le bas de la brique se trouve à une altitude inférieure, même de peu. Si la brique a une hauteur h, alors la force totale de l’air dans la direction verticale serait :

Notez que j’ai sauté quelques étapes algébriques, mais il n’est pas trop difficile de voir comment cela fonctionne. Mais attendez ! Si je multiplie la hauteur de la brique (h) par l’aire du fond (A), j’obtiens le volume (V) de la brique. Ensuite, si je multiplie le volume de la brique par la densité de l’air (ρ), j’obtiens une masse – la masse de la surface ayant le même volume que la brique. Si je multiplie cette masse et le champ gravitationnel (g), j’obtiens le poids de l’air déplacé par la brique.

Boom. C’est le fameux principe d’Archimède. Il dit que lorsqu’un objet est dans l’eau, une force de flottaison ascendante s’exerce sur cet objet. La valeur de cette force de flottaison est égale au poids de l’eau déplacée. Mais cela fonctionne également pour l’air déplacé. Oui, il existe une force de flottabilité ascendante sur la brique. La brique ne flotte pas comme un ballon parce qu’il y a aussi une force gravitationnelle descendante sur la brique – et cette force descendante est beaucoup plus grande que la force de flottaison ascendante.

Oh, voici la partie cool. Cela n’a même pas d’importance si vous remplacez la brique rectangulaire par un ballon sphérique. La force de flottaison dépend toujours simplement de la densité de l’air et du volume de l’objet. Alors, pourquoi un ballon à l’hélium flotte-t-il ? La seule particularité de l’hélium est que sa densité est nettement inférieure à celle de l’air (0,179 kg/m3 pour l’hélium et 1,2 kg/m3 pour l’air). Cela signifie que la force gravitationnelle qui s’exerce sur le ballon est inférieure à la force de flottaison ascendante et que le ballon flotte. Pour être clair, un ballon rempli d’eau et un ballon à l’hélium de même taille ont la même force de flottaison. C’est juste que le poids du ballon rempli d’eau est énorme.

Combien de ballons faut-il pour soulever une personne ?

Je ne dis pas que vous devriez vous faire flotter dans les airs avec un tas de ballons, mais disons que vous voulez estimer le nombre de ballons dont vous auriez besoin. Il ne serait pas trop difficile de calculer le volume d’air qui aurait un poids égal à celui d’un être humain, puis de trouver le volume d’hélium dont vous auriez besoin, mais cela néglige quelque chose de très important : le caoutchouc du ballon. Certes, sa masse est faible, mais elle compte quand même. Disons que j’ai un ballon sphérique générique fait de caoutchouc d’une épaisseur arbitraire. Peut-être qu’il ressemble à ceci.

Ce ballon a un rayon R avec une épaisseur de caoutchouc t, et il est rempli d’hélium. Je dois trouver la masse (et donc le poids) à la fois de l’hélium gazeux et du caoutchouc. J’appellerai la densité de l’hélium ρh et la densité du caoutchouc ρr. Le poids de l’hélium dépend du volume du ballon. Comme c’est une sphère, le poids de l’hélium serait :

Oui, j’ai utilisé le volume d’une sphère là-dedans. Maintenant, pour le poids du caoutchouc. J’ai besoin du volume de cette fine coquille à l’extérieur du ballon. Si l’épaisseur du caoutchouc est petite par rapport au rayon du ballon (ce qui est approximativement vrai), alors je peux calculer le volume du caoutchouc comme la surface de la sphère multipliée par l’épaisseur. Cela donne un poids de caoutchouc de :

Il y a ce paramètre t dans le poids du caoutchouc. Voilà le problème, vous ne pouvez pas le rendre aussi fin que vous le souhaitez. Il y a une certaine limite – disons que c’est une valeur constante. Cela signifie que le poids du caoutchouc est proportionnel au carré du rayon du ballon, mais que le poids de l’hélium est proportionnel au CUBE du rayon. L’hélium a une densité beaucoup plus faible que le caoutchouc, donc vous voulez un grand rapport hélium/caoutchouc, et cela signifie que les plus gros ballons sont meilleurs.

Si vous prenez votre ballon de fête standard, il a un rayon assez petit (disons 10 cm) de sorte que vous gaspillez beaucoup de masse sur le caoutchouc. Cependant, si vous prenez un ballon beaucoup plus grand comme dans la cascade Ascension de Blaine, vous obtiendrez un bien meilleur rapport hélium/caoutchouc.

OK, maintenant pour une estimation approximative. Je ne fais qu’estimer des trucs ici – parce que c’est ce que je fais. Je vais commencer avec une densité de caoutchouc de 1 000 kg/m3 qui est la même que l’eau (assez proche du caoutchouc). Pour le rayon du ballon, je vais utiliser 0,75 mètre et une épaisseur de 0,2 mm. Cela signifie que la force de levage nette pour un ballon serait :

Je sais que cela semble fou, mais ça ne l’est pas. C’est juste le poids de l’air déplacé moins le poids de l’hélium et du caoutchouc. Maintenant, pour trouver le nombre de ballons, je prends simplement le poids de la personne (utilisons David Blaine plus d’autres équipements avec une masse de 100 kg) et je divise par la force de levage pour un ballon. Voici le calcul sous forme de script python (vous pouvez donc modifier les valeurs).

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Oh, ce n’est pas bon. 256 ballons ne vont pas avoir l’air épique pour une émission sur YouTube. Bien sûr, je peux me tromper complètement dans mon estimation de l’épaisseur des ballons, mais regardez ce qui se passe si je modifie le rayon à 1,5 mètre. J’obtiens environ 11 ballons. Cela semble mieux. Note rapide : le calcul ci-dessus est du code réel. Si vous cliquez sur l’icône du crayon, vous pouvez voir mes valeurs estimées et les modifier comme vous le souhaitez. Ensuite, cliquez sur le bouton Play et exécutez-le.

Le ballon continuerait-il à s’élever éternellement ?

Evidemment, rien ne dure éternellement. Un ballon continuera à augmenter en altitude tant que la force de soulèvement sera supérieure ou égale à la force gravitationnelle globale qui tire vers le bas. Ce qui va changer, c’est la force de sustentation. À haute altitude, la densité de l’air diminue. Cela signifie que puisque la force de flottaison est égale au poids de l’air déplacé, elle va également diminuer.

Donc, le ballon finira par atteindre une altitude qui le met en équilibre, et il n’ira pas plus haut. Bien sûr, cela suppose que le volume du ballon reste également constant – ce qui n’est pas techniquement vrai. À haute altitude, la pression atmosphérique diminue et exerce une pression moindre sur le ballon. Cela signifie que l’hélium à l’intérieur du ballon peut étirer le caoutchouc, se dilater et produire une plus grande force de flottaison. Il est également possible qu’à un moment donné, le caoutchouc s’étire trop et se brise. Ce serait mauvais, car tout l’hélium s’échapperait et vous n’auriez qu’un gros morceau de caoutchouc. Ce n’est pas très utile.

Quelle est l’accélération au décollage ?

Je veux avoir une estimation de son accélération verticale au début de l’ascension. Il n’y a pas un angle de caméra parfait, mais je peux grossièrement estimer sa position dans différentes images de la vidéo (pour obtenir le temps). Avec cela, j’obtiens le tracé suivant de la position verticale en fonction du temps.

Si un objet a une accélération constante, sa position peut être trouvée avec l’équation cinématique suivante.

L’important ici est que je peux utiliser cette équation pour trouver la valeur de l’accélération verticale. Si j’ajuste une équation quadratique aux données, le coefficient devant le t2 doit être égal au terme (½)a de cette équation cinématique. Cela signifie que je peux utiliser l’ajustement pour trouver l’accélération, et j’obtiens une valeur d’environ 0,05 m/s2. Oui, j’ai sauté quelques étapes ici, mais vous pouvez compléter les parties manquantes en devoir à la maison. Mais cette valeur est-elle même si raisonnable que cela ?

Et si nous abordions la question avec une autre méthode ? Disons que Blaine est en équilibre avec une force nette de zéro newton. Il remet ensuite un petit poids de 1 livre à sa fille (4,4 newtons). Oh, il y a aussi ce ballon supplémentaire que sa fille a ajouté. Mais je pense que pour cette estimation, nous pouvons simplement considérer le poids remis. Cela signifie que son poids a diminué de 4,4 newtons pour donner une force nette vers le haut de 4,4 newtons. Maintenant, je peux utiliser la deuxième loi de Newton qui dit:

Pour la masse, j’ai besoin de la masse de Blaine ET des ballons. Disons que c’est 110 kg. Avec une force de 4,4 Newtons, l’accélération verticale serait de 0,04 m/s2. OK, c’est en fait plus proche que je ne le pensais. Je vais appeler ça une victoire.

David Blaine a réussi à faire monter son ballon à une altitude de plus de 24 000 pieds ET il est revenu au sol en parachute. Je suis sûr que nous pouvons tous convenir que c’est aussi une victoire.

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