Hoe bereken je hoeveel heliumballonnen David Blaine nodig had

Zowat iedereen houdt van ballonnen, vooral jonge kinderen. Kinderen krijgen langzaam ideeën over de manier waarop het heelal werkt (door hun observaties), en ze weten al dat als je iets loslaat, het valt. Oh, maar de met helium gevulde ballon is een regelbreker. Hij gaat OMHOOG. Het lijkt gewoon magisch.

Oldere mensen hebben nog steeds een verborgen fascinatie voor deze ballonnen. Ieder van ons heeft op een bepaald moment de vraag overwogen: Hoeveel van deze zou ik nodig hebben om me van de grond te tillen? Wel, dat is precies wat David Blaine deed voor zijn laatste stunt, die hij Ascension noemde. Hij gebruikte een stel grote ballonnen om hem op te tillen tot een hoogte van 24.000 voet. Op dat moment maakte hij zich los van de ballonnen en gebruikte hij een parachute om weer naar beneden te komen.

Ik denk dat het beste deel van de stunt de eerste lancering was. Het team stelde de ballonnen zo op dat er een bijna perfect evenwicht was tussen de drijfkracht van de ballonnen en de zwaartekracht die Blaine naar beneden trok, zodat hij meestal gewoon boven de grond zweefde. (Hij had wel een paar mensen die zich aan hem vasthielden om ervoor te zorgen dat hij niet voortijdig opdreef en wegdreef). Toen, zodat hij zijn reis naar boven kon beginnen, voegde zijn dochter nog een ballon toe, en hij overhandigde haar een gewicht dat hij al die tijd had vastgehouden. Het is een coole manier om op te stijgen.

Maar nu de vragen en antwoorden.

Waarom zweven heliumballonnen?

Ballonnen zweven niet door magie. Het is een gevolg van de zwaartekracht en de atmosfeer. Ja, dat is waar. Een ballon zou niet zweven zonder zwaartekracht.

Stellen we ons de atmosfeer voor als een stel ballen, behalve dat deze ballen eigenlijk moleculen zijn van voornamelijk stikstof met wat zuurstof. Elk van deze ballen beweegt zich voort met een gemiddelde snelheid, en ze worden naar beneden getrokken door de wisselwerking van de zwaartekracht met de aarde. Je zou deze gasballen dus kunnen zien als een tennisbal die door de kamer wordt gegooid, behalve dat ze superklein zijn. Oh, en er zijn een heleboel van deze ballen. Dat betekent dat ze een wisselwerking hebben met andere gasballen. Je kunt aan deze interacties denken alsof het botsingen zijn. Het zijn al deze bal-bal botsingen die ervoor zorgen dat ze niet gewoon op de grond belanden. Het zou ook vreselijk onhandig zijn als alle lucht zich op het laagste niveau zou verzamelen, want dan zou je niet meer kunnen ademen.

Wanneer twee gasbollen tegen elkaar botsen, wordt een van de bollen soms naar boven afgebogen, en soms naar opzij. Aangezien er echter ook een zwaartekrachtsinteractie is die de ballen naar beneden trekt, zijn er meer van die ballen dichter bij de grond. Daarom neemt de dichtheid van de lucht af naarmate je verticaal omhoog gaat. De dichtheid van lucht dicht bij de grond is ongeveer 1,2 kg/m3 en daalt tot ongeveer 0,59 kg/m3 op een hoogte van 7.000 meter (bijna 24.000 voet). Maar zelfs over een afstand van de bodem van een ballon naar de top, verandert de dichtheid van lucht – slechts een klein beetje.

Nu laten we een voorwerp in de lucht brengen. Ik ga een baksteen gebruiken. Ik vind de baksteen mooi omdat hij duidelijk niet in de lucht zweeft, maar ook omdat hij platte oppervlakken heeft om mijn uitleg te vergemakkelijken. Omdat de kleine luchtballetjes in beweging zijn, zullen sommige tegen het oppervlak van de baksteen botsen. Wanneer een balletje op de steen stuitert, geeft het een klein duwtje op die steen. De totale kracht op één oppervlak van de baksteen hangt af van het oppervlak van deze baksteen en de druk van de lucht. Ter herinnering, het verband tussen kracht en druk kan worden uitgedrukt in de volgende vergelijking, waarbij P de druk is, A het oppervlak, en F de kracht.

Dus, als je een groot oppervlak hebt en een kleine druk, kun je toch een grote kracht krijgen. In deze uitdrukking is de druk het gevolg van de atmosfeer – dat zijn die gasbollen die rondbewegen en tegen dingen botsen. Hier is het coole gedeelte. Omdat er dichter bij de grond meer gasbolletjes zijn, hangt de druk af van de dichtheid van de lucht, en vergeet niet dat de dichtheid afhangt van de hoogte. Dit betekent dat de kracht van de lucht die op de bovenkant van de steen duwt, anders is dan de kracht op de onderkant van de steen. Het is het beste om deze botsingen te beschrijven in termen van druk en de verandering in druk te modelleren met de volgende vergelijking.

In deze uitdrukking is P0 de druk op een willekeurig punt waar y = 0 (in de verticale richting), g het gravitatieveld (9,8 N/kg) en ρ de dichtheid van lucht. Dus als y toeneemt, neemt de druk af. Opmerking: Dit lineaire verband is slechts bij benadering waar. Als je echt ver boven het aardoppervlak komt, werkt het niet. Maar hiermee kun je zien dat de kracht van de lucht op de bovenkant van de baksteen kleiner moet zijn dan de kracht op de onderkant van de baksteen.

Merk op dat de krachten die op de linker- en rechterkant van de baksteen drukken zich op dezelfde hoogte bevinden. Dit betekent dat de nettokracht in de horizontale richting nul zou zijn – ze heffen elkaar op. Maar de kracht die OMHOOG op de baksteen drukt (vanaf de onderkant) is groter dan de kracht die OMLAAG op de baksteen drukt, omdat de onderkant van de baksteen zich op een lagere hoogte bevindt – al is het maar een klein beetje. Als de baksteen een hoogte h heeft, dan zou de totale kracht van de lucht in verticale richting zijn:

Merk op dat ik enkele algebraïsche stappen heb overgeslagen, maar het is niet al te moeilijk om te zien hoe dat uitwerkt. Maar wacht! Als ik de hoogte van de baksteen (h) vermenigvuldig met de oppervlakte van de onderkant (A), krijg ik het volume (V) van de baksteen. Als ik vervolgens het volume van de baksteen vermenigvuldig met de dichtheid van lucht (ρ), krijg ik een massa – de massa van het oppervlak met hetzelfde volume als de baksteen. Als je die massa vermenigvuldigt met het gravitatieveld (g), krijg je het gewicht van de lucht die door de baksteen wordt verplaatst.

Boom. Dit is het beroemde Archimedes’ principe. Het zegt dat wanneer een voorwerp zich in water bevindt, er een opwaartse opwaartse druk op het voorwerp wordt uitgeoefend. De waarde van deze opwaartse kracht is gelijk aan het gewicht van het verplaatste water. Maar het werkt ook voor verplaatste lucht. Ja, er is een opwaartse opwaartse kracht op de baksteen. De baksteen drijft niet als een ballon omdat er ook een neerwaartse zwaartekracht op de baksteen werkt – en deze neerwaartse kracht is veel groter dan de opwaartse opwaartse opwaartse kracht.

Oh, hier komt het coole gedeelte. Het maakt zelfs niet uit of je de rechthoekige baksteen vervangt door een bolvormige ballon. De opwaartse druk hangt nog steeds af van de dichtheid van de lucht en het volume van het object. Dus, waarom blijft een heliumballon drijven? Het enige bijzondere aan een heliumgas is dat het een aanzienlijk lagere dichtheid heeft dan lucht (met een dichtheid van 0,179 kg/m3 voor helium en 1,2 kg/m3 voor lucht). Dit betekent dat de zwaartekracht die op de ballon neerdaalt, kleiner is dan de opwaartse opwaartse druk, en dat de ballon blijft drijven. Voor alle duidelijkheid: een met water gevulde ballon en een heliumballon van dezelfde grootte hebben dezelfde opwaartse druk. Alleen is het gewicht van de met water gevulde ballon enorm.

Hoeveel ballonnen heb je nodig om een persoon op te tillen?

Ik zeg niet dat je jezelf de lucht in moet laten zweven met een heleboel ballonnen, maar laten we zeggen dat je wilt schatten hoeveel ballonnen je nodig zou hebben. Het is niet zo moeilijk om het volume lucht te berekenen dat gelijk is aan het gewicht van een mens en dan het volume helium te vinden dat je nodig hebt, maar dat gaat voorbij aan iets heel belangrijks: het rubber in de ballon. Ja, het heeft een kleine massa, maar het is nog steeds belangrijk. Laten we zeggen dat ik een algemene bolvormige ballon heb, gemaakt van rubber van een willekeurige dikte. Misschien ziet hij er zo uit.

Deze ballon heeft een straal R met een rubberdikte t, en hij is gevuld met helium. Ik moet de massa (en dus het gewicht) van zowel het heliumgas als het rubber vinden. Laat ik de dichtheid van helium ρh noemen en de dichtheid van rubber ρr. Het gewicht van het helium hangt af van het volume van de ballon. Aangezien het een bol is, zou het gewicht van het helium zijn:

Ja, ik heb daar het volume van een bol gebruikt. Nu het gewicht van het rubber. Ik heb het volume nodig van dit dunne omhulsel aan de buitenkant van de ballon. Als de dikte van het rubber klein is ten opzichte van de straal van de ballon (wat ongeveer zo is), dan kan ik het volume van het rubber berekenen als de oppervlakte van de bol vermenigvuldigd met de dikte. Dit geeft een rubbergewicht van:

Daar is die parameter t in het gewicht van het rubber. Het zit zo, je kunt dit niet zo dun maken als je wilt. Er is een limiet, dus laten we zeggen dat het een constante waarde is. Dat betekent dat het gewicht van het rubber evenredig is met het kwadraat van de ballonradius, maar het gewicht van het helium is evenredig met de KUBBEL van de radius. Helium heeft een veel lagere dichtheid dan rubber, dus je wilt een grote helium-rubber verhouding, en dat betekent dat grotere ballonnen beter zijn.

Als je een standaard feestballon neemt, heeft die een vrij kleine straal (laten we zeggen 10 cm), zodat je veel massa aan het rubber verspilt. Als je echter een veel grotere ballon neemt, zoals in Blaine’s hemelvaartstunt, krijg je een veel betere helium-rubberverhouding.

OK, nu voor een ruwe schatting. Ik ben gewoon dingen aan het schatten, want dat is wat ik doe. Ik ga uit van een rubber dichtheid van 1000 kg/m3 wat hetzelfde is als water (dicht genoeg bij rubber). Voor de ballonradius ga ik uit van 0,75 meter en een dikte van 0,2 mm. Dat betekent dat de netto hefkracht voor één ballon zou zijn:

Ik weet dat dit er gek uitziet, maar dat is het niet. Het is gewoon het gewicht van de verplaatste lucht min het gewicht van het helium en het rubber. Om nu het aantal ballonnen te vinden, neem ik gewoon het gewicht van de persoon (laten we David Blaine plus andere uitrusting met een massa van 100 kg gebruiken) en deel dat door de hefkracht voor één ballon. Hier is de berekening als python-script (zodat je de waarden kunt wijzigen).

Bekijk meer

Oh, dat is niet goed. 256 ballonnen zal er niet episch uitzien voor een YouTube-show. Ik kan er natuurlijk helemaal naast zitten met mijn schatting van de dikte van de ballonnen, maar kijk eens wat er gebeurt als ik de radius verander in 1,5 meter. Dan krijg ik ongeveer 11 ballonnen. Dat lijkt me beter. Korte opmerking: Die berekening hierboven is echte code. Als je op het potlood-icoontje klikt, kun je mijn geschatte waarden zien en die veranderen in wat je maar wilt. Klik dan op de knop Afspelen en voer de berekening uit.

Zou de ballon eeuwig blijven stijgen?

Het is duidelijk dat niets eeuwig doorgaat. Een ballon zal blijven stijgen zolang de opwaartse kracht groter is dan of gelijk aan de totale zwaartekracht die naar beneden trekt. Wat gaat veranderen is de liftkracht. Op grotere hoogten neemt de dichtheid van de lucht af. Dit betekent dat, aangezien de opwaartse kracht gelijk is aan het gewicht van de verplaatste lucht, deze ook zal afnemen.

Dus, de ballon zal uiteindelijk een hoogte bereiken die hem in evenwicht brengt, en hij zal niet hoger meer gaan. Dit veronderstelt natuurlijk dat het volume van de ballon ook constant blijft, wat technisch gezien niet waar is. Op grote hoogte neemt de atmosferische druk af en wordt er minder druk op de ballon uitgeoefend. Dit betekent dat het helium in de ballon het rubber kan uitrekken en meer drijfkracht kan produceren. Het is ook zo dat op een gegeven moment het rubber te veel zal uitrekken en dan zal breken. Dat zou slecht zijn, want dan zou al het helium ontsnappen en zou je gewoon een groot stuk rubber overhouden. Dat helpt niet echt.

Wat is de versnelling bij het opstijgen?

Ik wil een schatting van zijn verticale versnelling aan het begin van de opstijging. Er is geen perfecte camerahoek, maar ik kan zijn positie in verschillende frames van de video ruwweg schatten (om de tijd te krijgen). Daarmee krijg ik de volgende grafiek van de verticale positie als functie van de tijd.

Als een voorwerp een constante versnelling heeft, kan zijn positie worden gevonden met de volgende kinematische vergelijking.

Het belangrijkste hier is dat ik deze vergelijking kan gebruiken om de waarde van de verticale versnelling te vinden. Als ik een kwadratische vergelijking op de gegevens fit, moet de coëfficiënt voor de t2 gelijk zijn aan de (½)a term in deze kinematische vergelijking. Dat betekent dat ik de fit kan gebruiken om de versnelling te vinden, en ik krijg een waarde van ongeveer 0,05 m/s2. Ja, ik heb hier wat stappen overgeslagen, maar de ontbrekende delen kun je als huiswerkopdracht invullen. Maar is deze waarde wel zo redelijk?

Hoe benaderen we dit eens met een andere methode? Laten we zeggen dat Blaine in evenwicht is met een netto kracht van nul newton. Vervolgens geeft hij een gewichtje van 1 pond aan zijn dochter (4,4 newton). Oh, er is ook nog die extra ballon die zijn dochter heeft toegevoegd. Maar ik denk dat we voor deze schatting alleen naar het overhandigde gewicht kunnen kijken. Dat betekent dat zijn gewicht met 4,4 newton is afgenomen om een netto opwaartse kracht van 4,4 newton te krijgen. Nu kan ik de tweede wet van Newton gebruiken die zegt:

Voor de massa heb ik de massa nodig van zowel Blaine als de ballonnen. Laten we zeggen dat dit 110 kg is. Met een kracht van 4,4 Newton zou de verticale versnelling 0,04 m/s2 zijn. OK, dat is eigenlijk dichterbij dan ik dacht dat het zou zijn. Ik noem het een overwinning.

David Blaine kreeg zijn ballon met succes tot een hoogte van meer dan 24.000 voet EN hij parachuteerde terug naar de grond. Ik weet zeker dat we het er allemaal over eens zijn dat dat ook een overwinning is.

Laat's uitrekenen hoeveel ballonnen David Blaine nodig had om te zweven

Waarom zweven heliumballonnen?

Hoeveel ballonnen heb je nodig om een persoon op te tillen?

Zou de ballon eeuwig blijven stijgen?

Wat is de versnelling bij het opstijgen?

More Great WIRED Stories

Geef een antwoord Antwoord annuleren