Vamos's Calcular Quantos Balões David Blaine Precisava Flutuar

Pretty much everyone loves balloons-especially younger children. As crianças estão lentamente construindo idéias sobre a forma como o universo funciona (através de suas observações), e elas já sabem que quando você solta algo, ele cai. Oh, mas o balão cheio de hélio é um quebrador de regras. Ele vai para cima. Parece mágico.

As pessoas mais velhas ainda têm um fascínio oculto por estes balões. Cada um de nós, a dada altura, já considerou a questão: Quantos destes eu precisaria para me levantar do chão? Bem, foi exatamente isso que David Blaine fez para sua última proeza, que ele chamou de Ascensão. Ele usou um monte de balões grandes para levantá-lo até uma altitude de 24.000 pés. Nessa altura, ele se desprendeu dos balões e usou um pára-quedas para voltar a descer.

Eu acho que a melhor parte da acrobacia foi o lançamento inicial. A equipe montou os balões de forma que houvesse um equilíbrio quase perfeito entre a força de flutuação dos balões e a força gravitacional puxando Blaine para baixo, de tal forma que ele, na maioria das vezes, apenas flutuava ali mesmo acima do solo. (Ele tinha algumas pessoas agarradas a ele para garantir que ele não subisse e se afastasse prematuramente). Então, para que ele pudesse começar sua jornada para cima, sua filha adicionou mais um balão, e ele deu a ela um peso que ele estava segurando. É uma maneira bem legal de subir.

Mas agora para as perguntas e respostas.

Por que os balões de hélio flutuam?

Balões não flutuam com magia. Em vez disso, é um resultado da gravidade e da atmosfera. Sim, é verdade. Um balão não flutuaria sem gravidade.

Vamos imaginar a atmosfera como um bando de bolas – excepto que estas bolas são na verdade moléculas de maioritariamente nitrogénio juntamente com algum oxigénio. Cada uma destas bolas está se movendo com alguma velocidade média, e elas estão sendo puxadas para baixo pela interação gravitacional com a terra. Então, você poderia pensar nestas bolas de gás como uma bola de tênis jogada pela sala, exceto que elas são super minúsculas. Oh, e há um monte destas bolas. Isso significa que elas interagem com outras bolas de gás. Podes pensar nestas interacções como se fossem colisões. São todas estas colisões de bolas de gás que impedem que elas acabem no chão. Também seria terrivelmente constrangedor se todo o ar se concentrasse no nível mais baixo, porque então você não poderia respirar.

Quando duas bolas de gás colidem, às vezes uma das bolas é desviada para cima, e às vezes é desviada para os lados. No entanto, como há também uma interação gravitacional puxando as bolas para baixo, há mais delas mais próximas do chão. É por isso que a densidade do ar diminui à medida que você se move verticalmente para cima. A densidade do ar perto do chão é de cerca de 1,2 kg/m3 e diminui para cerca de 0,59 kg/m3 a uma altitude de 7.000 metros (perto de 24.000 pés). Mas mesmo a uma distância da base de um balão até ao topo, a densidade do ar muda – apenas um pouco.

Agora vamos colocar um objecto no ar. Eu vou usar um tijolo. Eu gosto do tijolo, pois claramente ele não flutua no ar, mas também tem superfícies planas para facilitar minha explicação. Como as pequenas bolas de ar estão se movendo, algumas delas vão colidir com a superfície do tijolo. Quando uma bola salta do tijolo, ela dá um pequeno empurrão nesse tijolo. A força total em uma superfície do tijolo depende da área do tijolo e da pressão do ar. Apenas para lembrar, a relação entre força e pressão pode ser expressa como a seguinte equação, onde P é a pressão, A é a área, e F é a força.

Então, se você tiver uma grande área de superfície e uma pequena pressão, você ainda pode obter uma grande força. Nesta expressão, a pressão é devida à atmosfera – ou seja, aquelas bolas de gás que se movimentam e colidem com as coisas. Aqui está a parte legal. Como há mais bolas de gás perto do solo, a pressão depende da densidade do ar e, lembre-se, a densidade depende da altitude. Isto significa que a força do ar empurrando no topo do tijolo é diferente da força no fundo do tijolo. É melhor descrever estas colisões em termos de pressão e modelar a variação de pressão com a seguinte equação.

Nesta expressão, P0 é a pressão em algum ponto arbitrário onde y = 0 (no sentido vertical), g é o campo gravitacional (9,8 N/kg) e ρ é a densidade do ar. Assim, à medida que y aumenta, a pressão diminui. Nota: Esta relação linear é apenas aproximadamente verdadeira. Quando se fica realmente muito acima da superfície da terra, não funciona. Mas com isto, você pode ver que a força do ar no topo do tijolo deve ser menor do que a força no fundo do tijolo.

Nota que as forças que empurram do lado esquerdo e direito do tijolo estão à mesma altura. Isto significa que a força da rede na direção horizontal seria zero – eles cancelam. Mas a força empurrando para cima no tijolo (do fundo) é maior que a força empurrando para baixo, uma vez que o fundo do tijolo está a uma altura mais baixa – mesmo que seja um pouco mais baixa. Se o tijolo tem uma altura h, então a força total do ar no sentido vertical seria:

Nota que saltei alguns passos algébricos, mas não é muito difícil de ver como isso funciona. Mas espere! Se eu multiplicar a altura do tijolo (h) pela área do fundo (A), eu recebo o volume (V) do tijolo. Então, se eu multiplicar o volume do tijolo pela densidade do ar (ρ), recebo uma massa – a massa da área com o mesmo volume que o tijolo. Ao multiplicar essa massa e o campo gravitacional (g), obtenho o peso do ar deslocado pelo tijolo.

Boom. Este é o famoso princípio de Arquimedes. Ele diz que quando um objeto está na água, há uma força de flutuação ascendente sobre o objeto. O valor desta força de flutuação é igual ao peso da água deslocada. Mas também funciona para o ar deslocado. Sim, há uma força de flutuação ascendente sobre o tijolo. O tijolo não flutua como um balão porque há também uma força gravitacional para baixo no tijolo – e esta força para baixo é muito maior que a flutuabilidade para cima.

Oh, aqui está a parte fria. Não importa se você substitui o tijolo retangular por um balão esférico. A força de flutuação ainda depende apenas da densidade do ar e do volume do objeto. Então, porque é que um balão de hélio flutua? A única coisa especial de um gás hélio é que ele tem uma densidade significativamente menor do que o ar (com uma densidade de 0,179 kg/m3 para hélio e 1,2 kg/m3 para o ar). Isto significa que a força gravitacional puxando para baixo no balão seria menor do que a força de flutuação para cima, e ele flutuaria. Apenas para ser claro, um balão cheio de água e um balão de hélio do mesmo tamanho têm a mesma força de flutuação. É que o peso do balão cheio de água é enorme.

Quantos balões você precisa para levantar uma pessoa?

Não estou dizendo que você deve flutuar no ar com um monte de balões, mas digamos que você queira estimar o número de balões que você precisaria. Não seria muito difícil calcular o volume de ar que teria um peso igual ao peso de um humano e depois encontrar o volume de hélio que você precisaria, mas isso negligencia algo muito importante – a borracha no balão. Sim, ele tem uma pequena massa, mas ainda assim importa. Digamos que tenho um balão esférico genérico feito de borracha de alguma espessura arbitrária. Talvez se pareça com isto.

Este balão tem um raio R com uma espessura de borracha t, e está cheio de hélio. Eu preciso encontrar a massa (e portanto o peso) tanto do gás hélio quanto da borracha. Deixe-me chamar a densidade do hélio ρh e a densidade da borracha ρr. O peso do hélio depende do volume do balão. Por ser uma esfera, o peso do hélio seria:

Sim, eu usei o volume de uma esfera ali dentro. Agora para o peso da borracha. Eu preciso do volume desta casca fina no exterior do balão. Se a espessura da borracha for pequena em comparação com o raio do balão (o que é aproximadamente verdade), então posso calcular o volume de borracha como a área da superfície da esfera multiplicada pela espessura. Isto dá um peso de borracha de:

Existe esse parâmetro t no peso da borracha. Aqui está o negócio, você não pode fazer isso tão fino quanto você quiser. Há um limite – digamos que é um valor constante. Isso significa que o peso da borracha é proporcional ao quadrado do raio do balão, mas o peso do hélio é proporcional ao CUBE do raio. O hélio tem uma densidade muito menor do que a borracha, então você quer uma grande relação hélio/borracha, e isso significa que balões maiores são melhores.

Se você pegar seu balão de festa padrão, ele tem um raio bastante pequeno (digamos 10 cm), de modo que você desperdiça muita massa na borracha. No entanto, se você pegar um balão muito maior como no truque de Blaine’s Ascension, você terá uma relação hélio/borracha muito melhor.

OK, agora para uma estimativa aproximada. Só estou a estimar as coisas aqui, porque é isso que eu faço. Vou começar com uma densidade de borracha de 1.000 kg/m3 que é a mesma que a água (perto o suficiente da borracha). Para o raio do balão, vou usar 0,75 metros e uma espessura de 0,2 mm. Isso significa que a força de elevação da rede para um balão seria:

Eu sei que parece uma loucura, mas não é. É apenas o peso do ar deslocado menos o peso do hélio e da borracha. Agora para encontrar o número de balões, basta pegar o peso da pessoa (vamos usar o David Blaine mais outros equipamentos com uma massa de 100 kg) e dividir pela força de elevação de um balão. Aqui está o cálculo como um script python (assim você pode mudar os valores).

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Oh, isso não é bom. 256 balões não vai parecer épico para um programa do YouTube. Claro, eu poderia estar totalmente fora da minha estimativa da espessura do balão – mas veja o que acontece se eu mudar o raio para 1,5 metros. Eu recebo cerca de 11 balões. Isso parece melhor. Nota rápida: Esse cálculo acima é um código real. Se você clicar no ícone do lápis, você pode ver os meus valores estimados e mudá-los para o que você quiser. Depois clique no botão Play e execute-o.

O balão continuará a subir para sempre?

Obviamente nada se passa para sempre. Um balão continuará a aumentar em altitude enquanto a força de elevação for maior ou igual à força gravitacional total a puxar para baixo. A coisa que vai mudar é a força de elevação. Em altitudes mais elevadas, a densidade do ar diminui. Isto significa que como a força de flutuação é igual ao peso do ar deslocado, também diminuirá.

Então, o balão eventualmente atingirá uma altitude que o coloca em equilíbrio, e não irá mais alto. É claro que isto assume que o volume do balão também permanece constante – o que não é tecnicamente verdade. A grande altitude, a pressão atmosférica diminui e empurra menos sobre o balão. Isto significa que o hélio dentro do balão pode esticar a borracha e expandir e produzir mais força de flutuação. É também que, em algum momento, a borracha vai esticar demais e depois quebrar. Isso seria ruim, já que todo o hélio escaparia e você teria apenas um grande pedaço de borracha. Isso não ajuda muito.

Qual é a aceleração na descolagem?

Quero obter uma estimativa da sua aceleração vertical no início da subida. Não há um ângulo de câmara perfeito, mas posso estimar a sua posição em diferentes frames do vídeo (para obter o tempo). Com isso, obtenho o seguinte gráfico da posição vertical em função do tempo.

Se um objeto tem uma aceleração constante, sua posição pode ser encontrada com a seguinte equação cinemática.

O importante aqui é que eu posso usar esta equação para encontrar o valor da aceleração vertical. Se eu ajustar uma equação quadrática aos dados, o coeficiente em frente ao t2 deve ser igual ao termo (½)a nesta equação cinemática. Isso significa que eu posso usar o ajuste para encontrar a aceleração, e obtenho um valor de cerca de 0,05 m/s2. Sim, eu pulei alguns passos aqui, mas você pode preencher as partes que faltam como uma tarefa de casa. Mas será este valor razoável?

Que tal abordarmos isto com outro método? Digamos que Blaine está em equilíbrio com uma força líquida de zero newtons. Ele então entrega um pequeno peso de 1 libra à sua filha (4,4 newtons). Oh, há também aquele balão extra que a filha dele adicionou. Mas eu acho que para esta estimativa podemos considerar apenas o peso de mão. Isso significa que seu peso diminuiu em 4,4 newtons para dar uma força líquida ascendente de 4,4 newtons. Agora, eu posso usar a segunda lei de Newton que diz:

Para a massa, preciso da massa de ambos, Blaine e dos balões. Digamos que isto é 110 kg. Com uma força de 4,4 Newtons, a aceleração vertical seria de 0,04 m/s2. OK, isso é na verdade mais próximo do que eu pensava que seria. Vou chamar-lhe uma vitória.

David Blaine conseguiu subir a sua plataforma de balões a uma altitude de mais de 24.000 pés E ele saltou de pára-quedas de volta ao chão. Tenho certeza que todos nós podemos concordar que também é uma vitória.

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