Calcoliamo'quanti palloncini servivano a David Blaine per galleggiare

Praticamente tutti amano i palloncini, specialmente i bambini più piccoli. I bambini si stanno lentamente facendo delle idee su come funziona l’universo (attraverso le loro osservazioni), e sanno già che quando si lascia andare qualcosa, questa cade. Oh, ma il palloncino pieno di elio è un’eccezione alla regola. Va su. Sembra semplicemente magico.

Le persone anziane hanno ancora un fascino nascosto per questi palloncini. Ognuno di noi a un certo punto ha considerato la domanda: Di quanti di questi avrei bisogno per sollevarmi da terra? Bene, questo è esattamente quello che David Blaine ha fatto per il suo ultimo numero, che ha chiamato Ascension. Ha usato un mucchio di grandi palloni per sollevarsi fino a un’altitudine di 24.000 piedi. A quel punto, si è staccato dai palloni e ha usato un paracadute per tornare giù.

Penso che la parte migliore del numero sia stato il lancio iniziale. Il team ha impostato i palloncini in modo che ci fosse un equilibrio quasi perfetto tra la forza di galleggiamento dei palloncini e la forza gravitazionale che tirava giù Blaine, in modo tale che per lo più galleggiava proprio sopra il terreno. (C’erano alcune persone che lo tenevano per assicurarsi che non andasse alla deriva prematuramente). Poi, in modo che potesse iniziare il suo viaggio verso l’alto, sua figlia ha aggiunto un altro palloncino, e lui le ha consegnato un peso che aveva in mano. È un modo piuttosto fico di salire.

Ma ora le domande e le risposte.

Perché i palloncini di elio galleggiano?

I palloncini non galleggiano per magia. Invece, è il risultato della gravità e dell’atmosfera. Sì, è vero. Un palloncino non galleggerebbe senza gravità.

Immaginiamo l’atmosfera come un mucchio di palloni, solo che questi palloni sono in realtà molecole di azoto e ossigeno. Ognuna di queste palline si muove con una certa velocità media, e sono tirate verso il basso dall’interazione gravitazionale con la terra. Quindi, si potrebbe pensare a queste palle di gas come a una palla da tennis lanciata da una parte all’altra della stanza, a parte il fatto che sono super piccole. E ci sono un sacco di queste palle. Ciò significa che interagiscono con altre palle di gas. Si può pensare a queste interazioni come a delle collisioni. Sono tutte queste collisioni palla-palla che impediscono loro di finire a terra. Inoltre sarebbe terribilmente imbarazzante se tutta l’aria si raccogliesse al livello più basso, perché non si potrebbe respirare.

Quando due palle di gas si scontrano, a volte una delle palle viene deviata verso l’alto, e a volte viene deviata lateralmente. Tuttavia, poiché c’è anche un’interazione gravitazionale che tira le palline verso il basso, ce ne sono di più vicine al suolo. Questo è il motivo per cui la densità dell’aria diminuisce man mano che ci si sposta verticalmente verso l’alto. La densità dell’aria vicino al suolo è di circa 1,2 kg/m3 e diminuisce a circa 0,59 kg/m3 ad un’altitudine di 7.000 metri (quasi 24.000 piedi). Ma anche su una distanza dal fondo di un pallone alla cima, la densità dell’aria cambia, solo un po’.

Ora mettiamo un oggetto in aria. Userò un mattone. Mi piace il mattone perché è chiaro che non galleggia nell’aria, ma ha anche superfici piane per rendere più facile la mia spiegazione. Dato che le palline in aria si muovono, alcune di loro si scontreranno con la superficie del mattone. Quando una pallina rimbalza sul mattone, dà una piccola spinta su quel mattone. La forza totale su una superficie del mattone dipende dall’area di questo mattone e dalla pressione dell’aria. Giusto per ricordare, la relazione tra forza e pressione può essere espressa come la seguente equazione, dove P è la pressione, A è l’area, e F è la forza.

Quindi, se avete una grande superficie e una piccola pressione, potete ancora ottenere una grande forza. In questa espressione, la pressione è dovuta all’atmosfera – sono quelle palle di gas che si muovono e si scontrano con le cose. Ecco la parte interessante. Poiché ci sono più sfere di gas più vicine al suolo, la pressione dipende dalla densità dell’aria, e, ricorda, la densità dipende dall’altitudine. Questo significa che la forza dell’aria che spinge sulla parte superiore del mattone è diversa dalla forza sul fondo del mattone. È meglio descrivere queste collisioni in termini di pressione e modellare il cambiamento di pressione con la seguente equazione.

In questa espressione, P0 è la pressione in qualche punto arbitrario dove y = 0 (in direzione verticale), g è il campo gravitazionale (9,8 N/kg) e ρ è la densità dell’aria. Quindi, all’aumentare di y, la pressione diminuisce. Nota: Questa relazione lineare è solo approssimativamente vera. Quando si arriva molto al di sopra della superficie della terra, non funziona. Ma con questo, si può vedere che la forza dell’aria sulla cima del mattone dovrebbe essere inferiore alla forza sul fondo del mattone.

Nota che le forze che spingono sui lati sinistro e destro del mattone sono alla stessa altezza. Questo significa che la forza netta nella direzione orizzontale sarebbe zero – si annullano. Ma la forza che spinge verso l’alto sul mattone (dal basso) è maggiore della forza che spinge verso il basso poiché il fondo del mattone è ad un’altezza inferiore, anche solo di un po’. Se il mattone ha un’altezza h, allora la forza totale dell’aria in direzione verticale sarebbe:

Nota che ho saltato alcuni passaggi algebrici, ma non è troppo difficile capire come funziona. Ma aspettate! Se moltiplico l’altezza del mattone (h) per l’area del fondo (A), ottengo il volume (V) del mattone. Poi, se moltiplico il volume del mattone per la densità dell’aria (ρ), ottengo una massa – la massa dell’area con lo stesso volume del mattone. Quando si moltiplica quella massa e il campo gravitazionale (g), si ottiene il peso dell’aria spostata dal mattone.

Boom. Questo è il famoso principio di Archimede. Dice che quando un oggetto è in acqua, c’è una forza di galleggiamento verso l’alto sull’oggetto. Il valore di questa forza di galleggiamento è uguale al peso dell’acqua spostata. Ma funziona anche per l’aria spostata. Sì, c’è una forza di galleggiamento verso l’alto sul mattone. Il mattone non galleggia come un palloncino perché c’è anche una forza gravitazionale verso il basso sul mattone e questa forza verso il basso è molto più grande della forza di galleggiamento verso l’alto.

Oh, ecco la parte migliore. Non importa nemmeno se si sostituisce il mattone rettangolare con un pallone sferico. La forza di galleggiamento dipende ancora solo dalla densità dell’aria e dal volume dell’oggetto. Quindi, perché un palloncino ad elio galleggia? L’unica cosa speciale del gas elio è che ha una densità significativamente più bassa dell’aria (con una densità di 0,179 kg/m3 per l’elio e 1,2 kg/m3 per l’aria). Questo significa che la forza gravitazionale che tira verso il basso il pallone sarebbe minore della forza di galleggiamento verso l’alto, e galleggerebbe. Per essere chiari, un palloncino pieno d’acqua e un palloncino ad elio della stessa dimensione hanno la stessa forza di galleggiamento. È solo che il peso del palloncino pieno d’acqua è enorme.

Quanti palloncini servono per sollevare una persona?

Non sto dicendo che dovresti farti galleggiare in aria con un mucchio di palloncini, ma diciamo che vuoi stimare il numero di palloncini necessari. Non sarebbe troppo difficile calcolare il volume d’aria che avrebbe un peso pari a quello di un essere umano e poi trovare il volume di elio di cui avresti bisogno, ma questo trascura qualcosa di molto importante: la gomma nel pallone. Sì, ha una piccola massa, ma è comunque importante. Diciamo che ho un generico palloncino sferico fatto di gomma di qualche spessore arbitrario. Forse assomiglia a questo.

Questo pallone ha un raggio R con uno spessore t della gomma, ed è riempito di elio. Devo trovare la massa (e quindi il peso) sia del gas elio che della gomma. Chiamiamo la densità dell’elio ρh e la densità della gomma ρr. Il peso dell’elio dipende dal volume del pallone. Essendo una sfera, il peso dell’elio sarebbe:

Sì, ho usato il volume di una sfera lì dentro. Ora per il peso della gomma. Ho bisogno del volume di questo guscio sottile all’esterno del pallone. Se lo spessore della gomma è piccolo rispetto al raggio del pallone (il che è approssimativamente vero), allora posso calcolare il volume della gomma come la superficie della sfera moltiplicata per lo spessore. Questo dà un peso di gomma di:

C’è quel parametro t nel peso della gomma. Ecco il problema: non si può fare la gomma sottile come si vuole. C’è un limite, diciamo che è un valore costante. Ciò significa che il peso della gomma è proporzionale al quadrato del raggio del pallone, ma il peso dell’elio è proporzionale al CUBO del raggio. L’elio ha una densità molto più bassa della gomma, quindi vuoi un grande rapporto elio-gomma, e questo significa che i palloncini più grandi sono migliori.

Se prendi il tuo palloncino standard da festa, ha un raggio abbastanza piccolo (diciamo 10 cm) tale che sprechi un sacco di massa per la gomma. Tuttavia, se prendi un pallone molto più grande come nell’acrobazia dell’Ascensione di Blaine, avrai un rapporto elio-gomma molto migliore.

OK, ora per una stima approssimativa. Sto solo stimando delle cose qui, perché è quello che faccio. Inizierò con una densità della gomma di 1.000 kg/m3 che è la stessa dell’acqua (abbastanza vicina alla gomma). Per il raggio del pallone, userò 0,75 metri e uno spessore di 0,2 mm. Ciò significa che la forza di sollevamento netta per un pallone sarebbe:

Lo so che sembra assurdo, ma non lo è. È solo il peso dell’aria spostata meno il peso dell’elio e della gomma. Ora per trovare il numero di palloncini, prendo semplicemente il peso della persona (usiamo David Blaine più altre attrezzature con una massa di 100 kg) e divido per la forza di sollevamento per un palloncino. Ecco il calcolo come script python (in modo da poter cambiare i valori).

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Oh, questo non va bene. 256 palloncini non sembreranno epici per uno spettacolo su YouTube. Naturalmente, potrei essere totalmente fuori strada nella mia stima dello spessore dei palloncini, ma guardate cosa succede se cambio il raggio a 1,5 metri. Ottengo circa 11 palloncini. Questo sembra meglio. Nota veloce: questo calcolo sopra è un codice reale. Se cliccate sull’icona della matita, potete vedere i miei valori stimati e cambiarli a vostro piacimento. Poi fai clic sul pulsante Play ed esegui.

Il pallone continuerebbe a salire per sempre?

Ovviamente nulla va avanti per sempre. Un pallone continuerà ad aumentare di quota finché la forza di sollevamento sarà maggiore o uguale alla forza gravitazionale complessiva che tira verso il basso. La cosa che cambierà è la forza di sollevamento. Ad altitudini più elevate, la densità dell’aria diminuisce. Questo significa che, poiché la forza di galleggiamento è uguale al peso dell’aria spostata, anch’essa diminuirà.

Quindi, il pallone raggiungerà alla fine un’altitudine che lo metterà in equilibrio, e non andrà più in alto. Naturalmente questo presuppone che anche il volume del pallone rimanga costante, il che non è tecnicamente vero. Ad alta quota, la pressione atmosferica diminuisce e spinge meno sul pallone. Questo significa che l’elio all’interno del pallone può allungare la gomma ed espandersi e produrre più forza di galleggiamento. È anche che ad un certo punto, la gomma si allunga troppo e poi si rompe. Questo sarebbe un male, poiché tutto l’elio uscirebbe e si avrebbe solo un grande pezzo di gomma. Questo non è molto utile.

Qual è l’accelerazione al decollo?

Voglio ottenere una stima della sua accelerazione verticale all’inizio della salita. Non c’è un angolo di ripresa perfetto, ma posso stimare approssimativamente la sua posizione in diversi fotogrammi del video (per ottenere il tempo). Con questo, ottengo il seguente grafico della posizione verticale in funzione del tempo.

Se un oggetto ha un’accelerazione costante, la sua posizione può essere trovata con la seguente equazione cinematica.

La cosa importante qui è che posso usare questa equazione per trovare il valore dell’accelerazione verticale. Se adatto un’equazione quadratica ai dati, il coefficiente davanti a t2 deve essere uguale al termine (½)a in questa equazione cinematica. Ciò significa che posso usare l’adattamento per trovare l’accelerazione, e ottengo un valore di circa 0,05 m/s2. Sì, ho saltato alcuni passaggi qui, ma potete riempire le parti mancanti come compito a casa. Ma questo valore è così ragionevole?

Che ne dite di affrontare la questione con un altro metodo? Diciamo che Blaine è in equilibrio con una forza netta di zero newton. Poi consegna un piccolo peso di 1 libbra a sua figlia (4,4 newton). Oh, c’è anche quel palloncino extra che sua figlia ha aggiunto. Ma penso che per questa stima possiamo considerare solo il peso consegnato. Ciò significa che il suo peso è diminuito di 4,4 newton per dare una forza netta verso l’alto di 4,4 newton. Ora, posso usare la seconda legge di Newton che dice:

Per la massa, ho bisogno della massa di Blaine e dei palloncini. Diciamo che questa è di 110 kg. Con una forza di 4,4 Newton, l’accelerazione verticale sarebbe di 0,04 m/s2. OK, questo è effettivamente più vicino di quanto pensassi. La chiamerò una vittoria.

David Blaine ha portato con successo il suo pallone ad un’altitudine di oltre 24.000 piedi E si è paracadutato a terra. Sono sicuro che siamo tutti d’accordo che anche questa è una vittoria.

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