Låt oss 'beräkna hur många ballonger David Blaine behövde för att flyta

Ganska alla älskar ballonger – särskilt yngre barn. Barn bygger långsamt upp idéer om hur universum fungerar (genom sina observationer), och de vet redan att när man släpper taget om något så faller det. Åh, men den heliumfyllda ballongen bryter mot reglerna. Den går uppåt. Den verkar helt enkelt magisk.

Äldre människor har fortfarande en dold fascination för dessa ballonger. Var och en av oss har någon gång funderat på frågan: Hur många av dessa skulle jag behöva för att lyfta mig från marken? Tja, det är precis vad David Blaine gjorde för sitt senaste stunt, som han kallade Ascension. Han använde ett gäng stora ballonger för att lyfta upp honom till en höjd av 24 000 fot. Därefter lossade han sig från ballongerna och använde en fallskärm för att komma ner igen.

Jag tycker att den bästa delen av stuntet var den första uppskjutningen. Teamet satte upp ballongerna så att det fanns en nästan perfekt balans mellan flytkraften från ballongerna och gravitationskraften som drog ner Blaine, så att han mestadels bara svävade där precis ovanför marken. (Han hade några personer som höll i honom för att se till att han inte drev upp och iväg i förtid). Sedan, så att han kunde börja sin resa uppåt, lade hans dotter till ytterligare en ballong, och han gav henne en vikt som han hade hållit i handen. Det är ett ganska häftigt sätt att stiga upp.

Men nu till frågorna och svaren.

Varför flyter heliumballonger?

Ballonger flyter inte med magi. Istället är det ett resultat av gravitationen och atmosfären. Ja, det är sant. En ballong skulle inte flyta utan gravitation.

Låt oss föreställa oss atmosfären som ett gäng bollar – förutom att dessa bollar faktiskt är molekyler av mestadels kväve tillsammans med lite syre. Var och en av dessa bollar rör sig runt med en viss genomsnittlig hastighet, och de dras nedåt av gravitationsinteraktionen med jorden. Man kan alltså se dessa gasbollar som en tennisboll som kastas över rummet, förutom att de är superlilla. Åh, och det finns en massa av dessa bollar. Det betyder att de interagerar med andra gasbollar. Du kan tänka på dessa interaktioner som om de vore kollisioner. Det är alla dessa kollisioner mellan bollar som gör att de inte bara hamnar på marken. Det skulle också vara fruktansvärt pinsamt om all luft samlades på den lägsta nivån, för då skulle man inte kunna andas.

När två gaskulor kolliderar, avleds ibland en av kulorna uppåt och ibland avleds den i sidled. Men eftersom det också finns en gravitationsinteraktion som drar ner bollarna finns det fler av dem närmare marken. Det är därför luftens densitet minskar när man rör sig vertikalt uppåt. Luftens densitet nära marken är cirka 1,2 kg/m3 och minskar till cirka 0,59 kg/m3 på en höjd av 7 000 meter (nära 24 000 fot). Men även över en sträcka från botten av en ballong till toppen förändras luftens densitet – bara en liten bit.

Nu ska vi placera ett föremål i luften. Jag tänker använda en tegelsten. Jag gillar tegelstenen eftersom den uppenbarligen inte svävar i luften, men den har också plana ytor för att göra min förklaring lättare. Eftersom de små luftbollarna rör sig runt kommer en del av dem att kollidera med tegelstenens yta. När en boll studsar mot tegelstenen ger den en liten knuff på tegelstenen. Den totala kraften på en av tegelstenens ytor beror på tegelstenens yta och lufttrycket. Som en påminnelse kan förhållandet mellan kraft och tryck uttryckas som följande ekvation, där P är trycket, A är ytan och F är kraften.

Om du har en stor yta och ett litet tryck kan du alltså ändå få en stor kraft. I det här uttrycket beror trycket på atmosfären – det är dessa gaskulor som rör sig runt och kolliderar med saker. Här är den coola delen. Eftersom det finns fler gasbollar närmare marken beror trycket på luftens densitet, och kom ihåg att densiteten beror på höjden. Detta innebär att kraften från luften som trycker på toppen av tegelstenen är annorlunda än kraften på botten av tegelstenen. Det är bäst att beskriva dessa kollisioner i termer av tryck och modellera tryckförändringen med följande ekvation.

I detta uttryck är P0 trycket i en godtycklig punkt där y = 0 (i vertikal riktning), g är gravitationsfältet (9,8 N/kg) och ρ är luftens densitet. Så när y ökar minskar trycket. Anmärkning: Detta linjära samband är bara ungefärligt sant. När man kommer riktigt långt ovanför jordytan fungerar det inte. Men med detta kan du se att kraften från luften på toppen av tegelstenen borde vara mindre än kraften på botten av tegelstenen.

Bemärk att de krafter som trycker på vänster och höger sida av tegelstenen är på samma höjd. Detta innebär att nettokraften i horisontell riktning skulle vara noll – de upphäver varandra. Men kraften som trycker uppåt på tegelstenen (från botten) är större än kraften som trycker nedåt eftersom tegelstenens undersida befinner sig på en lägre höjd – även om det bara är en liten bit. Om tegelstenen har en höjd h skulle den totala kraften från luften i vertikal riktning vara:

Bemärk att jag hoppade över några algebraiska steg, men det är inte alltför svårt att se hur det fungerar. Men vänta! Om jag multiplicerar tegelstenens höjd (h) med bottenytan (A) får jag tegelstenens volym (V). Om jag sedan multiplicerar tegelstenens volym med luftens densitet (ρ) får jag en massa – massan av en yta med samma volym som tegelstenen. När du multiplicerar den massan med gravitationsfältet (g) får du vikten av den luft som förträngs av tegelstenen.

Boom. Detta är den berömda Archimedes princip. Den säger att när ett föremål befinner sig i vatten finns det en uppåtgående flytkraft på föremålet. Värdet av denna flytkraft är lika med vikten av det vatten som förflyttas. Men den fungerar också för förskjuten luft. Ja, det finns en uppåtgående flytkraft på tegelstenen. Tegelstenen flyter inte som en ballong eftersom det också finns en nedåtriktad gravitationskraft på tegelstenen – och denna nedåtriktade kraft är mycket större än den uppåtriktade flytkraften.

Oh, här kommer den coola delen. Det spelar inte ens någon roll om man ersätter den rektangulära tegelstenen med en sfärisk ballong. Flytkraften beror fortfarande bara på luftens densitet och föremålets volym. Så varför flyter en heliumballong? Det enda speciella med en heliumgas är att den har en betydligt lägre densitet än luft (med en densitet på 0,179 kg/m3 för helium och 1,2 kg/m3 för luft). Detta innebär att gravitationskraften som drar nedåt på ballongen skulle vara mindre än flytkraften uppåt, och den skulle flyta. För att klargöra att en vattenfylld ballong och en heliumballong av samma storlek har samma flytkraft. Det är bara det att den vattenfyllda ballongens vikt är enorm.

Hur många ballonger behöver man för att lyfta en person?

Jag säger inte att du ska flyta upp dig själv i luften med en massa ballonger, men låt oss säga att du vill uppskatta hur många ballonger du skulle behöva. Det skulle inte vara alltför svårt att beräkna den luftvolym som skulle ha en vikt som motsvarar en människas vikt och sedan hitta volymen helium som du skulle behöva, men det försummar något mycket viktigt – gummit i ballongen. Ja, det har en liten massa, men det spelar ändå roll. Låt oss säga att jag har en allmän sfärisk ballong gjord av gummi med en godtycklig tjocklek. Den kanske ser ut så här.

Denna ballong har en radie R med en gummitjocklek t, och den är fylld med helium. Jag behöver hitta massan (och därmed vikten) för både heliumgasen och gummit. Låt mig kalla heliums densitet ρh och gummins densitet ρr. Heliumets vikt beror på ballongens volym. Eftersom det är en sfär skulle heliumets vikt vara:

Ja, jag använde volymen för en sfär där. Nu till gummiets vikt. Jag behöver volymen av detta tunna skal på ballongens utsida. Om gummins tjocklek är liten jämfört med ballongens radie (vilket är ungefärligt sant) kan jag beräkna gummivolymen som sfärens yta multiplicerad med tjockleken. Detta ger en gummivikt på:

Det finns den där parametern t i gummivikten. Så här ligger det till, du kan inte göra det här så tunt som du vill. Det finns en viss gräns – så låt oss säga att det är ett konstant värde. Det betyder att gummivikten är proportionell mot kvadraten på ballongens radie, men heliumvikten är proportionell mot kuben av radien. Helium har en mycket lägre densitet än gummi, så man vill ha ett stort förhållande mellan helium och gummi, och det innebär att större ballonger är bättre.

Om man tar en vanlig partyballong har den en ganska liten radie (låt oss säga 10 cm) så att man slösar bort mycket massa på gummit. Om du däremot tar en mycket större ballong som i Blaines Ascension-stunt får du ett mycket bättre förhållande mellan helium och gummi.

OK, nu till en grov uppskattning. Jag uppskattar bara saker här – för det är vad jag gör. Jag börjar med en gummidensitet på 1 000 kg/m3 vilket är samma som vatten (tillräckligt nära gummi). För ballongens radie använder jag 0,75 meter och en tjocklek på 0,2 mm. Det innebär att nettolyftkraften för en ballong skulle vara:

Jag vet att det ser galet ut, men det är det inte. Det är bara vikten av den förskjutna luften minus vikten av heliumet och gummit. För att nu hitta antalet ballonger tar jag bara personens vikt (låt oss använda David Blaine plus annan utrustning med en massa på 100 kg) och dividerar med lyftkraften för en ballong. Här är beräkningen som ett pythonskript (så du kan ändra värdena).

Se mer

Oh, det är inte bra. 256 ballonger kommer inte att se episkt ut för en YouTube-show. Naturligtvis kan jag ligga helt fel i min uppskattning av ballongens tjocklek – men kolla vad som händer om jag ändrar radien till 1,5 meter. Jag får ungefär 11 ballonger. Det verkar bättre. Snabb notering: Beräkningen ovan är riktig kod. Om du klickar på pennikonen kan du se mina uppskattade värden och ändra dem till vad du vill. Klicka sedan på Play-knappen och kör det.

Kulle ballongen fortsätta att stiga i evighet?

Oppenbart är det så att ingenting fortsätter i evighet. En ballong kommer att fortsätta att öka i höjd så länge som lyftkraften är större än eller lika stor som den totala gravitationskraften som drar ner. Det som kommer att förändras är lyftkraften. På högre höjd minskar luftens densitet. Detta innebär att eftersom flytkraften är lika med vikten av den förflyttade luften kommer den också att minska.

Så kommer ballongen så småningom att nå en höjd som gör att den befinner sig i jämvikt, och den kommer inte att stiga högre. Detta förutsätter naturligtvis att ballongens volym också förblir konstant – vilket inte är tekniskt sant. På hög höjd minskar det atmosfäriska trycket och trycker mindre på ballongen. Detta innebär att heliumet inuti ballongen kan sträcka ut gummit och expandera och producera mer flytkraft. Det är också så att gummit någon gång kommer att sträcka sig för mycket och sedan gå sönder. Detta skulle vara dåligt, eftersom allt helium skulle flyga ut och du skulle bara ha en stor bit gummi. Det är inte särskilt hjälpsamt.

Vad är accelerationen vid start?

Jag vill få en uppskattning av hans vertikala acceleration i början av uppstigningen. Det finns ingen perfekt kameravinkel, men jag kan grovt uppskatta hans position i olika bilder i videon (för att få fram tiden). Med det får jag följande plott av vertikal position som funktion av tiden.

Om ett objekt har en konstant acceleration kan dess position hittas med följande kinematiska ekvation.

Det viktiga här är att jag kan använda denna ekvation för att hitta värdet på den vertikala accelerationen. Om jag anpassar en kvadratisk ekvation till data måste koefficienten framför t2 vara lika med (½)a-termen i denna kinematiska ekvation. Det betyder att jag kan använda anpassningen för att hitta accelerationen, och jag får ett värde på ungefär 0,05 m/s2. Ja, jag hoppade över några steg här, men du kan fylla i de saknade delarna som en hemuppgift. Men är detta värde ens så rimligt?

Hur vore det om vi närmade oss detta med en annan metod? Låt oss säga att Blaine befinner sig i jämvikt med en nettokraft på noll newton. Han överlämnar sedan en liten vikt på 1 pund till sin dotter (4,4 newton). Åh, det finns också den där extra ballongen som hans dotter lagt till. Men jag tror att vi för den här uppskattningen bara kan betrakta den överlämnade vikten. Det betyder att hans vikt minskade med 4,4 newton för att ge en nettokraft uppåt på 4,4 newton. Nu kan jag använda Newtons andra lag som säger:

För massan behöver jag massan för både Blaine OCH ballongerna. Låt oss säga att den är 110 kg. Med en kraft på 4,4 Newton skulle den vertikala accelerationen vara 0,04 m/s2. Okej, det är faktiskt närmare än vad jag trodde att det skulle vara. Jag kallar det en vinst.

David Blaine lyckades framgångsrikt få upp sin ballongrigg till en höjd av över 24 000 fot OCH han hoppade med fallskärm tillbaka till marken. Jag är säker på att vi alla kan hålla med om att det också är en vinst.

Mer fantastiska WIRED-historier

• 📩 Vill du ha det senaste om teknik, vetenskap och annat? Anmäl dig till våra nyhetsbrev!
• Prinsen av Georgien är stor på Instagram
• San Francisco var unikt förberedd för Covid-19
• Hur en man bröt sig igenom Googles valannonsförsvar
• Retrospelens misogyni lyfts fram i ljuset efter en våldsam tragedi
• The YOLOers vs. Distancers feod sliter oss isär
• 📱 Slitsas du mellan de senaste telefonerna? Var inte rädd – kolla in vår köpguide för iPhone och våra favorit Android-telefoner