Let’s Calculate How Many Helium Balloons David Blaine Needed to Float

多くの人は風船が好きですが、特に小さな子どもたちは大好きです。 子供たちは、宇宙の仕組みについて（観察を通して）少しずつ考えを深めており、何かを放すと落ちることをすでに知っています。 でも、ヘリウム入りの風船はルールを破るんです。 上昇するんです。

年配の人たちは、今でもこの風船に隠れた魅力を持っています。 私たち一人ひとりが、あるとき、この問いを考えたことがあるはずです。 何個の風船があれば、私は地上から浮くことができるのだろう？ デビッド・ブレインが「アセンション」と名付けた最新のスタントで行ったのは、まさにこれでした。 彼は、たくさんの大きな風船を使って、高度24,000フィートまで自分を引き上げました。

このスタントで最も優れていたのは、最初の打ち上げだと思います。 風船からの浮力とブレインが引きずり下ろされる重力のバランスがほぼ完璧になるように、チームは風船を設置しました。 (そのため、ブレーンはほとんど地面の真上に浮かんでいるような状態になった（ただし、ブレーンが早々に浮き上がらないように、何人かの人がつかまっていた）。 そして、ブレインが上へ上へと旅立てるように、娘がもうひとつ風船を追加し、ブレインが持っていた重りを手渡した。

さて、次は質問と回答です。

なぜヘリウム風船は浮くのでしょうか？

風船は魔法では浮かないのです。 むしろ、重力と大気の影響です。 はい、その通りです。

大気をボールの束と想像してみましょう-ボールは実際には窒素と酸素の分子です。 これらのボールはそれぞれ平均速度で動き回り、地球との重力の相互作用によって下に引っ張られている。 つまり、このガスボールは、超小型であることを除けば、テニスボールを部屋の中に放り投げるようなものだと考えていただければよいでしょう。 ただ、このガスボールは非常に小さく、たくさんあります。 つまり、ガスボールは他のガスボールと相互作用しているのです。 この相互作用は、あたかも衝突のように考えることができます。 このボールとボールの衝突があるからこそ、ボールが地面に落ちてしまうことがないのです。 また、すべての空気が最下層に溜まってしまうと、息ができなくなるので、ひどく気まずくなります。 Rhett Allain

2つの気体球が衝突すると、片方の球が上にそれることもあれば、横にそれることもある。 しかし、球を下に引っ張る重力の相互作用もあるので、地面に近い方が多くなります。 このため、鉛直上方に行くほど空気の密度は小さくなります。 地上付近の空気の密度は約1.2kg/m3、高度7000m（24000フィート近く）になると約0.59kg/m3まで減少する。 しかし、気球の下から上までの距離でも、空気の密度はほんの少しですが変化しています。 レンガを使うことにします。 レンガは明らかに空中に浮かないので好きですが、表面が平らなので説明がしやすいです。 空気中の小さなボールが動き回るので、そのうちのいくつかはレンガの表面にぶつかることになります。 レンガの表面でボールが跳ね返ると、レンガを少し押すことになります。 レンガの一面にかかる力の総和は、このレンガの面積と空気の圧力に依存します。 念のため、力と圧力の関係は、P を圧力、A を面積、F を力として、次の式で表すことができます。

つまり、表面積が大きく、圧力が小さければ、大きな力を得ることができるのです。 この式では、圧力は大気によるもので、気体の玉が動き回って物に衝突しているのです。 ここが面白いところです。 地面に近いほど気体球が多いので、圧力は空気の密度に依存し、密度は標高に依存します。 つまり、空気がレンガの上部を押す力と、レンガの下部を押す力は異なるということです。 これらの衝突を圧力で表現し、圧力の変化を次の式でモデル化するのが最善です。

この式で、P0 は y = 0（垂直方向）のある任意の点での圧力、g は重力場（9.8 N/kg）、ρ は空気の密度です。 つまり、yが大きくなると、圧力は小さくなる。 注：この線形関係はおおよそでしかありません。 地表から本当に遠く離れたところでは、うまくいきません。 しかし、これによって、レンガの上にかかる空気からの力は、レンガの下にかかる力より小さくなるはずだということがわかります。

レンガの左側と右側を押す力が同じ高さになっていることに注目してください。 つまり、水平方向の正味の力はゼロになり、相殺されます。 しかし、レンガを下から上に押す力は、下に押す力より大きいのです。レンガの底は、ほんの少しですが、高度が低いからです。 レンガの高さを h とすると、空気から垂直方向に受ける力の合計は、

代数的なステップをいくつか飛ばしましたが、それがどうなるかはそれほど難しくないことに注意してください。 しかし、待ってください! レンガの高さ (h) と底の面積 (A) を掛け合わせると、レンガの体積 (V) が得られます。 そして、レンガの体積に空気の密度（ρ）をかけると、レンガと同じ体積の面積の質量が得られます。 その質量に重力場(g)をかけると、レンガによって変位した空気の重さが得られる。

ブームだ。 これが有名な「アルキメデスの原理」です。 これは、物体が水の中にあるとき、物体には上向きの浮力が働くというものです。 この浮力の値は、変位した水の重さに等しい。 しかし、これは空気中にも有効です。 そうです、レンガには上向きの浮力が働いているのです。 レンガが風船のように浮かないのは、レンガには下向きの重力もあり、この下向きの力は上向きの浮力よりはるかに大きいからです。 長方形のレンガを球形の風船に置き換えても、問題にはならないのです。 浮力は、空気の密度と物体の体積に依存するのです。 では、なぜヘリウム風船は浮くのでしょうか？ ヘリウムガスが特別なのは、密度が空気よりかなり低いことです（ヘリウムの密度は0.179kg/m3、空気は1.2kg/m3です）。 つまり、風船を引っ張る重力が上向きの浮力よりも小さくなり、風船が浮くということです。 ちなみに、同じ大きさの水風船とヘリウム風船は同じ浮力を持っています。 ただ、水を入れた風船の重さが大きいだけです。

人を持ち上げるには何個の風船が必要か

風船の束で自分を空中に浮かべろとは言いませんが、必要な風船の数を推定するとしましょう。 人間の体重と同じ重さの空気の体積を計算し、必要なヘリウムの体積を求めるのはそれほど難しくはないでしょうが、それでは風船の中のゴムという非常に重要なものが無視されています。 ゴムの質量は小さいのですが、それでも重要なのです。 例えば、任意の厚さのゴムでできた一般的な球形の風船があるとしましょう。 たとえば、次のような風船があるとします。 Rhett Allain

この風船は半径 R、ゴムの厚さ t で、ヘリウムで満たされています。 ヘリウムガスとゴムの質量（つまり重さ）を求める必要があります。 ヘリウムの密度をρh、ゴムの密度をρrと呼ぶことにしましょう。 ヘリウムの重さは、風船の体積に依存します。 球体なので、ヘリウムの重さは:

そうです、球体の体積を使いました。 さて、ゴムの重さです。 風船の外側にあるこの薄い殻の体積が必要です。 ゴムの厚さが風船の半径に比べて小さければ（だいたいそうです）、ゴムの体積は、球体の表面積に厚さをかけたものとして計算できます。 このことから、ゴムの重さは、

ゴムの重さには、パラメータtがあります。 ここで問題なのは、これを好きなだけ薄くすることはできないということです。 ある種の限界があるので、仮に一定値としておきましょう。 つまり、ゴムの重さは風船の半径の2乗に比例しますが、ヘリウムの重さは半径の3乗に比例するのです。 ヘリウムはゴムよりはるかに密度が低いので、ヘリウムとゴムの比率を大きくしたいのです。 しかし、BlaineのAscensionスタントのようにもっと大きな風船を使えば、ヘリウムとゴムの比率はもっと良くなります。

OK、ではおおよその見積もりを。 私はここで何かを見積もっています-なぜならそれが私の仕事だからです。 ゴムの密度は水と同じ1,000kg/m3（十分にゴムに近い）から始めます。 風船の半径は0.75m、厚さは0.2mmとします。 つまり、1個の風船の正味の揚力は次のようになります。

おかしいと思うかもしれませんが、そんなことはありません。 変位した空気の重さから、ヘリウムとゴムの重さを差し引いただけです。 さて、風船の数を求めるには、人の重さ（David Blaine＋他の機材で質量100kgとします）を、風船1個の揚力で割ればいいんです。 以下は、この計算をpythonスクリプトにしたものです（値を変更できるように）。

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あら、これはまずいわ。 256個の風船は、YouTubeの番組としては壮大な見栄えにはなりませんね。 もちろん、風船の太さの見積もりが間違っている可能性もありますが、半径を 1.5 メートルに変更したらどうなるか見てみましょう。 約11個の風船ができました。 これなら大丈夫そうですね。 注：上の計算は実際のコードです。 鉛筆のアイコンをクリックすると、私の推定値が表示されますので、お好きなように変更してください。

Would the balloon keep rising forever?

Obviously nothing goes on forever.それは、永遠に続くものはないということです。 気球は、持ち上げる力が全体の引力を引き下げる力より大きいか等しい限り、高度を上げ続けるでしょう。 変化していくのは吊り上げ力です。 高度が高くなると、空気の密度が低くなります。 つまり、浮力は空気の重さと等しいので、浮力も小さくなります。

ですから、気球はやがて平衡状態になる高度に達し、それ以上高くは飛べなくなるのです。 もちろん、これは気球の体積が一定であることを前提にしていますが、技術的には正しくありません。 高度が高くなると、気圧が下がり、気球を押す力が弱くなります。 つまり、風船の中のヘリウムがゴムを伸ばして膨張し、より大きな浮力を生み出すことができるのです。 また、ある時点でゴムが伸びすぎて割れてしまうということもあります。 そうすると、ヘリウムが全部逃げてしまって、大きなゴムの塊になってしまうから、よくない。

離陸時の加速度は？

上昇し始めの垂直加速度を推定したいのですが、どうすればいいですか？ 完璧なカメラアングルはありませんが、ビデオの異なるフレームで彼の位置をおおまかに推定できます（時間を得るため）。 これにより、時間の関数としての垂直位置の次のプロットが得られます。

オブジェクトが一定の加速度を持つ場合、その位置は次の運動方程式で求めることができます。 Rhett Allain

ここで重要なことは、この方程式を使って垂直方向の加速度の値を求めることができるということです。 データに二次方程式を当てはめると、t2の前の係数は、この運動方程式の(1/2)aの項と等しくなるはずです。 つまり、このフィットを使って加速度を求めると、約0.05m/s2という値が得られます。 ここで、いくつかのステップを省略してしまいましたが、足りない部分は宿題として埋めてください。 しかし、この値はそんなに妥当なものでしょうか。

別の方法でアプローチしてみるのはどうでしょうか。 ブレーンは正味の力が0ニュートンで平衡状態にあるとしよう。 そして、彼は1ポンドの小さな重りを娘に手渡します（4.4ニュートン）。 あ、娘がつけた風船もありますね。 しかし、この試算では、手渡された重さだけで考えてもいいと思います。 つまり、彼の体重が4.4ニュートン減って、正味の上向きの力が4.4ニュートンになったということです。 ここで、ニュートンの第二法則を使うと、

質量については、Blaineと風船の両方の質量が必要です。 仮に110kgとしましょう。 4.4ニュートンの力があれば、垂直方向の加速度は0.04m/s2です。 なるほど、思ったより近いですね。

David Blaineは風船を24,000フィート以上の高度まで上昇させ、パラシュートで地上に戻ってくることに成功しました。 9869>

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